Система факторизации

В математике можно показать, что каждую функцию можно записать как совокупность сюръективной функции, за которой следует инъективная функция. Системы факторизации являются обобщением этой ситуации в теории категорий .

Определение

Система факторизации ( E , M ) для категории C состоит из двух классов морфизмов E и M категории C таких, что:

1. E и M оба содержат все изоморфизмы C и замкнуты относительно композиции.
2. Каждый морфизм f группы C можно факторизовать как $f=m\circ e$ для некоторых морфизмов $e\in E$ и $m\in M$.
3. Факторизация является функториальной : если $u$ и $v$ два морфизма такие, что $vme=m'e'u$ для некоторых морфизмов $e,e'\in E$ и $m,m'\in M$, то существует единственный морфизм $w$ следующую диаграмму делая коммутирующую :

Примечание: $(u,v)$ является морфизмом из $me$ к $m'e'$ в категории стрелок .

Ортогональность

Два морфизма $e$ и $m$ называются ортогональными , обозначаются $e\downarrow m$, если для каждой пары морфизмов $u$ и $v$ такой, что $ve=mu$ существует единственный морфизм $w$ такая, что диаграмма

ездит на работу. Это понятие можно расширить для определения ортогоналов множеств морфизмов с помощью

$H^{\uparrow }=\{e\quad |\quad \forall h\in H,e\downarrow h\}$ и $H^{\downarrow }=\{m\quad |\quad \forall h\in H,h\downarrow m\}.$

Поскольку в системе факторизации $E\cap M$ содержит все изоморфизмы, условие (3) определения эквивалентно

(3') $E\subseteq M^{\uparrow }$ и $M\subseteq E^{\downarrow }.$

Доказательство. На предыдущей диаграмме (3) возьмем $m:=id,\ e':=id$ (идентичность на соответствующем объекте) и $m':=m$.

Эквивалентное определение

Пара $(E,M)$ классов морфизмов C является системой факторизации тогда и только тогда, когда она удовлетворяет следующим условиям:

1. Каждый морфизм f группы C можно факторизовать как $f=m\circ e$ с $e\in E$ и $m\in M.$
2. $E=M^{\uparrow }$ и $M=E^{\downarrow }.$

системы

Предположим, и m — два морфизма в категории C. e Тогда e обладает свойством подъема слева относительно m (соответственно m обладает свойством подъема справа относительно e ), когда для каждой пары морфизмов u и v таких, что ve = mu, существует морфизм w такой, что следующая диаграмма коммутирует. Отличие от ортогональности состоит в том, что w не обязательно уникально.

Слабая система факторизации ( E , M ) для категории C состоит из двух классов морфизмов E и M категории C таких, что:

1. Класс E обладающих свойством левого подъема относительно каждого морфизма из M. — это в точности класс морфизмов ,
2. Класс M обладающих свойством правого подъема относительно каждого морфизма из E. — это в точности класс морфизмов ,
3. Каждый морфизм f группы C можно факторизовать как $f=m\circ e$ для некоторых морфизмов $e\in E$ и $m\in M$.

Это понятие приводит к краткому определению модельных категорий : модельная категория — это пара, состоящая из категории C и классов (так называемых) слабых эквивалентностей W , расслоений F и корасслоений C так, что

• C имеет все пределы и копределы,

• $(C\cap W,F)$ является слабой системой факторизации,

• $(C,F\cap W)$ является слабой системой факторизации, и

• $W$ удовлетворяет свойству «два из трех»: если $f$ и $g$ являются составными морфизмами и два из $f,g,g\circ f$ находятся в $W$, то и третий.

Модельная категория – это полная и сополная категория, наделенная модельной структурой. Отображение называется тривиальным расслоением, если оно принадлежит $F\cap W,$ и оно называется тривиальным корасслоением, если оно принадлежит $C\cap W.$ Объект $X$ называется фибрантом, если морфизм $X\rightarrow 1$ к терминальному объекту является расслоением и называется кофибрантом, если морфизм $0\rightarrow X$ от исходного объекта является корасслоением.

Ссылки

• Питер Фрейд , Макс Келли (1972). «Категории непрерывных функторов I». Журнал чистой и прикладной алгебры . 2 .
• Риль, Эмили (2014), Категорическая теория гомотопий , Cambridge University Press, doi : 10.1017/CBO9781107261457 , ISBN  978-1-107-04845-4 , МР   3221774

Внешние ссылки

• Риль, Эмили (2008), Системы факторизации (PDF)