Морфизм в категории обладает свойством левого подъема относительно морфизма , и также имеет право подъемного свойства в отношении , иногда обозначаемый или , тогда и только тогда, когда для каждого морфизма имеет место следующая импликация и в категории:
если внешний квадрат следующей диаграммы коммутирует, то существует завершения диаграммы, т.е. для каждого и такой, что Существует такой, что и .
Иногда это также называют морфизмом ортогональна морфизму ; однако это также может относиться к
более сильное свойство, которое всякий раз, когда и такие же, как и выше, диагональный морфизм существует и также должен быть уникальным.
Для класса морфизмов в категории, ее левый ортогонал или по подъемному свойству, соответственно, его право ортогональному или , является классом всех морфизмов, которые обладают левым и соответственно правым свойством подъема относительно каждого морфизма в классе . В обозначениях
категории Множество множеств Таким образом, в правый ортогональный простейшей несюръекции — класс сюръекций. Левый и правый ортогонали простейшие неинъекции , оба являются именно классом инъекций,
Ясно, что и . Класс всегда замкнут относительно ретрактов, откатов , (маленьких) произведений (если они существуют в категории) и композиции морфизмов и содержит все изоморфизмы (то есть обратимые морфизмы) базовой категории. Тем временем, замкнут относительно ретрактов, выталкиваний , (маленьких) копродукций и трансфинитной композиции ( фильтрованных копределов ) морфизмов (всякий раз, когда они существуют в категории), а также содержит все изоморфизмы.
Ряд понятий можно определить, перейдя несколько раз к левой или правой ортогонали, начиная со списка явных примеров, т. е. как , где — класс, состоящий из нескольких явно заданных морфизмов. Полезно предположить, что свойство левого подъема класса это своего рода отрицание
свойства находиться в , и что подъем вправо – это тоже своего рода отрицание. Следовательно, классы, полученные из взяв ортогонали нечетное количество раз, например и т. д., представляют собой различные виды отрицания , так каждый состоит из морфизмов, далеких от свойства .
Примеры подъемных свойств в алгебраической топологии [ править ]
Карта имеет свойство подъема пути , если и только если где – это включение одной конечной точки отрезка в интервал .
Примеры несущих свойств из категорий моделей [ править ]
Расслоения и кофибрации.
Пусть Top — категория топологических пространств и пусть быть классом карт , вложения границы мяча в мяч . Позволять — класс отображений, вложивших верхнюю полусферу в диск. — это классы расслоений, ациклических корасслоений, ациклических расслоений и корасслоений. [1]
Пусть sSet — категория симплициальных множеств . Позволять — класс граничных включений , и разреши быть классом роговых включений . Тогда классы расслоений, ациклических корасслоений, ациклических расслоений и корасслоений равны соответственно . [2]
нильпотентен тогда и только тогда, когда диагональное отображение в где обозначает класс отображений
конечная группа разрешимо когда тогда и только тогда, в
В категории топологических пространств, пусть , соотв. обозначают дискретный , соотв. антидискретное пространство с двумя точками 0 и 1. Пусть обозначим пространство Серпинского двух точек, где точка 0 открыта, а точка 1 закрыта, и пусть и т. д. обозначают очевидные вложения.
пространство удовлетворяет аксиоме разделения T 0 тогда и только тогда, когда в
пространство удовлетворяет аксиоме разделения T 1 тогда и только тогда, когда в
это класс карт такая, что топология на это откат топологии на , то есть топология на — топология с наименьшим количеством открытых множеств, такая, что отображение непрерывно ,
— класс сюръективных отображений,
— класс карт формы где является дискретным,
это класс карт такая, что каждая компонента связности пересекает ,
— класс инъективных отображений,
это класс карт такой, что прообраз связного замкнутого открытого подмножества является связным замкнутым подмножеством открытым , например подключен тогда и только тогда, когда в ,
для подключенного пространства , каждая непрерывная функция на ограничен тогда и только тогда, когда где это карта несвязного объединения открытых интервалов в реальную линию
пространство является Хаусдорфом тогда и только тогда, когда для любого инъективного отображения , оно держится где обозначает трехточечное пространство с двумя открытыми точками и , и закрытая точка ,
пространство это совершенно нормально , если только где открытый интервал идет в , и карты в точку , и карты в точку , и обозначает трехточечное пространство с двумя замкнутыми точками и одна открытая точка .
Пространство является полным , если и только если где - очевидное включение между двумя подпространствами вещественной прямой с индуцированной метрикой, и — метрическое пространство, состоящее из одной точки,
Arc.Ask3.Ru Номер скриншота №: 998E4D51FFDB64442A968E674C62C924__1714137120 URL1:https://en.wikipedia.org/wiki/Right_lifting_property Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1: Lifting property - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть, любые претензии не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, денежную единицу можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)