Серпинское пространство

Не путать с набором Серпинского .

В математике пространство Серпинского — это конечное топологическое пространство с двумя точками, только одна из которых замкнута . Это наименьший пример топологического пространства , которое не является ни тривиальным , ни дискретным . Он назван в честь Вацлава Серпинского .

Пространство Серпинского имеет важное отношение к теории вычислений и семантике . потому что это классифицирующее пространство для открытых множеств в топологии Скотта .

Определение и фундаментальные свойства

Явно пространство Серпинского - это топологическое пространство S , базовое множество точек которого есть $\{0,1\}$ и чьи открытые множества $$\{\varnothing ,\{1\},\{0,1\}\}.$$ — Закрытые множества это $$\{\varnothing ,\{0\},\{0,1\}\}.$$Итак, одиночный набор $\{0\}$ замкнуто и множество $\{1\}$ открыт( $\varnothing =\{\,\}$ пустое множество ).

Оператор замыкания на S определяется формулой $${\overline {\{0\}}}=\{0\},\qquad {\overline {\{1\}}}=\{0,1\}.$$

Конечное топологическое пространство также однозначно определяется своим предпорядком специализации . Для пространства Серпинского этот предварительный порядок на самом деле является частичным и задается формулой $$0\leq 0,\qquad 0\leq 1,\qquad 1\leq 1.$$

Топологические свойства

Пространство Серпинского $S$ является частным случаем как топологии конечной конкретной точки (с конкретной точкой 1), так и топологии конечной исключенной точки (с исключенной точкой 0). Поэтому, $S$ имеет много общих свойств с одним или обоими этими семействами.

Разделение

• Точки 0 и 1 топологически различимы в S, поскольку $\{1\}$ — открытое множество, содержащее только одну из этих точек. Следовательно, S является колмогоровским (T ₀ ) пространством .
• Однако S не является T ₁ , поскольку точка 1 не замкнута. Отсюда следует, что S не является хаусдорфовым или T _n ни для какого $n\geq 1.$
• S не является регулярным (или вполне регулярным ), поскольку точка 1 и непересекающееся замкнутое множество $\{0\}$ не могут быть разделены районами . (Кроме того, регулярность в присутствии T ₀ подразумевала бы Хаусдорфа.)
• S нормально вакуумно поскольку и совершенно нормально, не существует непустых разделенных множеств .
• S не является совершенно нормальным, поскольку непересекающиеся замкнутые множества $\varnothing$ и $\{0\}$ не могут быть точно разделены функцией. Действительно, $\{0\}$ не может быть нулевым множеством какой-либо непрерывной функции $S\to \mathbb {R}$ поскольку каждая такая функция постоянна .

Связность

• Пространство Серпинского S является одновременно гиперсвязным (поскольку каждое непустое открытое множество содержит 1) и ультрасвязным (поскольку каждое непустое замкнутое множество содержит 0).
• Отсюда следует, что S одновременно связен и связан по путям .
• Путь : от 0 до 1 в S задается функцией $f(0)=0$ и $f(t)=1$ для $t>0.$ Функция $f:I\to S$ является непрерывным, поскольку $f^{-1}(1)=(0,1]$ который открыт I. в
• Как и все конечные топологические пространства, S связно локально .
• Пространство Серпинского сжимаемо , поэтому фундаментальная группа S тривиальна ( высшие как и все гомотопические группы ).

Компактность

• Как и все конечные топологические пространства, пространство Серпинского компактно и счетно по секундам .
• Компактное подмножество $\{1\}$ пространства S не является замкнутым, что показывает, что компактные подмножества пространств T ₀ не обязательно должны быть замкнутыми.
• Каждое открытое покрытие S состоящее должно содержать S само , поскольку S — единственная открытая окрестность точки 0. Следовательно, каждое открытое покрытие S имеет открытое подпокрытие, из одного множества: $\{S\}.$
• Отсюда следует, что S вполне нормален .

Конвергенция

• Каждая последовательность в S сходится к точке 0. Это потому, что единственной окрестностью точки 0 является S. сама
• Последовательность из S сходится к 1 тогда и только тогда, когда она содержит только конечное число членов, равных 0 (т. е. в конечном итоге последовательность состоит только из единиц).
• Точка 1 является точкой кластера последовательности из S тогда и только тогда, когда последовательность содержит бесконечное количество единиц.
• Примеры :
  • 1 не является точкой кластера $(0,0,0,0,\ldots ).$
  • 1 — точка кластера (но не предел) $(0,1,0,1,0,1,\ldots ).$
  • Последовательность $(1,1,1,1,\ldots )$ сходится как к 0, так и к 1.

метризуемость

• Пространство Серпинского S не является метризуемым или даже псевдометризуемым, поскольку каждое псевдометрическое пространство вполне регулярно , но пространство Серпинского даже не является регулярным .
• S порождается гемиметрикой или псевдоквазиметрикой ​ ( ) $d(0,1)=0$ и $d(1,0)=1.$

Другие объекты недвижимости

• Есть только три непрерывных отображения в S себя: тождественное отображение и постоянное отображение в 0 и 1.
• Отсюда следует, гомеоморфизмов S что тривиальна . группа

Непрерывные функции в пространстве Серпинского

Пусть X — произвольное множество. Множество всех функций от X до множества $\{0,1\}$ обычно обозначается $2^{X}.$ функции в точности являются функциями X. Эти характеристическими Каждая такая функция имеет вид $$\chi _{U}(x)={\begin{cases}1&x\in U\\0&x\not \in U\end{cases}}$$где U — подмножество X. ​ ​Другими словами, набор функций $2^{X}$ находится в биективном соответствии с $P(X),$ набор мощности X ​ . Каждое подмножество U из X имеет свою характеристическую функцию $\chi _{U}$ и каждая функция от X до $\{0,1\}$ имеет такую ​​форму.

Теперь предположим, что X — топологическое пространство, и пусть $\{0,1\}$ имеют топологию Серпинского. Тогда функция $\chi _{U}:X\to S$ непрерывно когда тогда и только тогда, $\chi _{U}^{-1}(1)$ открыт X. в Но по определению $$\chi _{U}^{-1}(1)=U.$$Так $\chi _{U}$ непрерывно тогда и только тогда, когда U открыто в X . Позволять $C(X,S)$ обозначим множество всех непрерывных отображений из X в S и пусть $T(X)$ обозначают топологию X (т. е. семейство всех открытых множеств). Тогда мы имеем биекцию из $T(X)$ к $C(X,S)$ который отправляет открытый набор $U$ к $\chi _{U}.$$$C(X,S)\cong {\mathcal {T}}(X)$$То есть, если мы идентифицируем $2^{X}$ с $P(X)$ подмножество непрерывных карт $C(X,S)\subseteq 2^{X}$это именно топология $X:$ $T(X)\subseteq P(X).$

Особенно ярким примером этого является топология Скотта для частично упорядоченных множеств , в которой пространство Серпинского становится классифицирующим пространством для открытых множеств, когда характеристическая функция сохраняет направленные соединения .

Категориальное описание

Приведенную выше конструкцию можно хорошо описать на языке теории категорий . Существует контравариантный функтор $T:\mathbf {Top} \to \mathbf {Set}$ из категории топологических пространств в категорию множеств , сопоставляющую каждому топологическому пространству $X$ его набор открытых множеств $T(X)$ и каждая непрерывная функция $f:X\to Y$ карта прообраз - $$f^{-1}:{\mathcal {T}}(Y)\to {\mathcal {T}}(X).$$Тогда утверждение принимает вид: функтор $T$ представлен ​ ​ $(S,\{1\})$ где $S$ — пространство Серпинского. То есть, $T$ изоморфен естественно функтору Hom $\operatorname {Hom} (-,S)$ с естественным изоморфизмом, определяемым универсальным элементом $\{1\}\in T(S).$ Это обобщается понятием предпучка .

Исходная топология

Любое топологическое пространство X имеет начальную топологию, индуцированную семейством $C(X,S)$ непрерывных функций в пространство Серпинского. Действительно, чтобы огрубить топологию на X , необходимо удалить открытые множества. Но удаление открытого набора U приведет к отображению $\chi _{U}$ прерывистый. Итак, X имеет самую грубую топологию, для которой каждая функция в $C(X,S)$ является непрерывным.

Семейство функций $C(X,S)$ разделяет точки в X тогда и только тогда, когда X является T ₀ пространством . Две точки $x$ и $y$ будет разделен функцией $\chi _{U}$ тогда и только тогда, когда открытое множество U содержит ровно одну из двух точек. Это именно то, что это означает для $x$ и $y$ быть топологически различимыми .

Следовательно, если пространств Серпинского _, где существует одна копия S X есть T 0 , мы можем встроить X как подпространство произведения для каждого открытого множества U в X . Карта встраивания $$e:X\to \prod _{U\in {\mathcal {T}}(X)}S=S^{{\mathcal {T}}(X)}$$дается $$e(x)_{U}=\chi _{U}(x).\,$$Поскольку подпространства и произведения пространств T ₀ суть T ₀ , отсюда следует, что топологическое пространство является T ₀ тогда и только тогда, когда оно гомеоморфно подпространству степени S .

В алгебраической геометрии

В алгебраической геометрии пространство Серпинского возникает как спектр $\operatorname {Spec} (R)$ кольца дискретного нормирования $R$ такой как $\mathbb {Z} _{(p)}$ ( локализация в целых чисел простом идеале, порожденном простым числом $p$). Общая точка ​ $\operatorname {Spec} (R),$ исходящий из нулевого идеала , соответствует открытой точке 1, а особая точка $\operatorname {Spec} (R),$ исходящий из единственного максимального идеала , соответствует замкнутой точке 0.

См. также

• Конечное топологическое пространство - топологическое пространство с конечным числом точек. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Покрытие Фрейда — категориальная конструкция, относящаяся к пространству Серпинского.
• Список топологий - Список конкретных топологий и топологических пространств.
• Псевдокруг - четырехточечное нехаусдорфово топологическое пространство.

Ссылки

• Стин, Линн Артур ; Зеебах, Дж. Артур младший (1995) [1978], Контрпримеры в топологии ( Дверское переиздание издания 1978 года), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-486-68735-3 , МР   0507446
• Майкл Тифенбак (1977) «Топологическая генеалогия», журнал Mathematics Magazine 50 (3): 158–60. дои : 10.2307/2689505