Псевдокруг

Псевдокруг конечное топологическое — это пространство X, состоящее из четырех различных точек { a , b , c , d } со следующей нехаусдорфовой топологией : $\{\{a,b,c,d\},\{a,b,c\},\{a,b,d\},\{a,b\},\{a\},\{b\},\varnothing \}.$

Эта топология соответствует частичному порядку $a<c,\ b<c,\ a<d,\ b<d$ где открытые множества являются закрытыми вниз множествами. X является в высшей степени патологичным с обычной точки зрения общей топологии , поскольку он не удовлетворяет никакой аксиоме разделения, кроме T ₀ . Однако с точки зрения алгебраической топологии X обладает тем замечательным свойством, что оно неотличимо от окружности S ¹.

Точнее, непрерывное отображение $f$ от С ¹ до X (где мы думаем о S ¹ как единичный круг в $\mathbb {R} ^{2}$ ) предоставлено $f(x,y)={\begin{cases}a,&x<0\\b,&x>0\\c,&(x,y)=(0,1)\\d,&(x,y)=(0,-1)\end{cases}}$ является слабой гомотопической эквивалентностью , т.е. $f$ индуцирует изоморфизм на всех гомотопических группах . Отсюда следует ^[1] что $f$ также индуцирует изоморфизм сингулярных гомологий и когомологий и, в более общем смысле, изоморфизм всех обычных или необычных теорий гомологий и когомологий (например, K-теории ).

Это можно доказать, используя следующее наблюдение. Как С ¹, X является объединением двух стягиваемых открытых множеств { a , b , c } и { a , b , d которых }, пересечение { a , b } также является объединением двух непересекающихся стягиваемых открытых множеств { a } и { b }. Так вроде С ¹, результат следует из группоидной теоремы Зейферта-ван Кампена , как в книге Топология и группоиды . ^[2]

В более общем плане МакКорд показал, что для любого конечного симплициального комплекса K существует конечное топологическое пространство X _K , которое имеет тот же слабый гомотопический тип, что и геометрическая реализация | К | К. Точнее, существует функтор , переводящий K в X _K , из категории конечных симплициальных комплексов и симплициальных отображений и естественная слабая гомотопическая эквивалентность из | К | до Х _К. ^[3]

См. также

Список топологий - Список конкретных топологий и топологических пространств.

Ссылки

^ Аллен Хэтчер (2002) Алгебраическая топология , Предложение 4.21, Cambridge University Press
^ Рональд Браун (2006) «Топология и группоиды» , Bookforce
^ МакКорд, Майкл К. (1966). «Группы сингулярных гомологий и гомотопические группы конечных топологических пространств». Математический журнал Дьюка . 33 : 465–474. дои : 10.1215/S0012-7094-66-03352-7 .

[1] Аллен Хэтчер (2002) Алгебраическая топология , Предложение 4.21, Cambridge University Press

[2] Рональд Браун (2006) «Топология и группоиды» , Bookforce

[3] МакКорд, Майкл К. (1966). «Группы сингулярных гомологий и гомотопические группы конечных топологических пространств». Математический журнал Дьюка . 33 : 465–474. дои : 10.1215/S0012-7094-66-03352-7 .

[1]

[2]

[3]