Теорема Уайтхеда

Не путать с проблемой Уайтхеда или гипотезой Уайтхеда .

В теории гомотопий (раздел математики ) теорема Уайтхеда утверждает, что если непрерывное отображение f между комплексами CW X и Y индуцирует изоморфизмы на всех гомотопических группах , то f является гомотопической эквивалентностью . Этот результат был доказан Дж. Х. Уайтхедом в двух знаковых статьях 1949 г. и дает обоснование для работы с представленной им там концепцией комплекса ХВ. Это модельный результат алгебраической топологии , в которой поведение определенных алгебраических инвариантов (в данном случае гомотопических групп) определяет топологическое свойство отображения.

Заявление

Более подробно, пусть X и Y — топологические пространства . Учитывая непрерывное отображение

$f\colon X\to Y$

и точку x в X , рассмотрим для любого n ≥ 1 индуцированный гомоморфизм

$f_{*}\colon \pi _{n}(X,x)\to \pi _{n}(Y,f(x)),$

где π _n ( X , x ) обозначает n -ю гомотопическую группу X с базовой точкой x . (Для n = 0 π ₀ ( X ) означает просто набор компонентов пути X , .) Отображение f является слабой гомотопической эквивалентностью если функция

$f_{*}\colon \pi _{0}(X)\to \pi _{0}(Y)$

является биективным , а гомоморфизмы f _* биективны для всех x в X и всех n ≥ 1. (Для X и Y линейно связных первое условие является автоматическим, и достаточно сформулировать второе условие для одной точки x в X .) Теорема Уайтхеда утверждает, что слабая гомотопическая эквивалентность одного комплекса CW другому является гомотопической эквивалентностью. (То есть отображение f : X → Y имеет гомотопическое обратное g : Y → X , что совсем не ясно из предположений.) Отсюда следует тот же вывод для пространств X и Y , гомотопически эквивалентных CW-комплексам.

Объединение этого с теоремой Гуревича дает полезное следствие: непрерывное отображение $f\colon X\to Y$ между односвязными комплексами CW, индуцирующим изоморфизм на всех целочисленных группах гомологии , является гомотопической эквивалентностью.

Пространства с изоморфными гомотопическими группами не могут быть

Небольшое предостережение: недостаточно предположить, что π _n ( X ) изоморфно π _n ( Y ) для каждого n , чтобы заключить, что X и Y гомотопически эквивалентны. Действительно необходимо отображение f : X → Y , индуцирующее изоморфизм гомотопических групп. Например, возьмем X = S ² × РП ³ и Y = РП ² × С ³ . Тогда X и Y имеют одну и ту же фундаментальную группу , а именно циклическую группу Z /2, и одно и то же универсальное накрытие, а именно S ² × С ³ ; таким образом, они имеют изоморфные гомотопические группы. С другой стороны, их группы гомологии различны (как видно из формулы Кюннета ); таким образом, X и Y не гомотопически эквивалентны.

Теорема Уайтхеда не справедлива для общих топологических пространств и даже для всех подпространств R. ^н . Например, варшавский круг , компактное подмножество плоскости, имеет нулевые гомотопические группы, но отображение варшавского круга в одну точку не является гомотопической эквивалентностью. Исследование возможных обобщений теоремы Уайтхеда на более общие пространства является частью предмета теории форм .

Обобщение на категории моделей

В любой модельной категории слабая эквивалентность между кофибрант-фибрантными объектами является гомотопической эквивалентностью.

Ссылки

• Дж. Х. Уайтхед, Комбинаторная гомотопия. Я. , Бык. амер. Математика. Соц., 55 (1949), 213–245.
• Дж. Х. Уайтхед, Комбинаторная гомотопия. II. , Бык. амер. Математика. Соц., 55 (1949), 453–496.
• А. Хэтчер, Алгебраическая топология , Издательство Кембриджского университета, Кембридж, 2002. xii+544 стр. ISBN   0-521-79160-X и ISBN   0-521-79540-0 (см. теорему 4.5)