Проблема Уайтхеда

Не путать с теоремой Уайтхеда или гипотезой Уайтхеда .

В теории групп , разделе абстрактной алгебры , проблемой Уайтхеда является следующий вопрос:

Всякая ли абелева группа A с Ext ¹ ( A , Z ) = 0 свободная абелева группа ?

Сахарон Шела доказал, что проблема Уайтхеда не зависит от ZFC , стандартных аксиом теории множеств.

Уточнение

Предположим, что A — абелева группа такая, что каждая короткая точная последовательность

$0\rightarrow \mathbb {Z} \rightarrow B\rightarrow A\rightarrow 0$

должно расщепиться, если B также абелева. Тогда проблема Уайтхеда спрашивает: должен ли А быть свободным? Это требование разделения эквивалентно условию Ext ¹ ( A , Z ) = 0. Абелевы группы A, удовлетворяющие этому условию, иногда называются группами Уайтхеда , поэтому проблема Уайтхеда спрашивает: каждая ли группа Уайтхеда свободна? Следует отметить, что если это условие усилить требованием соблюдения точной последовательности

$0\rightarrow C\rightarrow B\rightarrow A\rightarrow 0$

должна расщепляться для любой абелевой группы C , то хорошо известно, что это эквивалентно тому, что A свободна.

Предостережение : Обратная проблема Уайтхеда, а именно, что каждая свободная абелева группа является Уайтхедом, является хорошо известным теоретико-групповым фактом. Некоторые авторы называют группу Уайтхеда лишь несвободной группой A, удовлетворяющей Ext ¹ ( A , Z ) = 0. Тогда проблема Уайтхеда спрашивает: существуют ли группы Уайтхеда?

Доказательство Шелы

Сахарон Шелах показал, что при наличии канонической системы аксиом ZFC проблема не зависит от обычных аксиом теории множеств . Точнее, он показал, что:

• Если каждое множество конструктивно , то каждая группа Уайтхеда свободна;
• Если верны и аксиома Мартина, и отрицание гипотезы континуума , то существует несвободная группа Уайтхеда.

Поскольку согласованность ZFC подразумевает согласованность обоих следующих элементов:

• Аксиома конструктивности (утверждающая, что все множества конструируемы);
• Аксиома Мартина плюс отрицание гипотезы континуума,

Проблема Уайтхеда не может быть решена в ZFC.

Обсуждение

Дж.Х.К. Уайтхед , движимый второй проблемой Кузена , впервые поставил эту проблему в 1950-х годах. Штейн ответил на вопрос утвердительно для счетных групп. эта проблема считалась важной в алгебре Прогресс в больших группах был медленным, и в течение нескольких лет .

Результат Шелы оказался совершенно неожиданным. Хотя существование неразрешимых утверждений было известно со времен теоремы Гёделя о неполноте 1931 года, все предыдущие примеры неразрешимых утверждений (такие как гипотеза континуума ) относились к чистой теории множеств . Проблема Уайтхеда была первой чисто алгебраической проблемой, неразрешимость которой оказалась доказана.

Позже Шела показал, что проблема Уайтхеда остается неразрешимой, даже если принять гипотезу континуума. Гипотеза Уайтхеда верна, если все множества конструируемы . Тот факт, что это и другие утверждения о несчетных абелевых группах доказуемо независимы от ZFC, показывает, что теория таких групп очень чувствительна к предполагаемой базовой теории множеств .

См. также

• Свободная абелева группа
• Кручение Уайтхеда
• Список утверждений, неразрешимых в ZFC
• Утверждения верны в L

Дальнейшее чтение

• Эклоф, Пол К. (декабрь 1976 г.). «Проблема Уайтхеда неразрешима». Американский математический ежемесячник . 83 (10): 775–788. дои : 10.2307/2318684 . JSTOR   2318684 . Пояснительный отчет о доказательстве Шелы.
• Эклоф, ПК (2001) [1994], «Проблема Уайтхеда» , Энциклопедия математики , EMS Press