Кручение Уайтхеда

В геометрической топологии , области математики, препятствие на пути гомотопической эквивалентности. $f\colon X\to Y$ конечных CW-комплексов , являющаяся простой гомотопической эквивалентностью, является его кручение Уайтхеда $\tau (f)$ который является элементом группы Уайтхеда $\operatorname {Wh} (\pi _{1}(Y))$. Эти понятия названы в честь математика Дж. Х. Уайтхеда .

Кручение Уайтхеда важно при применении теории хирургии к несвязным многообразиям размерности > 4: для односвязных многообразий группа Уайтхеда обращается в нуль, и, таким образом, гомотопическая эквивалентность и простая гомотопическая эквивалентность совпадают. Приложения относятся к дифференцируемым многообразиям, PL-многообразиям и топологическим многообразиям. Доказательства были впервые получены в начале 1960-х годов Стивеном Смейлом для дифференцируемых многообразий. Развитие теории ручек позволило получить почти такие же доказательства в категориях дифференцируемости и PL. Доказательства гораздо сложнее в топологической категории, требующей теории Робиона Кирби и Лорана К. Зибенмана . Ограничение на многообразия размерности больше четырех связано с применением трюка Уитни для удаления двойных точек.

При обобщении на неодносвязные многообразия теоремы о h -кобордизме , которая представляет собой утверждение об односвязных многообразиях, необходимо различать простые гомотопические эквивалентности и непростые гомотопические эквивалентности. В то время как h -кобордизм W между односвязными замкнутыми связными многообразиями M и N размерности n > 4 изоморфен цилиндру (соответствующая гомотопическая эквивалентность может считаться диффеоморфизмом, PL-изоморфизмом или гомеоморфизмом соответственно), о s Теорема -кобордизме утверждает, что если многообразия не односвязны, h -кобордизм является цилиндром тогда и только тогда, когда кручение Уайтхеда включения $M\hookrightarrow W$ исчезает.

Группа Уайтхеда

Группа Уайтхеда связного CW-комплекса или многообразия M равна группе Уайтхеда $\operatorname {Wh} (\pi _{1}(M))$ фундаментальной группы $\pi _{1}(M)$ М. ​ ​

Если G — группа, то группа Уайтхеда $\operatorname {Wh} (G)$ определяется как коядро отображения $G\times \{\pm 1\}\to K_{1}(\mathbb {Z} [G])$ который переводит ( g , ±1) в обратимую (1,1)-матрицу (± g ). Здесь $\mathbb {Z} [G]$ является кольцом G . групповым что K-группа K1 _{Напомним ,} ( A ) кольца A определяется как факторгруппа GL(A) по подгруппе, порожденной элементарными матрицами . Группа GL( A ) является прямым пределом конечномерных групп GL( n , A ) → GL( n +1, A ); конкретно, группа обратимых бесконечных матриц, которые отличаются от единичной матрицы только конечным числом коэффициентов. Элементарной матрицей здесь является трансвекция : такая, что все основные диагональные элементы равны 1 и существует не более одного ненулевого элемента, не лежащего на диагонали. Подгруппа, порожденная элементарными матрицами, является в точности производной подгруппой , другими словами, наименьшей нормальной подгруппой, фактор по которой является абелевым.

Другими словами, группа Уайтхеда $\operatorname {Wh} (G)$ группы G является фактором $\operatorname {GL} (\mathbb {Z} [G])$ подгруппой, порожденной элементарными матрицами, элементами G и $\pm 1$. Обратите внимание, что это то же самое, что фактор приведенной K-группы ${\tilde {K}}_{1}(\mathbb {Z} [G])$ от Г. ​

Примеры

• Группа Уайтхеда тривиальной группы тривиальна. Поскольку групповое кольцо тривиальной группы $\mathbb {Z} ,$ нам нужно показать, что любую матрицу можно записать как произведение элементарных матриц на диагональную матрицу; это легко следует из того, что $\mathbb {Z}$ является евклидовой областью .

• Группа Уайтхеда свободной абелевой группы тривиальна и является результатом Хаймана Басса , Алекса Хеллера и Ричарда Суона в 1964 году . Это довольно сложно доказать, но важно, поскольку оно используется при доказательстве того, что s -кобордизм размерности не менее 6, концы которого являются торами, является произведением. Это также ключевой алгебраический результат, используемый в теории хирургии классификации кусочно-линейных многообразий размерности не менее 5, которые гомотопически эквивалентны тору ; это существенный компонент структурной теории Кирби – Зибенмана 1969 года топологических многообразий размерности не менее 5.

• Группа Уайтхеда группы кос (или любой подгруппы группы кос) тривиальна. Это доказали Ф. Томас Фаррелл и Сайед К. Рушон.

• Группа Уайтхеда циклических групп порядков 2, 3, 4 и 6 тривиальна.

• Группа Уайтхеда циклической группы порядка 5 равна $\mathbb {Z}$. Это доказал в 1940 году Грэм Хигман . Пример нетривиальной единицы группового кольца возникает из тождества $(1-t-t^{4})(1-t^{2}-t^{3})=1,$ где t — генератор циклической группы пятого порядка. Этот пример тесно связан с существованием единиц бесконечного порядка (в частности, золотого сечения ) в кольце целых чисел кругового поля, порождённом корнями пятой степени из единицы.

• Группа Уайтхеда любой конечной группы G конечно порождена, ее ранг равен количеству неприводимых вещественных представлений группы G минус количество неприводимых рациональных представлений . Это было доказано в 1965 году Бассом.

• Если G — конечная циклическая группа, то $K_{1}(\mathbb {Z} [G])$ изоморфен единицам группового кольца $\mathbb {Z} [G]$ под детерминантным отображением, поэтому Wh( G ) — это просто группа единиц $\mathbb {Z} [G]$ по модулю группы «тривиальных единиц», порожденных элементами G и −1.

• Хорошо известна гипотеза о том, что группа Уайтхеда любой группы без кручения должна исчезать.

Кручение Уайтхеда

Сначала определим кручение Уайтхеда $\tau (h_{*})\in {\tilde {K}}_{1}(R)$ для цепной гомотопической эквивалентности $h_{*}:D_{*}\to E_{*}$ конечнобазируемых свободных R -цепных комплексов. Гомотопической эквивалентности можно сопоставить ее конус отображения C _* := cone _* (h _* ), который представляет собой стягиваемый конечный базируемый свободный R -цепной комплекс. Позволять $\gamma _{*}:C_{*}\to C_{*+1}$ — любое цепное стягивание конуса отображения, т. е. $c_{n+1}\circ \gamma _{n}+\gamma _{n-1}\circ c_{n}=\operatorname {id} _{C_{n}}$ для всех н . Получаем изоморфизм $(c_{*}+\gamma _{*})_{\mathrm {odd} }:C_{\mathrm {odd} }\to C_{\mathrm {even} }$ с

$C_{\mathrm {odd} }:=\bigoplus _{n{\text{ odd}}}C_{n},\qquad C_{\mathrm {even} }:=\bigoplus _{n{\text{ even}}}C_{n}.$

Мы определяем $\tau (h_{*}):=[A]\in {\tilde {K}}_{1}(R)$, где A — матрица $(c_{*}+\gamma _{*})_{\rm {odd}}$ относительно данных оснований.

Для гомотопической эквивалентности $f:X\to Y$ связных конечных CW-комплексов определим кручение Уайтхеда $\tau (f)\in \operatorname {Wh} (\pi _{1}(Y))$ следующее. Позволять ${\tilde {f}}:{\tilde {X}}\to {\tilde {Y}}$ быть лифтом $f:X\to Y$ универсальному покрытию. Это вызывает $\mathbb {Z} [\pi _{1}(Y)]$-цепные гомотопические эквивалентности $C_{*}({\tilde {f}}):C_{*}({\tilde {X}})\to C_{*}({\tilde {Y}})$. Теперь мы можем применить определение кручения Уайтхеда для цепной гомотопической эквивалентности и получить элемент из ${\tilde {K}}_{1}(\mathbb {Z} [\pi _{1}(Y)])$ который мы отображаем в Wh(π ₁ ( Y )). Это кручение Уайтхеда τ(ƒ) ∈ Wh(π ₁ ( Y )).

Свойства

Гомотопическая инвариантность: Пусть $f,g\colon X\to Y$ — гомотопические эквивалентности конечных связных CW-комплексов. Если f и g гомотопны, то $\tau (f)=\tau (g)$.

Топологическая инвариантность: если $f\colon X\to Y$ является гомеоморфизмом конечных связных CW-комплексов, то $\tau (f)=0$.

Формула композиции: Пусть $f\colon X\to Y$, $g\colon Y\to Z$ — гомотопические эквивалентности конечных связных CW-комплексов. Затем $\tau (g\circ f)=g_{*}\tau (f)+\tau (g)$.

интерпретация

Теорема о s-кобордизме утверждает для замкнутого связного ориентированного многообразия M размерности n > 4, что h-кобордизм W между M и другим многообразием N тривиален над M тогда и только тогда, когда кручение Уайтхеда включения $M\hookrightarrow W$ исчезает. Более того, для любого элемента группы Уайтхеда существует h-кобордизм W над M , кручение Уайтхеда которого является рассматриваемым элементом. Доказательства используют разложение по дескриптору .

Существует гомотопический аналог теоремы о s-кобордизме. Для заданного CW-комплекса A рассмотрим множество всех пар CW-комплексов ( X , A ) таких, что включение A в X является гомотопической эквивалентностью. Две пары ( X ₁ , A ) и ( X ₂ , A ) называются эквивалентными, если существует простая гомотопическая эквивалентность между X ₁ и X ₂ относительно A . Множество таких классов эквивалентности образует группу, в которой сложение задается объединением X ₁ и X ₂ с общим подпространством A . Эта группа естественно изоморфна группе Уайтхеда Wh( A ) CW-комплекса A . Доказательство этого факта аналогично доказательству теоремы о s-кобордизме .

См. также

• Алгебраическая K-теория
• кручение Райдемейстера
• Теорема о s-кобордизме
• Препятствие конечности стены

Ссылки

• Басс, Хайман ; Хеллер, Алекс; Свон, Ричард (1964), «Группа Уайтхеда полиномиального расширения» , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 22 : 61–79, doi : 10.1007/BF02684690 , MR   0174605 , S2CID   4649786
• Коэн, М. Курс простой теории гомотопий. Текст для аспирантов по математике 10, Springer, 1973.
• Хигман, Грэм (1940), «Единицы групповых колец», Труды Лондонского математического общества , 2, 46 : 231–248, doi : 10.1112/plms/s2-46.1.231 , MR   0002137
• Кирби, Робион ; Зибенманн, Лоран (1977), Основополагающие эссе по топологическим многообразиям, сглаживаниям и триангуляциям , Анналы математических исследований, том. 88, Издательство Принстонского университета , Принстон, Нью-Джерси; Издательство Токийского университета , Токио
• Милнор, Джон (1966), «Кручение Уайтхеда», Бюллетень Американского математического общества , 72 (3): 358–426, doi : 10.1090/S0002-9904-1966-11484-2 , MR   0196736
• Смейл, Стивен (1962), «О структуре многообразий», American Journal of Mathematics , 84 (3): 387–399, doi : 10.2307/2372978 , JSTOR   2372978 , MR   0153022
• Уайтхед, JHC (1950), «Простые гомотопические типы», American Journal of Mathematics , 72 (1): 1–57, doi : 10.2307/2372133 , JSTOR   2372133 , MR   0035437

Внешние ссылки

• Описание кручения Уайтхеда находится во втором разделе .