Ручка

В математической области геометрической топологии тело ручки представляет собой разложение многообразия на стандартные части. Ручки играют важную роль в теории Морса , теории кобордизмов и теории хирургии многообразий большой размерности. Ручки используются для изучения трехмерных многообразий .

Тела-ручки играют ту же роль в изучении многообразий, что и симплициальные комплексы и комплексы CW в теории гомотопий , позволяя анализировать пространство с точки зрения отдельных частей и их взаимодействий.

n- мерные корпуса ручек

Если $(W,\partial W)$ это $n$ -мерное многообразие с краем и

S^{r-1}\times D^{n-r}\subset \partial W

(где $S^{n}$ представляет собой n-сферу и $D^{n}$ является n-шаром ) является вложением, $n$ -мерное многообразие с краем

(W',\partial W')=((W\cup (D^{r}\times D^{n-r})),(\partial W-S^{r-1}\times D^{n-r})\cup (D^{r}\times S^{n-r-1}))

говорят, что получено из

(W,\partial W)

прикрепив $r$ -ручка .Граница $\partial W'$ получается из $\partial W$ путем хирургическим . В качестве тривиальных примеров отметим, что присоединение 0-метки — это просто непересекающееся объединение с шаром, а присоединение n-метки к $(W,\partial W)$ склеивает шар по любой сферической составляющей $\partial W$ . Теория Морса использовалась Томом и Милнором, чтобы доказать, что каждое многообразие (с краем или без него) является телом ручки, то есть оно имеет выражение как объединение ручек. Выражение не уникально: манипулирование разложением тела ручки является важным компонентом доказательства теоремы Смейла о h-кобордизме и ее обобщения на теорему о s-кобордизме . Многообразие называется «телом k-ручки», если оно представляет собой объединение r-ручек, для r не более k. Это не то же самое, что размерность многообразия. Например, 4-мерное тело с двумя ручками представляет собой объединение 0-ручек, 1-ручек и 2-ручек. Любое многообразие является n-телом-ручкой, то есть любое многообразие представляет собой объединение ручек. Нетрудно увидеть, что многообразие является (n-1)-телом-ручкой тогда и только тогда, когда оно имеет непустой край.Любое разложение многообразия по ручке определяет комплексное разложение многообразия CW, поскольку присоединение r-ручки с точностью до гомотопической эквивалентности аналогично присоединению r-ячейки. Однако разложение тела-ручки дает больше информации, чем просто гомотопический тип многообразия. Например, разложение по ручке-телу полностью описывает многообразие с точностью до гомеоморфизма. В четвертом измерении они даже описывают гладкую структуру, если прикрепляемые карты являются гладкими. Это неверно в более высоких измерениях; любой экзотическая сфера — это объединение 0-метки и n-метки.

Трехмерные корпуса ручек

Тело ручки можно определить как ориентируемое трехмерное многообразие с границей, содержащее попарно непересекающиеся, правильно вложенные 2-диски, так что многообразие, полученное в результате разрезания вдоль дисков, представляет собой 3-шар. Полезно представить, как обратить этот процесс вспять, чтобы получить тело ручки. (Иногда из этого последнего определения исключают гипотезу ориентируемости и получают более общий вид тела-ручки с неориентируемой рукояткой.)

Род род тела-ручки — это его граничной поверхности . С точностью до гомеоморфизма существует ровно одно дескрипторное тело любого неотрицательного целого рода.

Важность тел-ручек в теории трёх многообразий проистекает из их связи с расщеплениями Хигора . Важность тел-ручек в геометрической теории групп обусловлена тем фактом, что их фундаментальная группа свободна.

Трехмерный корпус ручки иногда, особенно в старой литературе, называют кубом с ручками .

Примеры

Пусть G — связный конечный граф, вложенный в евклидово пространство размерности n. Пусть V — замкнутая регулярная окрестность группы G в евклидовом пространстве. Тогда V — n-мерное тело-ручка. Граф G называется позвоночником V .

ручка нулевого рода гомеоморфно тройке B Любое тело - ³. Ручка рода один гомеоморфна B. ² × С ¹ (где С ¹ есть окружность называется полноторием ) и . Все остальные тела-ручки можно получить, взяв гранично- связную сумму набора полноторий.

См. также

Разложение ручки

Ссылки

Мацумото, Юкио (2002), Введение в теорию Морса , Переводы математических монографий, том. 208, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN. 978-0-8218-1022-4 , МР 1873233