Расщепление Хегора

В математической области геометрической топологии Хегора расщепление ( Датский: [ˈhe̝ˀˌkɒˀ] ^ⓘ) — это разложение компактного ориентированного 3-многообразия , возникающее в результате его разделения на два тела-ручки .

Определения

Пусть V и W — тела-ручки рода g пусть ƒ — гомеоморфизм обращающий ориентацию, от границы V , и к границе W. , Приклеивая V к W вдоль ƒ, получаем компактное ориентированное 3-многообразие

M=V\cup _{f}W.

Таким образом можно получить любое замкнутое ориентируемое трехмерное многообразие; о триангуляции трехмерных многообразий это следует из глубоких результатов Мойзе . Это сильно контрастирует с многообразиями более высокой размерности, которые не обязательно допускают гладкие или кусочно-линейные структуры. В предположении гладкости существование расщепления Хегора также следует из работы Смейла о ручочных разложениях из теории Морса.

Разложение M на два тела-ручки называется расщеплением Хегора , а их общая граница H называется Хегора поверхностью расщепления . Расщепления рассматриваются с точностью до изотопии .

Отображение склейки ƒ необходимо указать только до принятия двойного класса в группе классов отображения H смежного . Эту связь с группой картографических классов впервые установил WBR Ликориш .

Расщепления Хигора также можно определить для компактных трехмерных многообразий с краем, заменив тела-ручки телами сжатия . Карта склейки находится между положительными границами тел сжатия.

Замкнутая кривая называется существенной, если она не гомотопна точке, проколу или граничной компоненте. ^[1]

Расщепление Хигора приводимо , если существует существенная простая замкнутая кривая $\alpha$ на H, который ограничивает диск как в V , так и в W . Расщепление неприводимо, если оно неприводимо. следует Из леммы Хакена , что в приводимом многообразии любое расщепление приводимо.

Расщепление Хигора стабилизируется , если существуют существенные простые замкнутые кривые $\alpha$ и $\beta$ на H , где $\alpha$ ограничивает диск в V , $\beta$ ограничивает диск в W и $\alpha$ и $\beta$ пересекаются ровно один раз. следует Из теоремы Вальдхаузена , что каждое приводимое расщепление неприводимого многообразия стабилизировано.

Расщепление Хегора слабо приводимо , если существуют непересекающиеся существенные простые замкнутые кривые $\alpha$ и $\beta$ на H , где $\alpha$ ограничивает диск в V и $\beta$ ограничивает диск в W . Расщепление является сильно неприводимым , если оно не является слабо приводимым.

Расщепление Хегора является минимальным или минимальным родом, если не существует другого расщепления объемлющего трехмногообразия нижнего рода . Минимальное значение g поверхности расщепления является Хегора родом M .

Обобщенные расщепления Хигора

Обобщенное расщепление Хигора M представляет собой разложение на тела сжатия. $V_{i},W_{i},i=1,\dotsc ,n$ и поверхности $H_{i},i=1,\dotsc ,n$ такой, что $\partial _{+}V_{i}=\partial _{+}W_{i}=H_{i}$ и $\partial _{-}W_{i}=\partial _{-}V_{i+1}$ . Внутренности тел сжатия должны быть попарно непересекающимися, а их объединение должно быть полностью $M$ . Поверхность $H_{i}$ образует поверхность Хегора для подмногообразия $V_{i}\cup W_{i}$ из $M$ . что здесь каждый Vi _{(Обратите внимание ,} и Wi _может иметь более одного компонента.)

Обобщенное расщепление Хигора называется сильно неприводимым, если каждое $V_{i}\cup W_{i}$ сильно неприводима.

Существует аналогичное понятие тонкого положения , определенное для узлов, для расщеплений Хегора. Сложность связной поверхности S , c(S) определяется как $\operatorname {max} \left\{0,1-\chi (S)\right\}$ ; сложность несвязной поверхности равна сумме сложностей ее компонентов. Сложность обобщенного расщепления Хегора - это мультимножество $\{c(S_{i})\}$ , где индекс пробегает поверхности Хегора в обобщенном расщеплении. Эти мультимножества можно хорошо упорядочить с помощью лексикографического порядка (монотонно убывающего). Обобщенное расщепление Хигора является тонким , если его сложность минимальна.

Примеры

Трехсферный: Трехсфера $S^{3}$ представляет собой набор векторов в $\mathbb {R} ^{4}$ с длиной один. Пересекая это с $xyz$ гиперплоскость дает две сферы . Это стандартное разбиение по роду на ноль. $S^{3}$ . И наоборот, согласно трюку Александера , все многообразия, допускающие расщепление рода нуль гомеоморфны , $S^{3}$ .
При обычном обозначении $\mathbb {R} ^{4}$ с $\mathbb {C} ^{2}$ мы можем просмотреть $S^{3}$ как жить в $\mathbb {C} ^{2}$ . Тогда множество точек, в которых каждая координата имеет норму $1/{\sqrt {2}}$ образует тор Клиффорда , $T^{2}$ . Это стандартное разбиение на один род. $S^{3}$ . (См. также обсуждение в связке Хопфа .)
Стабилизация: Учитывая расщепление Хигора H в M, формируется взятия путем стабилизация H связной суммы пары $(M,H)$ с парой $\left(S^{3},T^{2}\right)$ . Легко показать, что процедура стабилизации приводит к стабилизированным расщеплениям. Индуктивно расщепление является стандартным , если оно является стабилизацией стандартного расщепления.
Пространства линз: Все имеют стандартное разделение на первый род. Это образ тора Клиффорда в $S^{3}$ под картой частных, используемой для определения рассматриваемого пространства линзы. Из структуры группы классов отображений двухтора следует , что только линзовые пространства имеют расщепления рода один.
Трехторный: Напомним, что трехтор $T^{3}$ является декартовым произведением трех копий $S^{1}$ ( круги ). Позволять $x_{0}$ быть точкой $S^{1}$ и рассмотрим график $\Gamma =S^{1}\times \{x_{0}\}\times \{x_{0}\}\cup \{x_{0}\}\times S^{1}\times \{x_{0}\}\cup \{x_{0}\}\times \{x_{0}\}\times S^{1}$ . Легко показать, что V — регулярная окрестность $\Gamma$ , представляет собой корпус ручки как есть $T^{3}-V$ . Таким образом, граница V в $T^{3}$ является расщеплением Хегора, и это стандартное расщепление $T^{3}$ . доказали Чарльз Фроман и Джоэл Хасс , что любое другое расщепление Хигора трехтора рода 3 топологически эквивалентно этому. Мишель Буало и Жан-Пьер Оталь доказали, что в общем случае любое расщепление Хигора трехтора эквивалентно результату стабилизации этого примера.

Теоремы

Лемма Александра: С точностью до изотопии имеет место однозначное ( кусочно-линейное ) вложение двухсферы в трехсферу. (В более высоких измерениях это известно как теорема Шенфлиса . В измерении два это теорема о жордановой кривой .) Это можно переформулировать следующим образом: расщепление по роду нуль $S^{3}$ является уникальным.
Теорема Вальдхаузена: Каждое расщепление $S^{3}$ получается путем стабилизации однозначного расщепления нулевого рода.

Предположим теперь, что M — замкнутое ориентируемое трехмерное многообразие.

Теорема Райдемейстера – Зингера: Для любой пары разбиений $H_{1}$ и $H_{2}$ в M есть третье расщепление $H$ в M, что является стабилизацией обоих.
Лемма Хакена: Предположим, что $S_{1}$ является существенной двусферой в M и H является расщеплением Хегора. Тогда существует существенная двусфера $S_{2}$ в M встречается с H по одной кривой.

Классификации

Существует несколько классов трехмерных многообразий, в которых набор расщеплений Хигора полностью известен. Например, теорема Вальдхаузена показывает, что все расщепления $S^{3}$ являются стандартными. То же самое справедливо и для линзовых пространств (как доказали Фрэнсис Бонахон и Отал).

Расщепления расслоений Зейферта более тонкие. Здесь все расщепления могут быть изотопированы как вертикальные или горизонтальные (как доказали Йоав Мориа и Дженнифер Шультенс ).

Купер и Шарлеманн (1999) классифицировали расщепления расслоений торов (которые включают все трехмерные многообразия с геометрией Солнца ). Из их работы следует, что все расслоения торов имеют единственное расщепление минимального рода. Все остальные расщепления расслоения тора являются стабилизациями минимального рода.

В статье Кобаяши (2001) классифицируются расщепления Хигора гиперболических трехмерных многообразий, которые являются дополнениями к узлам с двумя мостами.

Вычислительные методы можно использовать для определения или аппроксимации рода Хигора трехмерного многообразия. Программное обеспечение Джона Берджа Heegaard изучает расщепления Хигора, порожденные фундаментальной группой многообразия.

Приложения и подключения

Минимальные поверхности

Расщепления Хегора появились в теории минимальных поверхностей впервые в работе Блейна Лоусона , который доказал, что вложенные минимальные поверхности в компактных многообразиях положительной секционной кривизны являются расщеплениями Хегора. Этот результат был распространен Уильямом Миксом на плоские многообразия, за исключением того, что он доказывает, что вложенная минимальная поверхность в плоском трехмерном многообразии является либо поверхностью Хигора, либо полностью геодезической .

Микс и Шинг-Тунг Яу продолжили использовать результаты Вальдхаузена для доказательства результатов о топологической единственности минимальных поверхностей конечного рода в $\mathbb {R} ^{3}$ . Окончательная топологическая классификация вложенных минимальных поверхностей в $\mathbb {R} ^{3}$ было дано Миксом и Фроманом. Результат во многом основывался на методах, разработанных для изучения топологии расщеплений Хигора.

Гомологии Хегорада Флоера

Диаграммы Хигора, которые представляют собой простые комбинаторные описания расщеплений Хигора, широко использовались для построения инвариантов трехмерных многообразий. Самым последним примером этого является гомология Хегаарда Флоера Питера Озсвата и Золтана Сабо . В теории используется $g^{th}$ симметричное произведение поверхности Хигора как окружающего пространства и торов, построенных на границах меридианных дисков для двух ручек как лагранжевых подмногообразий .

История

Идея расщепления Хигора была предложена Полом Хигором ( 1898 ). Хотя расщепления Хигора широко изучались такими математиками, как Вольфганг Хакен и Фридхельм Вальдхаузен в 1960-х годах, только несколько десятилетий спустя эта область была обновлена Эндрю Кассоном и Кэмероном Гордоном ( 1987 ), в первую очередь благодаря их концепции сильной неприводимости .

См. также

Ссылки

^ Фарб, Б.; Маргалит, Д. Букварь по картированию групп классов . Издательство Принстонского университета. п. 22.

Фарб, Бенсон ; Маргалит, Дэн, Учебник по картированию классовых групп , Princeton University Press
Кассон, Эндрю Дж .; Гордон, Кэмерон МакА. (1987), «Уменьшение расщеплений Хигора», Топология и ее приложения , 27 (3): 275–283, doi : 10.1016/0166-8641(87)90092-7 , ISSN 0166-8641 , MR 0918537
Купер, Дэрил; Шарлеманн, Мартин (1999), «Структура расщепления Хегора солвмногообразия» , Turkish Journal of Mathematics , 23 (1): 1–18, ISSN 1300-0098 , MR 1701636 , заархивировано из оригинала 22 августа 2011 г. , получено 11 января 2020 г.
Хегор, Пол (1898), Предварительные сведения к топологической теории соединения алгебраических поверхностей (PDF) , Диссертация (на датском языке), JFM 29.0417.02
Хемпель, Джон (1976), 3-многообразия , Анналы математических исследований, том. 86, Издательство Принстонского университета , ISBN 978-0-8218-3695-8 , МР 0415619
Кобаяши, Цуёси (2001), «Расщепление Хигора экстерьеров двух мостовых узлов» , Геометрия и топология , 5 (2): 609–650, arXiv : math/0101148 , doi : 10.2140/gt.2001.5.609 , S2CID 13991798

[1] Фарб, Б.; Маргалит, Д. Букварь по картированию групп классов . Издательство Принстонского университета. п. 22.

[1]