3-сфера

Прямая проекция *трехмерной сферы* в трехмерное пространство, покрытая поверхностной сеткой, показывающая структуру в виде стопки трехмерных сфер ( *двух сфер* )

В математике , 3-сфера глом или гиперсфера — это многомерный аналог сферы . В 4-мерном евклидовом пространстве это множество точек, равноудалённых от фиксированной центральной точки. Аналогично тому, как граница шара в трех измерениях представляет собой обычную сферу (или 2-сферу, двумерную поверхность ), граница шара в четырех измерениях (гонгил) представляет собой 3-сферу (3- мерную поверхность ). "поверхность"). Топологически 3-сфера является примером 3-многообразия , а также является n -сферой .

Определение

В координатах 3-сфера с центром $(C 0, C 1, C 2, C 3)$ и радиусом $r$ представляет собой набор всех точек $(x 0, x 1, x 2, x 3)$ в реальном, 4-мерном пространстве. пространство ( $Р 4$ ) такой, что

\sum _{i=0}^{3}(x_{i}-C_{i})^{2}=(x_{0}-C_{0})^{2}+(x_{1}-C_{1})^{2}+(x_{2}-C_{2})^{2}+(x_{3}-C_{3})^{2}=r^{2}.

3-сфера с центром в начале координат и радиусом 1 называется единичной 3-сферой и обычно обозначается $S. 3$ :

S^{3}=\left\{(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})\in \mathbb {R} ^{4}:x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1\right\}.

Часто удобно рассматривать $R 4$ как пространство с двумя комплексными измерениями ( $C 2$ ) или кватернионы ( $H$ ). Тогда единичная 3-сфера определяется выражением

S^{3}=\left\{(z_{1},z_{2})\in \mathbb {C} ^{2}:|z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2}=1\right\}

или

S^{3}=\left\{q\in \mathbb {H} :\|q\|=1\right\}.

Это описание как кватернионов первой нормы отождествляет 3-сферу с версорами кватернионов в теле . Точно так же, как единичный круг важен для плоских полярных координат , так и 3-сфера важна в полярном взгляде на 4-пространство, участвующее в умножении кватернионов. См . полярное разложение кватерниона для получения подробной информации об этом развитии трехсферы. Этот взгляд на 3-сферу является основой для изучения эллиптического пространства , разработанного Жоржем Леметром . ^{[ 1 ]}

Характеристики

Элементарные свойства

Трехмерный поверхностный объем трехмерной сферы радиуса $r$ равен

SV=2\pi ^{2}r^{3}\,

в то время как 4-мерный гиперобъем (содержимое 4-мерной области, ограниченной 3-сферой) равен

H={\frac {1}{2}}\pi ^{2}r^{4}.

Каждое непустое пересечение 3-сферы с трехмерной гиперплоскостью является 2-сферой (если только гиперплоскость не касается 3-сферы, в этом случае пересечение представляет собой одну точку). Когда 3-сфера движется через данную трехмерную гиперплоскость, пересечение начинается с точки, затем становится растущей 2-сферой, которая достигает своего максимального размера, когда гиперплоскость пересекает «экватор» 3-сферы. Затем 2-сфера снова сжимается до одной точки, когда 3-сфера покидает гиперплоскость.

В данной трехмерной гиперплоскости 3-сфера может вращаться вокруг «экваториальной плоскости» (аналогично 2-сфере, вращающейся вокруг центральной оси), и в этом случае она кажется 2-сферой постоянного размера.

Топологические свойства

Трехмерная сфера — это трехмерное многообразие компактное связное без края . Это тоже просто связано . В широком смысле это означает, что любую петлю или круговой путь в 3-сфере можно непрерывно сжимать до точки, не покидая 3-сферы. Гипотеза Пуанкаре , доказанная в 2003 году Григорием Перельманом , утверждает, что 3-сфера — единственное трёхмерное многообразие (с точностью до гомеоморфизма ) с этими свойствами.

3-сфера гомеоморфна одноточечной R $компактификации 3$ . В общем, любое топологическое пространство , гомеоморфное 3-сфере, называется топологической 3-сферой .

Группы гомологий 3-сферы таковы: $H 0 (S 3, Z)$ и $H 3 (S 3, Z)$ являются бесконечными циклическими , а $H i (S 3, Z) = {}$ для всех остальных индексов $i$ . Любое топологическое пространство с этими группами гомологии известно как 3-сфера гомологии . Первоначально Пуанкаре предположил, что все гомологические 3-сферы гомеоморфны $S 3$ , но затем сам построил негомеоморфную сферу, известную теперь как сфера гомологий Пуанкаре . Сейчас известно, что существует бесконечно много сфер гомологии. Например, заполнение Дена с уклоном $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠ 1 / n ⁠$ на любом узле в 3-сфере дает сферу гомологий; обычно они не гомеоморфны 3-сфере.

Что касается гомотопических групп , то мы имеем $π 1 (S 3) = π 2 (S 3) = {}$ и $π 3 (S 3)$ является бесконечной циклической. Все группы высшей гомотопии ( $k \geq 4$ ) являются конечными абелевыми , но в остальном не следуют никакой заметной закономерности. Для более подробной информации см. гомотопические группы сфер .

Гомотопические группы $S 3$
$к$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
$π k (S 3)$	0	0	0	$С$	$З 2$	$З 2$	$З 12$	$З 2$	$З 2$	$З 3$	$З 15$	$З 2$	$Z 2 \oplus Z 2$	$Z 12 \oplus Z 2$	$Z 84 \oplus Z 2 \oplus Z 2$	$Z 2 \oplus Z 2$	$З 6$

Геометрические свойства

3-сфера, естественно, является многообразием , фактически замкнутым вложенным подмногообразием R $гладким 4$ . Евклидова метрика на $R 4$ индуцирует метрику на 3-сфере, придавая ей структуру риманова многообразия . Как и все сферы, 3-сфера имеет постоянную положительную кривизну сечения, равную $⁠ 1 / р 2 ⁠$ где $r$ - радиус.

Большая часть интересной геометрии 3-сферы проистекает из того факта, что 3-сфера имеет естественную структуру группы Ли, заданную умножением кватернионов (см. раздел о структуре группы ниже ). Единственные другие сферы с такой структурой — это 0-сфера и 1-сфера (см. группу кругов ).

В отличие от 2-сферы, 3-сфера допускает неисчезающие векторные поля ( сечения ее касательного расслоения ). Можно даже найти три линейно независимых и ненулевых векторных поля. В качестве них можно взять любые левоинвариантные векторные поля, составляющие базис алгебры Ли трехмерной сферы. Это означает, что 3-сфера распараллеливаема . Отсюда следует, что касательное расслоение к 3-сфере тривиально . Общее обсуждение количества линейных независимых векторных полей на $n$ -сфере см. в статье « Векторные поля на сферах» .

Существует интересное действие группы окружностей $T$ на $S. 3$ придавая 3-сфере структуру расслоения главных кругов, известного как расслоение Хопфа . Если подумать о $С. 3$ как подмножество $C 2$ , действие задается формулой

(z_{1},z_{2})\cdot \lambda =(z_{1}\lambda ,z_{2}\lambda )\quad \forall \lambda \in \mathbb {T}

.

Пространство орбит этого действия гомеоморфно двусфере $S 2$ . Поскольку $С 3$ не гомеоморфно $S 2 \times С 1$ , расслоение Хопфа нетривиально.

Топологическое построение

Существует несколько известных конструкций трехсферы. Здесь мы опишем склейку пары тройок, а затем одноточечную компактификацию.

Склеивание

3-сферу можно построить топологически, « склеив» границы пары 3- шаров . Границей 3-шара является 2-сфера, и эти две 2-сферы необходимо идентифицировать. То есть представьте себе пару 3-шаров одинакового размера, затем наложите их так, чтобы их 2-сферические границы совпадали, и пусть совпадающие пары точек на паре 2-сфер будут тождественно эквивалентны друг другу. По аналогии со случаем 2-сферы (см. ниже) поверхность склейки называется экваториальной сферой.

Обратите внимание, что внутренние части трех шаров не склеены друг с другом. Один из способов представить четвертое измерение — это непрерывная вещественная функция трехмерных координат трехмерного шара, которую, возможно, считают «температурой». Примем «температуру» вдоль склеенной 2-сферы равной нулю и пусть один из 3-шариков будет «горячим», а другой 3-шарик «холодным». «Горячий» шар-тройку можно рассматривать как «верхнее полушарие», а «холодный» шар-тройку можно рассматривать как «нижнее полушарие». Температура самая высокая/самая низкая в центрах двух трехшариков.

Эта конструкция аналогична конструкции 2-сферы, выполняемой путем склейки границ пары дисков. Диск представляет собой 2-шар, а граница диска — круг (1-сфера). Пусть пара дисков одинакового диаметра. Наложите их друг на друга и приклейте на их границы соответствующие точки. И снова можно думать о третьем измерении как о температуре. Аналогичным образом мы можем раздуть 2-сферу, переместив пару дисков так, чтобы они стали северным и южным полушариями.

Одноточечная компактификация

После удаления одной точки из 2-сферы остается гомеоморфная евклидовой плоскости. Точно так же удаление одной точки из трехмерной сферы дает трехмерное пространство. Чрезвычайно полезный способ увидеть это – стереографическая проекция . Сначала мы опишем версию меньшей размерности.

Положите южный полюс единичной 2-сферы на $плоскость xy$ в трехмерном пространстве. Мы отображаем точку $P$ сферы (минус северный полюс $N$ ) на плоскость, отправляя $P$ в пересечение линии $NP$ с плоскостью. Стереографическая проекция трехмерной сферы (снова удаляя северный полюс) таким же образом отображается в трехмерное пространство. (Обратите внимание, что, поскольку стереографическая проекция конформна , круглые сферы передаются в круглые сферы или в плоскости.)

Несколько иной способ представить одноточечную компактификацию — использовать экспоненциальное отображение . Возвращаясь к нашей картине единичной двухсферы, расположенной на евклидовой плоскости: рассмотрим геодезическую на плоскости, основанную в начале координат, и сопоставим ее с геодезической в двухсфере той же длины, основанной на южном полюсе. По этой карте все точки круга радиуса $π$ направляются к северному полюсу. Поскольку открытый единичный диск гомеоморфен евклидовой плоскости, это снова одноточечная компактификация.

Аналогично строится экспоненциальное отображение для 3-сферы; это также можно обсудить, используя тот факт, что 3-сфера представляет собой группу Ли единичных кватернионов.

Системы координат на 3-сфере

Четыре евклидовых координаты для $S 3$ избыточны, поскольку на них распространяется условие $x 02 + х 12 + х2 2 + х 32 = 1$ . В качестве трехмерного многообразия необходимо иметь возможность параметризовать $S 3$ по трем координатам, точно так же, как можно параметризовать 2-сферу, используя две координаты (например, широту и долготу ). Ввиду нетривиальной топологии $S 3$ невозможно найти единый набор координат, охватывающий все пространство. Так же, как и на 2-сфере, необходимо использовать как минимум две координатные карты . Ниже приведены некоторые различные варианты координат.

Гиперсферические координаты

Удобно иметь какие-то гиперсферические координаты . на $S 3$ по аналогии с обычными сферическими координатами на $S 2$ . Одним из таких вариантов (ни в коем случае не единственным) является использование $(ψ, θ, φ)$ , где

{\begin{aligned}x_{0}&=r\cos \psi \\x_{1}&=r\sin \psi \cos \theta \\x_{2}&=r\sin \psi \sin \theta \cos \varphi \\x_{3}&=r\sin \psi \sin \theta \sin \varphi \end{aligned}}

где $ψ$ и $θ$ находятся в диапазоне от 0 до $π$ , а $φ$ — в диапазоне от 0 до 2 $π$ . Обратите внимание, что для любого фиксированного значения $ψ$ , $θ$ и $φ$ параметризуют 2-сферу радиуса $r\sin \psi$ , за исключением вырожденных случаев, когда $ψ$ равно 0 или $π$ , и в этом случае они описывают точку.

Круглая метрика на 3-сфере в этих координатах имеет вид ^{[ 2 ]}

ds^{2}=r^{2}\left[d\psi ^{2}+\sin ^{2}\psi \left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}\right)\right]

и форма объема по

dV=r^{3}\left(\sin ^{2}\psi \,\sin \theta \right)\,d\psi \wedge d\theta \wedge d\varphi .

Эти координаты имеют элегантное описание в терминах кватернионов . Любой единичный кватернион $q$ можно записать как версор :

q=e^{\tau \psi }=\cos \psi +\tau \sin \psi

где $τ$ — единичный мнимый кватернион ; то есть кватернион, удовлетворяющий условию $τ 2 = -1$ . Это кватернионный аналог формулы Эйлера . Теперь все единичные мнимые кватернионы лежат на единичной 2-сфере в $Im H,$ поэтому любое такое $τ$ можно записать:

\tau =(\cos \theta )i+(\sin \theta \cos \varphi )j+(\sin \theta \sin \varphi )k

Если $τ$ в этой форме, единичный кватернион $q$ определяется выражением

q=e^{\tau \psi }=x_{0}+x_{1}i+x_{2}j+x_{3}k

где $x 0,1,2,3$ такие же, как указано выше.

Когда $q$ используется для описания пространственных вращений (ср. кватернионы и пространственные вращения ), оно описывает вращение вокруг $τ$ на угол $2 ψ$ .

Координаты Хопфа

Для единичного радиуса другой выбор гиперсферических координат $(η, ξ 1, ξ 2)$ использует вложение $S 3$ в $С 2$ . В комплексных координатах $(z 1, z 2) \in C 2$ мы пишем

{\begin{aligned}z_{1}&=e^{i\,\xi _{1}}\sin \eta \\z_{2}&=e^{i\,\xi _{2}}\cos \eta .\end{aligned}}

Это также можно выразить через $R 4$ как

{\begin{aligned}x_{0}&=\cos \xi _{1}\sin \eta \\x_{1}&=\sin \xi _{1}\sin \eta \\x_{2}&=\cos \xi _{2}\cos \eta \\x_{3}&=\sin \xi _{2}\cos \eta .\end{aligned}}

Здесь $η$ находится в диапазоне от 0 до ⁠ $π$ / 2 ⁠ , а $ξ 1$ и $ξ 2$ могут принимать любые значения от 0 до 2 $π$ . Эти координаты полезны при описании трехмерной сферы как расслоения Хопфа.

S^{1}\to S^{3}\to S^{2}.\,

Для любого фиксированного значения $η$ от 0 до ⁠ $π$ / 2 ⁠ , координаты $(ξ 1, ξ 2)$ параметризуют двумерный тор . Кольца констант $ξ 1$ и $ξ 2$ , приведенные выше, образуют простые ортогональные сетки на торах. См. изображение справа. В вырожденных случаях, когда $η$ равно 0 или ⁠ $π$ / 2 ⁠ , эти координаты описывают окружность .

Круглая метрика на 3-сфере в этих координатах имеет вид

ds^{2}=d\eta ^{2}+\sin ^{2}\eta \,d\xi _{1}^{2}+\cos ^{2}\eta \,d\xi _{2}^{2}

и форма объема по

dV=\sin \eta \cos \eta \,d\eta \wedge d\xi _{1}\wedge d\xi _{2}.

Чтобы получить пересекающиеся окружности расслоения Хопфа , сделайте простую замену в приведенных выше уравнениях. ^{[ 3 ]}

{\begin{aligned}z_{1}&=e^{i\,(\xi _{1}+\xi _{2})}\sin \eta \\z_{2}&=e^{i\,(\xi _{2}-\xi _{1})}\cos \eta .\end{aligned}}

В этом случае $η$ и $ξ 1$ определяют, какой круг, а $ξ 2$ определяет положение вдоль каждого круга. Одно путешествие туда и обратно (от 0 до 2 $π$ ) $ξ 1$ или $ξ 2$ соответствует обходу тора туда и обратно в двух соответствующих направлениях.

Стереографические координаты

Другой удобный набор координат можно получить с помощью стереографической S. $проекции 3$ от полюса на соответствующий экваториальный $R 3$ гиперплоскость . Например, если мы проецируемся из точки $(-1, 0, 0, 0),$ мы можем записать точку $p$ в $S 3$ как

p=\left({\frac {1-\|u\|^{2}}{1+\|u\|^{2}}},{\frac {2\mathbf {u} }{1+\|u\|^{2}}}\right)={\frac {1+\mathbf {u} }{1-\mathbf {u} }}

где $u = (u 1, u 2, u 3)$ — вектор в $R 3$ и $‖ ты ‖ 2 = в 12 + ты 22 + ты 32$ . Во втором равенстве выше мы отождествили $p$ с единичным кватернионом, а $u = u 1 i + u 2 j + u 3 k$ с чистым кватернионом. (Обратите внимание, что числитель и знаменатель здесь коммутируют, хотя кватернионное умножение обычно некоммутативно). Обратное к этому отображению принимает $p = (x 0, x 1, x 2, x 3)$ в $S 3$ к

\mathbf {u} ={\frac {1}{1+x_{0}}}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right).

С тем же успехом мы могли бы спроецировать из точки $(1, 0, 0, 0)$ , и в этом случае точка $p$ задается формулой

p=\left({\frac {-1+\|v\|^{2}}{1+\|v\|^{2}}},{\frac {2\mathbf {v} }{1+\|v\|^{2}}}\right)={\frac {-1+\mathbf {v} }{1+\mathbf {v} }}

где $v = (v 1, v 2, v 3)$ — другой вектор в $R 3$ . Обратное к этому отображению переводит $p$ в

\mathbf {v} ={\frac {1}{1-x_{0}}}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right).

Обратите внимание, что $координаты u$ определены везде, кроме $(-1, 0, 0, 0)$ , а $координаты v$ везде, кроме $(1, 0, 0, 0)$ . Это определяет атлас на $S 3$ состоящий из двух координатных карт или «патчей», которые вместе охватывают всю территорию $S. 3$ . Обратите внимание, что функция перехода между этими двумя диаграммами при их перекрытии определяется выражением

\mathbf {v} ={\frac {1}{\|u\|^{2}}}\mathbf {u}

и наоборот.

Структура группы

Если рассматривать его как набор единичных кватернионов , $S 3$ наследует важную структуру, а именно структуру кватернионного умножения. Поскольку множество единичных кватернионов замкнуто при умножении, $S 3$ принимает структуру группы . Более того, поскольку кватернионное умножение гладкое , $S 3$ можно рассматривать как реальную группу Ли . Это неабелева компактная группа Ли размерности 3. Если рассматривать ее как группу Ли $S 3$ часто обозначается $Sp(1)$ или $U(1, H)$ .

Оказывается, что единственные сферы , которые допускают структуру группы Ли, - это $S 1$ , рассматриваемый как набор единичных комплексных чисел , и $S 3$ , множество единичных кватернионов (Вырожденный случай $S 0$ состоящая из действительных чисел 1 и −1, тоже является группой Ли, хотя и 0-мерной). Можно подумать, что $С. 7$ , набор единичных октонионов , образует группу Ли, но это не удается, поскольку умножение октонионов неассоциативно . Октонионная структура действительно дает $S 7$ одно важное свойство: распараллеливаемость . Оказывается, распараллеливаемыми являются только сферы $S 1$ , $С 3$ и $С 7$ .

Используя матричное представление кватернионов $H$ , можно получить матричное представление $S 3$ . Один из удобных вариантов дают матрицы Паули :

x_{1}+x_{2}i+x_{3}j+x_{4}k\mapsto {\begin{pmatrix}\;\;\,x_{1}+ix_{2}&x_{3}+ix_{4}\\-x_{3}+ix_{4}&x_{1}-ix_{2}\end{pmatrix}}.

Это отображение дает гомоморфизм инъективной алгебры из $H$ в множество комплексных матриц размера 2 × 2. Он обладает тем свойством, что абсолютное значение кватерниона $q$ равно квадратному корню из определителя матричного изображения $q$ .

Тогда набор единичных кватернионов задается матрицами вышеуказанной формы с единичным определителем. Эта матричная подгруппа и есть специальная унитарная группа $SU(2)$ . Таким образом, $С 3$ поскольку группа Ли изоморфна SU $(2)$ .

Используя наши координаты Хопфа $(η, ξ 1, ξ 2),$ мы можем затем записать любой элемент $SU(2)$ в виде

{\begin{pmatrix}e^{i\,\xi _{1}}\sin \eta &e^{i\,\xi _{2}}\cos \eta \\-e^{-i\,\xi _{2}}\cos \eta &e^{-i\,\xi _{1}}\sin \eta \end{pmatrix}}.

Другой способ сформулировать этот результат — выразить матричное представление элемента $SU (2)$ как экспоненту линейной комбинации матриц Паули. Видно, что произвольный элемент $U \in SU(2)$ можно записать в виде

U=\exp \left(\sum _{i=1}^{3}\alpha _{i}J_{i}\right).

^{[ 4 ]}

Условие того, что определитель $U$ равен +1, означает, что коэффициенты $α 1$ обязаны лежать на 3-сфере.

В литературе

В Эдвина Эбботта Эбботта , «Флатландии» опубликованной в 1884 году, и в «Сферной стране» , продолжении «Флатландии» 1965 года Диониса Бургера , 3-сфера упоминается как сверхсфера , а 4-сфера упоминается как гиперсфера .

В статье в физики Американском журнале ^{[ 5 ]} Марк А. Петерсон описывает три различных способа визуализации трехсфер и указывает в «Божественной комедии» формулировку , которая предполагает, что Данте смотрел на Вселенную одинаково; Карло Ровелли поддерживает ту же идею. ^{[ 6 ]}

В книге «Искусство встречается с математикой в четвертом измерении » ^{[ 7 ]} Стивен Л. Липскомб развивает концепцию измерений гиперсферы применительно к искусству, архитектуре и математике.

См. также

Ссылки

^ Леметр, Жорж (1948). «Кватернионы и эллиптическое пространство». Акта . 12 . Папская академия наук : 57–78.
^ Ландау, Лев Д. ; Лифшиц, Евгений М. (1988). Классическая теория полей . Курс теоретической физики . Том. 2 (7-е изд.). Москва: Наука . п. 385. ИСБН 978-5-02-014420-0 .
^ Банчофф, Томас. «Плоский тор в трехсфере» .
^ Швихтенберг, Якоб (2015). Физика из симметрии . Чам: Спрингер. ISBN 978-3-319-19201-7 . OCLC 910917227 .
^ Петерсон, Марк А. (1979). «Данте и 3-сфера» . Американский журнал физики . 47 (12): 1031–1035. Бибкод : 1979AmJPh..47.1031P . дои : 10.1119/1.11968 . Архивировано из оригинала 23 февраля 2013 года.
^ Ровелли, Карло (9 сентября 2021 г.). Общая теория относительности: основы . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-00-901369-7 . Проверено 13 сентября 2021 г.
^ Липскомб, Стивен (2014). Искусство встречается с математикой в четвертом измерении (2-е изд.). Берлин: Шпрингер. ISBN 978-3-319-06254-9 . OCLC 893872366 .

Дальнейшее чтение

Хендерсон, Дэвид В. (2001). «Глава 20: 3-сферы и гиперболические 3-пространства». Опыт геометрии: в евклидовом, сферическом и гиперболическом пространствах (второе изд.). Прентис-Холл. Архивировано из оригинала 19 июня 2018 г.
Уикс, Джеффри Р. (1985). «Глава 14: Гиперсфера». Форма пространства: как визуализировать поверхности и трехмерные многообразия . Предупреждение о терминологии: наша двухсфера определяется в трехмерном пространстве, где она является границей трехмерного шара. Эта терминология является стандартной среди математиков, но не среди физиков. Так что не удивляйтесь, если вы обнаружите, что люди называют двухсферу трехсферой.
Замбой, Михал (8 января 2021 г.). «Синтетическая конструкция расслоения Хопфа в двойной ортогональной проекции 4-пространства». Журнал вычислительного проектирования и инженерии . 8 (3): 836–854. arXiv : 2003.09236v2 . doi : 10.1093/jcde/qwab018 .

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Гиперсфера» . Математический мир . Примечание . В этой статье используется альтернативная схема именования сфер, в которой сфера в $n$ -мерном пространстве называется $n$ -сферой.

[1] Леметр, Жорж (1948). «Кватернионы и эллиптическое пространство». Акта . 12 . Папская академия наук : 57–78.

[2] Ландау, Лев Д. ; Лифшиц, Евгений М. (1988). Классическая теория полей . Курс теоретической физики . Том. 2 (7-е изд.). Москва: Наука . п. 385. ИСБН 978-5-02-014420-0 .

[3] Банчофф, Томас. «Плоский тор в трехсфере» .

[4] Швихтенберг, Якоб (2015). Физика из симметрии . Чам: Спрингер. ISBN 978-3-319-19201-7 . OCLC 910917227 .

[5] Петерсон, Марк А. (1979). «Данте и 3-сфера» . Американский журнал физики . 47 (12): 1031–1035. Бибкод : 1979AmJPh..47.1031P . дои : 10.1119/1.11968 . Архивировано из оригинала 23 февраля 2013 года.

[6] Ровелли, Карло (9 сентября 2021 г.). Общая теория относительности: основы . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-00-901369-7 . Проверено 13 сентября 2021 г.

[7] Липскомб, Стивен (2014). Искусство встречается с математикой в четвертом измерении (2-е изд.). Берлин: Шпрингер. ISBN 978-3-319-06254-9 . OCLC 893872366 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]