Гиперболическая хирургия Дена

В математике гиперболическая хирургия Дена — это операция, с помощью которой можно получить дополнительные гиперболические 3-многообразия из заданного с точками возврата гиперболического 3-многообразия . Гиперболическая хирургия Дена существует только в третьем измерении и отличает гиперболическую геометрию в трех измерениях от других измерений.

Такую операцию часто также называют гиперболическим заполнением Дена , поскольку собственно операция Дена относится к операции «сверления и заполнения» на звене, которая состоит из высверливания окрестности звена и последующего заполнения его сплошными торами. Гиперболическая хирургия Дена на самом деле включает только «заполнение».

Обычно мы будем предполагать, что гиперболическое трехмерное многообразие является полным. Предположим, что M — гиперболическое 3-многообразие с каспами и n каспами. С топологической точки зрения M можно рассматривать как внутреннюю часть компактного многообразия с торическим краем. Предположим, мы выбрали для каждого граничного тора меридиан и долготу, т.е. простые замкнутые кривые, являющиеся образующими фундаментальной группы тора. Позволять $M(u_{1},u_{2},\dots ,u_{n})$ обозначим многообразие, полученное из M заполнением i -го граничного тора полноторием с использованием наклона $u_{i}=p_{i}/q_{i}$ где каждая пара $p_{i}$ и $q_{i}$ являются взаимно простыми целыми числами. Мы разрешаем $u_{i}$ быть $\infty$ это означает, что мы не заполняем эту точку возврата, т. е. выполняем «пустое» заполнение Дена. Итак, М = $M(\infty ,\dots ,\infty )$ .

Мы снабжаем пространство H гиперболических 3-многообразий конечного объема геометрической топологией .

Связанные теоремы

Теорема Терстона о гиперболической хирургии Дена утверждает: $M(u_{1},u_{2},\dots ,u_{n})$ является гиперболическим до тех пор, пока существует конечное множество исключительных наклонов $E_{i}$ избегается для i -го возврата для каждого i . $M(u_{1},u_{2},\dots ,u_{n})$ сходится к M в H, поскольку все $p_{i}^{2}+q_{i}^{2}\rightarrow \infty$ для всех $p_{i}/q_{i}$ соответствующий непустым заполнениям Дена $u_{i}$ . ^{[ нужна ссылка ]} Эта теорема принадлежит Уильяму Терстону и является фундаментальной для теории гиперболических трехмерных многообразий. ^[1] Это показывает, что в H существуют нетривиальные пределы .

Исследование геометрической топологии Троэльсом Йоргенсеном далее показывает, что все нетривиальные пределы возникают в результате заполнения Дена, как в теореме. Другой важный результат Терстона состоит в том, что объем уменьшается при гиперболическом заполнении Дена. Теорема утверждает, что объем уменьшается при топологическом заполнении Дена, конечно, при условии, что многообразие, заполненное Деном, является гиперболическим. Доказательство опирается на основные свойства нормы Громова . что функция объема в этом пространстве является непрерывной собственной Йоргенсен также показал , функцией. Таким образом, согласно предыдущим результатам, нетривиальные пределы в H переводятся в нетривиальные пределы во множестве объемов. ^{[ нужна ссылка ]} Фактически, можно далее заключить, как и Терстон, что множество объемов гиперболических 3-многообразий конечного объема имеет порядковый тип $\omega ^{\omega }$ . Этот результат известен как теорема Терстона-Йоргенсена . ^[2] Дальнейшую работу, характеризующую это множество, провел Громов .

Узел -восьмерка и узел-крендель (-2, 3, 7) — единственные два узла, в дополнение к которым, как известно, имеется более 6 исключительных операций; у них 10 и 7 соответственно. Кэмерон Гордон предположил, что 10 — это максимально возможное количество исключительных операций любого гиперболического узла. Это было доказано Марком Лакенби и Робом Мейерхоффом, которые показали, что число исключительных наклонов равно 10 для любого компактного ориентируемого 3-многообразия с краем - тором и внутренней гиперболой конечного объема. Их доказательство опирается на доказательство гипотезы геометризации, выдвинутой Григорием Перельманом , и с помощью компьютера . В настоящее время неизвестно, является ли узел восьмерка единственным, который достигает границы 10. Одна из гипотез состоит в том, что граница (за исключением двух упомянутых узлов) равна 6. Агол показал, что существует только конечное число случаев, в которых количество исключительных спусков – 9 или 10.

Ссылки

^ Терстон, Уильям П. (1982). «Трехмерные многообразия, клейнианские группы и гиперболическая геометрия» (PDF) . Американское математическое общество . 6 (3): 357–381.
^ Медных, Александр; Веснин, Андрей (1995). «О группах Фибоначчи, связях головы Турка и гиперболических трехмерных многообразиях» . В Ким, AC; Джонсон, Д.Л. (ред.). Группы – Корея 94: Материалы международной конференции, состоявшейся в Пусане, Корея, 18–25 августа 1994 г. де Грюйтер . п. 234.

Ян Агол, Границы исключительного заполнения Дена II , Геом. Тополь. 14 (2010) 1921–1940. архив:0803:3088
Робион Кирби , Проблемы низкоразмерной топологии (см. проблему 1.77, принадлежащую Кэмерону Гордону , об исключительных наклонах)
Марк Лакенби и Роберт Мейерхофф, Максимальное количество исключительных операций Дена , arXiv:0808.1176
Уильям Терстон , Геометрия и топология трехмерных многообразий , конспект лекций в Принстоне (1978–1981).

[thurston-1] Терстон, Уильям П. (1982). «Трехмерные многообразия, клейнианские группы и гиперболическая геометрия» (PDF) . Американское математическое общество . 6 (3): 357–381.

[mv-2] Медных, Александр; Веснин, Андрей (1995). «О группах Фибоначчи, связях головы Турка и гиперболических трехмерных многообразиях» . В Ким, AC; Джонсон, Д.Л. (ред.). Группы – Корея 94: Материалы международной конференции, состоявшейся в Пусане, Корея, 18–25 августа 1994 г. де Грюйтер . п. 234.

[1]

[2]