Операция Дена

В топологии , разделе математики, хирургия Дена , названная в честь Макса Дена , представляет собой конструкцию, используемую для модификации трёхмерных многообразий . Процесс принимает на вход 3-многообразие вместе со связью . Его часто рассматривают как два этапа: бурение и заполнение .

Определения

• Учитывая 3-многообразие $M$ и ссылка $L\subset M$, многообразие $M$ просверлено вдоль $L$ получается удалением открытой трубчатой ​​окрестности $L$ от $M$. Если $L=L_{1}\cup \dots \cup L_{k}$, просверленный коллектор имеет $k$ компоненты границы тора $T_{1}\cup \dots \cup T_{k}$. Многообразие $M$ просверлено вдоль $L$ также известен как дополнение зацепления , поскольку если удалить соответствующую замкнутую трубчатую окрестность из $M$, получим многообразие, диффеоморфное $M\setminus L$.
• Дано 3-многообразие, граница которого состоит из 2-торов. $T_{1}\cup \dots \cup T_{k}$, мы можем склеить один полноторий посредством гомеоморфизма (соответственно диффеоморфизма ) его границы с каждой из компонент границы тора $T_{i}$ исходного 3-многообразия. В общем, существует множество неэквивалентных способов сделать это. Этот процесс называется заполнением Дена .
• Операция Дена на трехмерном многообразии, содержащем звено, состоит в высверливании трубчатой ​​окрестности звена вместе с заполнением Дена на всех компонентах границы, соответствующей звену.

Чтобы описать операцию Дена, выбираются две ориентированные простые замкнутые кривые $m_{i}$ и $\ell _{i}$ на соответствующем граничном торе $T_{i}$ пробуренного трехмерного коллектора, где $m_{i}$ является меридианом $L_{i}$ (кривая, остающаяся в маленьком шарике в $M$ и имеющий связывающий номер +1 с $L_{i}$ или, что то же самое, кривая, ограничивающая диск, пересекающая однажды компонент $L_{i}$) и $\ell _{i}$ это долгота $T_{i}$ (кривая, проходящая один раз вдоль $L_{i}$ или, что то же самое, кривая на $T_{i}$ такая, что алгебраическое пересечение $\langle \ell _{i},m_{i}\rangle$ равен +1). Кривые $m_{i}$ и $\ell _{i}$ сгенерировать фундаментальную группу тора $T_{i}$, и они составляют основу его первой группы гомологий . Это дает любую простую замкнутую кривую $\gamma _{i}$ на торе $T_{i}$ две координаты $a_{i}$ и $b_{i}$, так что $[\gamma _{i}]=[a_{i}\ell _{i}+b_{i}m_{i}]$. Эти координаты зависят только от класса гомотопического $\gamma _{i}$.

Мы можем указать гомеоморфизм границы полнотора на $T_{i}$ имея меридиональную кривую полнотора, отображающуюся в кривую, гомотопную $\gamma _{i}$. Пока меридиан совпадает с наклоном операционного поля. $[\gamma _{i}]$, результирующая перестройка Дена даст 3-многообразие, которое не будет зависеть от конкретной склейки (с точностью до гомеоморфизма). Соотношение $b_{i}/a_{i}\in \mathbb {Q} \cup \{\infty \}$ называется хирургическим коэффициентом $L_{i}$.

В случае связей в 3-сфере или, в более общем плане, в ориентированной интегральной сфере гомологий, существует канонический выбор долгот. $\ell _{i}$: каждая долгота выбирается так, чтобы она была нуль-гомологична в дополнении к узлу — что эквивалентно, если она является границей поверхности Зейферта .

Когда соотношения $b_{i}/a_{i}$ все являются целыми числами (заметим, что это условие не зависит от выбора долгот, поскольку оно соответствует новым меридианам, ровно один раз пересекающим древние меридианы), операция называется интегральной операцией . Такие операции тесно связаны с ручкотелами , кобордизмом и функциями Морса .

Примеры

• Если все коэффициенты операции бесконечны, то каждый новый меридиан $\gamma _{i}$ гомотопен древнему меридиану $m_{i}$. Поэтому тип гомеоморфизма многообразия не изменяется в результате операции.

• Если $M$ это 3-сфера , $L$ — узел , а коэффициент хирургии — $0$, то расширенное 3-многообразие $\mathbb {S} ^{2}\times \mathbb {S} ^{1}$.

• Если $M$ это 3-сфера , $L$ — узел , а коэффициент хирургии — $b/a$, то вздутое 3-многообразие является пространством линзы $L(b,a)$. В частности, если коэффициент хирургии имеет вид $\pm 1/r$, то вздутое 3-многообразие по-прежнему остается 3-сферой.

• Если $M$ это 3-сфера, $L$ — правый узел-трилистник , а коэффициент хирургии — $+1$, то вздутое 3-многообразие является додекаэдрическим пространством Пуанкаре .

Результаты

Каждое замкнутое , ориентируемое , связное 3-многообразие получается выполнением операции Дена на звене в 3-сфере . Этот результат, теорема Ликориша-Уоллеса , был впервые доказан Эндрю Х. Уоллесом в 1960 году и независимо WBR Ликоришем в более сильной форме в 1962 году. Благодаря теперь хорошо известной связи между истинной хирургией и кобордизмом этот результат эквивалентен Теорема о тривиальности ориентированной группы кобордизмов 3-многообразий - теорема, первоначально доказанная Владимиром Абрамовичем Рохлиным в 1951 году.

Поскольку все ориентируемые трехмерные многообразия могут быть порождены соответствующим образом оформленными связями, можно задаться вопросом, как могут быть связаны различные хирургические представления данного трехмерного многообразия. Ответ называется исчислением Кирби .

См. также

• Гиперболическая хирургия Дена
• Трубчатый район
• Операцию на многообразиях в общем смысле также называют сферической модификацией.

Ссылки

• Ден, Макс (1938), «Группа классов отображения», Acta Mathematica , 69 (1): 135–206, doi : 10.1007/BF02547712 .
• Том, Рене (1954), «Некоторые глобальные свойства дифференцируемых многообразий» , Commentarii Mathematici Helvetici , 28 : 17–86, doi : 10.1007/BF02566923 , MR   0061823 , S2CID   120243638
• Рольфсен, Дейл (1976), Узлы и связи (PDF) , Серия лекций по математике, том. 346, Беркли, Калифорния: Опубликуй или погибни, ISBN  9780914098164
• Кирби, Роб (1978), "Исчисление структурированных ссылок в S ³ ", Mathematical Inventions , 45 (1): 35–56, Bibcode : 1978InMat..45...35K , doi : 10.1007/BF01406222 , MR   0467753 , S2CID   120770295 .
• Фенн, Роджер; Рурк, Колин (1979), «Об исчислении связей Кирби», Топология , 18 (1): 1–15, doi : 10.1016/0040-9383(79)90010-7 , MR   0528232 .
• Гомпф, Роберт ; Стипшич, Андраш (1999), 4-многообразия и исчисление Кирби , Аспирантура по математике , том. 20, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, номер документа : 10.1090/gsm/020 , ISBN.  0-8218-0994-6 , МР   1707327 .