Пространство объектива

Пространство линзы L(2;5) состоит из «линзы» между красной и желтой стенками, использующей двойное вращение, выравнивающее щели. Всего на рисунке показаны пять «линзовых» областей.

Двойное вращение, идентифицирующее стенки линзового пространства. В этом стереографическом представлении двойное вращение вращается как вокруг оси Z, так и вдоль нее.

Линзовое пространство является примером топологического пространства , рассматриваемого в математике . Этот термин часто относится к определенному классу трехмерных многообразий , но в целом может быть определен для более высоких измерений.

В случае 3-многообразия линзовое пространство можно представить как результат склейки двух полноторий посредством гомеоморфизма их границ. Часто 3-сферные и $S^{2}\times S^{1}$, оба из которых можно получить, как указано выше, не учитываются, поскольку считаются тривиальными частными случаями.

Трехмерные линзовые пространства $L(p;q)$ были введены Генрихом Титце в 1908 году. Это были первые известные примеры 3-многообразий, которые не определялись только их гомологией и фундаментальной группой , а также простейшие примеры замкнутых многообразий, тип гомеоморфизма которых не определяется их гомотопическим типом. Дж. В. Александер в 1919 году показал, что линзовые пространства $L(5;1)$ и $L(5;2)$ не были гомеоморфными, хотя они имеют изоморфные фундаментальные группы и одинаковые гомологии, хотя и не имеют одного и того же гомотопического типа. Другие пространства линз (например, $L(7;1)$ и $L(7;2)$) имеют даже один и тот же тип гомотопии (и, следовательно, изоморфные фундаментальные группы и гомологии), но не один и тот же тип гомеоморфизма; таким образом, их можно рассматривать как рождение геометрической топологии многообразий, отличной от алгебраической топологии .

Существует полная классификация трехмерных линзовых пространств по фундаментальной группе и кручению Райдемейстера .

Определение

Трехмерные линзовые пространства $L(p;q)$ являются частными $S^{3}$ к $\mathbb {Z} /p$-действия. Точнее, пусть $p$ и $q$ быть взаимно простыми целыми числами и рассмотрим $S^{3}$ как единичная сфера в $\mathbb {C} ^{2}$. Тогда $\mathbb {Z} /p$-действие на $S^{3}$ порожденный гомеоморфизмом

$(z_{1},z_{2})\mapsto (e^{2\pi i/p}\cdot z_{1},e^{2\pi iq/p}\cdot z_{2})$

бесплатно. Полученное факторпространство называется пространством линзы. $L(p;q)$.

Это можно обобщить на более высокие измерения следующим образом: Пусть $p,q_{1},\ldots ,q_{n}$ быть целыми числами такими, что $q_{i}$ взаимнопросты с $p$ и рассмотрим $S^{2n-1}$ как единичная сфера в $\mathbb {C} ^{n}$. Пространство линзы $L(p;q_{1},\ldots q_{n})$ это частное $S^{2n-1}$ бесплатно $\mathbb {Z} /p$- действие, порождаемое

$(z_{1},\ldots ,z_{n})\mapsto (e^{2\pi iq_{1}/p}\cdot z_{1},\ldots ,e^{2\pi iq_{n}/p}\cdot z_{n}).$

В трёх измерениях мы имеем $L(p;q)=L(p;1,q).$

Свойства

Основная группа всех линзовых пространств. $L(p;q_{1},\ldots ,q_{n})$ является $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ независимым от $q_{i}$.

Пространства линз — это локально симметричные пространства , но не (полностью) симметричные, за исключением $L(2;1)$ который симметричен. (Локально-симметричные пространства — это симметричные пространства, факторизованные по изометрии, не имеющей неподвижных точек; линзовые пространства соответствуют этому определению.)

трехмерного линзового

Трехмерное пространство линзы $L(p;q)$ часто определяется как сплошной шар со следующей идентификацией: сначала отметьте p равноотстоящих друг от друга точек на экваторе сплошного шара, обозначьте их $a_{0}$ к $a_{p-1}$, затем на границе шара проведите геодезические линии, соединяющие точки с северным и южным полюсом. Теперь определите сферические треугольники, определив северный полюс, южный полюс и точки $a_{i}$ с $a_{i+q}$ и $a_{i+1}$ с $a_{i+q+1}$. Полученное пространство гомеоморфно пространству линзы. $L(p;q)$.

Другое родственное определение состоит в том, чтобы рассматривать сплошной шар как следующую сплошную бипирамиду : построить плоский правильный с p- сторонними сторонами многоугольник . Поместите две точки n и s непосредственно над и под центром многоугольника. Постройте бипирамиду, соединив каждую точку правильного p- стороннего многоугольника с n и s . Заполните бипирамиду, чтобы сделать ее сплошной, и присвойте треугольникам на границе те же обозначения, что и выше.

трехмерных

Классификации с точностью до гомеоморфизма и гомотопической эквивалентности известны следующим образом. Трехмерные пространства $L(p;q_{1})$ и $L(p;q_{2})$ являются:

1. гомотопически эквивалентен тогда и только тогда, когда $q_{1}q_{2}\equiv \pm n^{2}{\pmod {p}}$ для некоторых $n\in \mathbb {N}$;
2. гомеоморфен тогда и только тогда, когда $q_{1}\equiv \pm q_{2}^{\pm 1}{\pmod {p}}$.

Если $q_{1}\equiv \pm q_{2}^{\pm 1}{\pmod {p}}$ как и в случае 2, они «очевидно» гомеоморфны, поскольку можно легко получить гомеоморфизм. Труднее показать, что это единственные гомеоморфные линзовые пространства.

Инвариантом, дающим гомотопическую классификацию трехмерных линзовых пространств, является форма торсионного зацепления .

Классификация гомеоморфизмов более тонкая и определяется кручением Райдемейстера . Это было дано в ( Reidemeister 1935 ) как классификация с точностью до PL-гомеоморфизма ) было показано , но в ( Brody 1960 , что это классификация гомеоморфизма. Говоря современным языком, пространства линз определяются простым гомотопическим типом, и здесь нет нормальных инвариантов (например, характеристических классов ) или препятствий для хирургии .

Теоретико -узловая классификация приведена в ( Pzytycki & Yasukhara 2003 ):пусть C — замкнутая кривая в линзовом пространстве, поднимающаяся до узла в универсальной оболочке линзового пространства. Если поднятый узел имеет тривиальный многочлен Александера , вычислите форму зацепления кручения на паре (C,C) – тогда это даст классификацию гомеоморфизма.

Другим инвариантом является гомотопический тип конфигурационных пространств – ( Сальваторе и Лонгони 2005 ) показали, что гомотопически эквивалентные, но не гомеоморфные линзовые пространства могут иметь конфигурационные пространства с разными типами гомотопии, которые могут быть обнаружены с помощью разных произведений Мэсси .

См. также

• Сферическое 3-многообразие

Ссылки

• Глен Бредон , Топология и геометрия , Тексты для выпускников Springer по математике 139, 1993.
• Броуди, Э.Дж. (1960), «Топологическая классификация пространств линз», Annals of Mathematics , 2, 71 (1): 163–184, doi : 10.2307/1969884 , JSTOR   1969884
• Аллен Хэтчер , Алгебраическая топология , издательство Кембриджского университета , 2002.
• Аллен Хэтчер, Заметки по базовой топологии трехмерного многообразия . (Объясняет классификацию L(p,q) с точностью до гомеоморфизма.)
• Пшитицкий, Юзеф Х .; Ясухара, Акира (2003), «Симметрия связей и классификация линзовых пространств», Geometriae Dedicata , 98 (1): 57–61, doi : 10.1023/A:10240 , MR   1988423
• Райдемайстер, Курт (1935), «Гомотопические кольца и линзовые пространства», Кафедра математики Univ. Гамбург , 11 (1): 102–109, doi : 10.1007/BF02940717
• Сальваторе, Паоло; Лонгони, Риккардо (2005), «Конфигурационные пространства не являются гомотопически инвариантными», Topology , 44 (2): 375–380, arXiv : math/0401075 , doi : 10.1016/j.top.2004.11.002
• Герберт Зайферт и Уильям Трелфолл , Учебник топологии , Чистая и прикладная математика 89, Перевод с немецкого издания 1934 года, Academic Press Inc., Нью-Йорк (1980).
• Генрих Титце , О топологических инвариантах многомерных многообразий , Monath. по математике и физ. 19, 1–118 (1908) ( $\S$20) Английский перевод (2008) Джона Стиллвелла .
• Уоткинс, Мэтью (1990), Краткий обзор пространств линз (PDF) (бакалаврская диссертация), заархивировано из оригинала (PDF) 25 сентября 2006 г.

Внешние ссылки

• Пространства линз в Атласе многообразий
• Пространства линз: история в Атласе многообразий
• Поддельные места для линз в Атласе многообразия
• пространство линзы в nLab