Сферическое 3-многообразие

В математике сферическое 3-многообразие M — это 3-многообразие вида

$M=S^{3}/\Gamma$

где $\Gamma$ — конечная подгруппа группы O(4), свободно действующая вращениями на 3-сфере $S^{3}$. Все такие многообразия просты , ориентируемы и замкнуты . Сферические трехмерные многообразия иногда называют эллиптическим трехмерными многообразиями .

Характеристики

Частный случай теоремы Бонне-Майерса гласит, что каждое гладкое многообразие , имеющее гладкую риманову метрику , одновременно геодезически полную и имеющую постоянную положительную кривизну, должно быть замкнутым и иметь конечную фундаментальную группу . Уильяма Тёрстона об Гипотеза эллиптике , доказанная Григорием Перельманом с использованием Ричарда Гамильтона , потока Риччи утверждает обратное: каждое замкнутое трёхмерное многообразие с конечной фундаментальной группой имеет гладкую риманову метрику постоянной положительной кривизны. (Это обращение характерно для трех измерений.) Таким образом, сферические трехмерные многообразия представляют собой в точности замкнутые трехмерные многообразия с конечной фундаментальной группой.

Согласно теореме Синджа , каждое сферическое 3-многообразие ориентируемо , и, в частности, $\Gamma$ должен быть включен в SO(4) . Фундаментальная группа либо циклическая , либо является центральным расширением диэдрической , тетраэдрической , октаэдрической или икосаэдрической группы циклической группой четного порядка. Это делит множество таких многообразий на пять классов, описанных в следующих разделах.

Терстона Сферические многообразия — это в точности многообразия со сферической геометрией, одной из восьми геометрий гипотезы геометризации .

Циклический корпус (линзовое пространство)

Многообразия $S^{3}/\Gamma$ с циклическим Γ — это в точности трехмерные линзовые пространства . Линзовое пространство не определяется своей фундаментальной группой (существуют негомеоморфные линзовые пространства с изоморфными фундаментальными группами); но любое другое сферическое многообразие таково.

Трехмерные линзовые пространства возникают как частное $S^{3}\subset \mathbb {C} ^{2}$ кдействие группы, порождаемой элементами формы

${\begin{pmatrix}\omega &0\\0&\omega ^{q}\end{pmatrix}}.$

где $\omega =e^{2\pi i/p}$. Такое линзовое пространство $L(p;q)$ имеет фундаментальную группу $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ для всех $q$, поэтому пространства с разными $p$ не гомотопически эквивалентны. Более того, известны классификации с точностью до гомеоморфизма и гомотопической эквивалентности. Трехмерные пространства $L(p;q_{1})$ и $L(p;q_{2})$ являются:

1. гомотопически эквивалентен тогда и только тогда, когда $q_{1}q_{2}\equiv \pm n^{2}{\pmod {p}}$ для некоторых $n\in \mathbb {N} ;$
2. гомеоморфен тогда и только тогда, когда $q_{1}\equiv \pm q_{2}^{\pm 1}{\pmod {p}}.$

В частности, линзовые пространства L (7,1) и L (7,2) дают примеры двух 3-многообразий, гомотопически эквивалентных, но не гомеоморфных.

Пространство линзы L (1,0) представляет собой 3-сферу, а пространство линзы L (2,1) представляет собой трехмерное реальное проективное пространство.

Пространства линз можно представить как расслоения Зейферта разными способами, обычно как расслоения над 2-сферой с не более чем двумя исключительными слоями, хотя пространство линз с фундаментальной группой порядка 4 также имеет представление как расслоение Зейферта над сферой. проективная плоскость без исключительных волокон.

Диэдральный случай (призменные многообразия)

— Многообразие призм это замкнутое трехмерное многообразие M , фундаментальная группа которогоявляется центральным расширением группы диэдра.

Фундаментальная группа π ₁ ( M ) группы M является произведением циклической группы порядка m на группу, имеющую представление

$\langle x,y\mid xyx^{-1}=y^{-1},x^{2^{k}}=y^{n}\rangle$

для целых чисел k , m , n с k ≥ 1, m ≥ 1, n ≥ 2 и m взаимно просты с 2 n .

Альтернативно, фундаментальная группа имеет презентацию

$\langle x,y\mid xyx^{-1}=y^{-1},x^{2m}=y^{n}\rangle$

для взаимно простых целых чисел m , n с m ≥ 1, n ≥ 2. ( Здесь n равно предыдущему n , а m здесь равно 2 ^{к -1} раз больше предыдущего m .)

Мы продолжаем последнее изложение. Эта группа представляет собой метациклическую группу порядка 4 mn с абелианизацией порядка 4 m (поэтому оба m и n определяются этой группой).Элемент y порождает циклическую нормальную подгруппу порядка 2 n , а элемент x имеет порядок 4 m . Центр m циклический порядка 2 и порождается x ² , а фактор по центру представляет собой группу диэдра порядка 2 n .

Когда m = 1, эта группа представляет собой бинарный диэдр или дициклическую группу . Самый простой пример — m = 1, n = 2, когда π ₁ ( M ) — группа кватернионов восьмого порядка.

Многообразия призм однозначно определяются своими фундаментальными группами: если замкнутое 3-многообразие имеет ту же фундаментальную группу, что и многообразие призм , оно гомеоморфно M M .

Многообразия призм можно представить как расслоения Зейферта двумя способами.

Тетраэдрический случай

Фундаментальная группа — это произведение циклической группы порядка m на группу, имеющую представление

$\langle x,y,z\mid (xy)^{2}=x^{2}=y^{2},zxz^{-1}=y,zyz^{-1}=xy,z^{3^{k}}=1\rangle$

для целых чисел k , m с k ≥ 1, m ≥ 1 и m взаимно простыми с 6.

Альтернативно, фундаментальная группа имеет презентацию

$\langle x,y,z\mid (xy)^{2}=x^{2}=y^{2},zxz^{-1}=y,zyz^{-1}=xy,z^{3m}=1\rangle$

для нечетного целого числа m ≥ 1. ( Здесь m равно 3 ^{к -1} раз больше предыдущего m .)

Мы продолжаем последнее изложение. Эта группа имеет порядок 24 м . Элементы x и y порождают нормальную подгруппу, изоморфную группе кватернионов порядка 8. Центр циклический порядка 2 m . Он порождается элементами z ³ и х ² = и ² , а частное по центру представляет собой тетраэдрическую группу, что эквивалентно знакопеременной группе A ₄ .

Когда m = 1, эта группа является бинарной тетраэдрической группой .

Эти многообразия однозначно определяются своими фундаментальными группами. Все они могут быть представлены по существу уникальным образом как расслоения Зейферта : фактормногообразие представляет собой сферу и существует три исключительных слоя порядков 2, 3 и 3.

Октаэдрический корпус

Фундаментальная группа является произведением циклической группы порядка m, взаимно простой с 6, на бинарную октаэдрическую группу (порядка 48), которая имеет представление

$\langle x,y\mid (xy)^{2}=x^{3}=y^{4}\rangle .$

Эти многообразия однозначно определяются своими фундаментальными группами. Все они могут быть представлены уникальным образом как расслоения Зейферта : фактормногообразие представляет собой сферу и существует три исключительных слоя порядков 2, 3 и 4.

Икосаэдрический корпус

Фундаментальная группа является произведением циклической группы порядка m, взаимно простой с 30, на бинарную икосаэдрическую группу (порядка 120), которая имеет представление

$\langle x,y\mid (xy)^{2}=x^{3}=y^{5}\rangle .$

Когда m равно 1, многообразие представляет собой сферу гомологий Пуанкаре .

Эти многообразия однозначно определяются своими фундаментальными группами. Все они могут быть представлены уникальным образом как расслоения Зейферта: фактормногообразие представляет собой сферу и существует три исключительных слоя порядков 2, 3 и 5.

Ссылки

• Питер Орлик , Многообразия Зейферта , Конспект лекций по математике, вып. 291, Спрингер-Верлаг (1972). ISBN   0-387-06014-6
• Уильям Жако , Лекции по топологии 3-многообразия ISBN   0-8218-1693-4
• Уильям Терстон , Трехмерная геометрия и топология. Том. 1 . Под редакцией Сильвио Леви. Принстонская математическая серия, 35. Издательство Принстонского университета , Принстон, Нью-Джерси , 1997. ISBN   0-691-08304-5