Бинарная тетраэдрическая группа







В математике бинарная тетраэдрическая группа , обозначаемая 2T или ⟨2,3,3⟩ , [2] представляет собой некоторую неабелеву группу порядка . 24. Она представляет собой расширение тетраэдрической группы T или (2,3,3) порядка 12 циклической группой порядка 2 и является прообразом тетраэдрической группы при соотношении 2:1 накрывающее гомоморфизм Spin(3) → SO(3) специальной ортогональной группы группой спиновой . Отсюда следует, что бинарная тетраэдрическая группа является дискретной подгруппой Spin(3) порядка 24. Комплексная группа отражения, 3(24)3 названная Г.К. Шепардом или 3[3]3 и по Кокстеру , изоморфна бинарной тетраэдрической группе.
Бинарную тетраэдрическую группу легче всего описать конкретно как дискретную подгруппу единичных кватернионов при изоморфизме Spin(3) ≅ Sp(1) , где Sp(1) — мультипликативная группа единичных кватернионов. (Описание этого гомоморфизма см. в статье о кватернионах и пространственных вращениях .)
Элементы
[ редактировать ]
![]() 8-кратный |
![]() 12-кратный |
24 элемента кватерниона:
|
Явно бинарная тетраэдрическая группа задается как группа единиц в кольце целых чисел Гурвица . Таких единиц 24, заданных
со всеми возможными комбинациями знаков.
Все 24 единицы имеют абсолютное значение 1 и, следовательно, принадлежат группе единичных кватернионов Sp(1). Выпуклая оболочка этих 24 элементов в 4-мерном пространстве образует выпуклый правильный 4-многогранник, называемый 24-клеточным .
Характеристики
[ редактировать ]Бинарная тетраэдрическая группа, обозначенная 2T, вписывается в короткую точную последовательность
Эта последовательность не расщепляется , а это означает, что 2T не является полупрямым произведением {±1} на T. Фактически, не существует подгруппы 2T, изоморфной T.
Бинарная тетраэдрическая группа является покрывающей группой тетраэдрической группы. Думая о тетраэдрической группе как о чередующейся группе из четырех букв, T ≅ A 4 , мы, таким образом, имеем бинарную тетраэдрическую группу как покрывающую группу, 2T ≅ .
Центром . 2T является подгруппа {±1} Группа внутренних автоморфизмов изоморфна A 4 , а полная группа автоморфизмов изоморфна S 4 . [3]

Бинарную тетраэдрическую группу можно записать как полупрямое произведение
где Q — группа кватернионов, состоящая из 8 липшицевых единиц , а C 3 — циклическая группа порядка 3, порожденная ω = − 1 / 2 (1 + я + j + k ) . Группа Z3 действует на нормальную подгруппу Q сопряжением . Сопряжение с помощью ω — это автоморфизм Q, который циклически вращает i , j и k .
Можно показать, что бинарная группа тетраэдра изоморфна специальной линейной группе SL(2,3) – группе всех матриц размера 2 × 2 над конечным полем F 3 с единичным определителем, причем этот изоморфизм покрывает изоморфизм проективного специального линейная группа PSL(2,3) с знакопеременной группой A 4 .
Презентация
[ редактировать ]Группа 2Т презентацию провела
или эквивалентно,
Генераторы с этими отношениями имеют вид
с .
Таблица Кэли с этими свойствами (элементы, упорядоченные по GAP)
1 2 r 4 -1 6 7 8 9 10 11 12 13 s 15 16 17 t 19 20 21 22 23 24 2 6 7 8 9 1 13 s 15 16 17 t r 4 -1 20 21 22 23 10 11 12 24 19 r 8 -1 10 11 20 23 9 t 12 1 19 s 21 24 7 16 2 4 15 22 13 17 6 4 16 19 -1 12 13 8 17 23 r 10 1 15 20 21 9 t 7 11 22 6 24 2 s -1 9 11 12 1 15 17 t 2 19 r 4 21 22 6 23 7 8 10 24 13 s 16 20 6 1 13 s 15 2 r 4 -1 20 21 22 7 8 9 10 11 12 24 16 17 t 19 23 7 s 9 16 17 10 24 15 22 t 2 23 4 11 19 13 20 6 8 -1 12 r 21 1 8 20 23 9 t r s 21 24 7 16 2 -1 10 11 15 22 13 17 12 1 19 6 4 9 15 17 t 2 -1 21 22 6 23 7 8 11 12 1 24 13 s 16 19 r 4 20 10 10 7 4 11 19 s 9 16 17 -1 12 r 24 15 22 t 2 23 1 13 20 6 8 21 11 t 1 19 r 24 16 2 8 4 -1 10 22 13 20 17 23 9 12 6 s 21 7 15 12 23 10 1 4 21 t 7 16 11 19 -1 6 24 13 2 8 17 r s 15 20 9 22 13 4 15 20 21 16 19 -1 12 22 6 24 8 17 23 r 10 1 s 9 t 7 11 2 s 10 24 15 22 7 4 11 19 13 20 6 9 16 17 -1 12 r 21 t 2 23 1 8 15 -1 21 22 6 9 11 12 1 24 13 s 17 t 2 19 r 4 20 23 7 8 10 16 16 13 8 17 23 4 15 20 21 9 t 7 19 -1 12 22 6 24 2 r 10 1 s 11 17 22 2 23 7 19 20 6 s 8 9 16 12 r 10 21 24 15 t 1 4 11 13 -1 t 24 16 2 8 11 22 13 20 17 23 9 1 19 r 6 s 21 7 4 -1 10 15 12 19 17 12 r 10 22 2 23 7 1 4 11 20 6 s 8 9 16 -1 21 24 15 t 13 20 r s 21 24 8 -1 10 11 15 22 13 23 9 t 12 1 19 6 7 16 2 4 17 21 12 6 24 13 23 10 1 4 s 15 20 t 7 16 11 19 -1 22 2 8 17 r 9 22 19 20 6 s 17 12 r 10 21 24 15 2 23 7 1 4 11 13 8 9 16 -1 t 23 21 t 7 16 12 6 24 13 2 8 17 10 1 4 s 15 20 9 11 19 -1 22 r 24 11 22 13 20 t 1 19 r 6 s 21 16 2 8 4 -1 10 15 17 23 9 12 7
Имеется 1 элемент порядка 1 (элемент 1), один элемент порядка 2 ( ), 8 элементов 3-го порядка, 6 элементов 4-го порядка (в том числе ), 8 элементов порядка 6 (к которым относятся и ).
Подгруппы
[ редактировать ]
• Группа кватернионов , Q=<2,2,2>, индекс 3
• Циклическая группа Z6=<3>, индекс 4.
Группа кватернионов, состоящая из 8 липшицевых единиц, образует нормальную подгруппу в 2T индекса 3. Эта группа и центр {±1} являются единственными нетривиальными нормальными подгруппами.
Все остальные подгруппы 2T представляют собой циклические группы , порожденные различными элементами порядков 3, 4 и 6. [4]
Высшие измерения
[ редактировать ]Подобно тому, как группа тетраэдра обобщает группу вращательной симметрии n - симплекса (как подгруппу SO( n )), существует соответствующая высшая бинарная группа, которая представляет собой 2-кратное накрытие, исходящее из покрытия Spin( n ) → ТАК( п ).
Группу вращательной симметрии n -симплекса можно рассматривать как знакопеременную группу на n + 1 точке, An +1 , а соответствующая бинарная группа является 2-кратной накрывающей группой . Для всех высших размерностей, кроме А6 и А7 ( соответствующих 5-мерному и 6-мерному симплексам), эта бинарная группа является накрывающей группой (максимальным накрытием) и является сверхсовершенной , но для размерностей 5 и 6 существует дополнительное исключительное 3-кратное накрытие, а бинарные группы не являются сверхсовершенными.
Использование в теоретической физике
[ редактировать ]Бинарная тетраэдрическая группа использовалась в контексте теории Янга-Миллса в 1956 году Чэнь Нин Яном и другими. [5] Впервые он был использован при построении моделей физики ароматов Полом Фрэмптоном и Томасом Кефартом в 1994 году. [6] В 2012 году было показано [7] что связь между двумя углами смешивания нейтрино, полученный [8] используя эту бинарную тетраэдрическую ароматическую симметрию, согласуется с экспериментом.
См. также
[ редактировать ]- Бинарная многогранная группа
- Бинарная циклическая группа , ⟨ n ⟩, порядок 2 n
- Группа бинарного диэдра , ⟨2,2, n ⟩, [2] заказ 4 н.
- Бинарная октаэдрическая группа , 2O = ⟨2,3,4⟩, [2] заказать 48
- Бинарная группа икосаэдра , 2I = ⟨2,3,5⟩, [2] заказать 120
Примечания
[ редактировать ]- ^ Коксетер , Комплексные правильные многогранники , стр. 109, рис. 11.5E.
- ^ Jump up to: а б с д Коксетер и Мозер: Генераторы и отношения для дискретных групп: <l,m,n>: R л = С м = Т н = РСТ
- ^ «Специальная линейная группа:SL(2,3)» . групповой реквизит .
- ^ SL 2 ( F 3 ) on GroupNames
- ^ Кейс, Э.М.; Роберт Карплюс; CN Ян (1956). «Странные частицы и сохранение изотопного спина» . Физический обзор . 101 (2): 874–876. Бибкод : 1956PhRv..101..874C . дои : 10.1103/PhysRev.101.874 . S2CID 122544023 .
- ^ Фрэмптон, Пол Х.; Томас В. Кефарт (1995). «Простые неабелевы конечные группы ароматов и фермионные массы». Международный журнал современной физики . А10 (32): 4689–4704. arXiv : hep-ph/9409330 . Бибкод : 1995IJMPA..10.4689F . дои : 10.1142/s0217751x95002187 . S2CID 7620375 .
- ^ Эби, Дэвид А.; Пол Х. Фрэмптон (2012). «Ненулевая тета (13) сигнализирует о немаксимальном смешивании атмосферных нейтрино». Физический обзор . Д86 (11): 117–304. arXiv : 1112.2675 . Бибкод : 2012PhRvD..86k7304E . дои : 10.1103/physrevd.86.117304 . S2CID 118408743 .
- ^ Эби, Дэвид А.; Пол Х. Фрэмптон; Шинья Мацузаки (2009). «Прогнозы углов смешивания нейтрино в T 'модели». Письма по физике . Б671 (3): 386–390. arXiv : 0801.4899 . Бибкод : 2009PhLB..671..386E . дои : 10.1016/j.physletb.2008.11.074 . S2CID 119272452 .
Ссылки
[ редактировать ]- Конвей, Джон Х .; Смит, Дерек А. (2003). О кватернионах и октонионах . Натик, Массачусетс: AK Peters, Ltd. ISBN 1-56881-134-9 .
- Коксетер, HSM и Мозер, WOJ (1980). Генераторы и соотношения для дискретных групп, 4-е издание . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-09212-9 . 6.5. Бинарные полиэдральные группы, с. 68
- «Специальная линейная группа SL(2,3)» .