Jump to content

Бинарная тетраэдрическая группа

Правильный комплексный многогранник 3{6}2 или или , представляет диаграмму Кэли для бинарной тетраэдрической группы, где каждый красный и синий треугольник представляет собой направленный подграф. [1]

В математике бинарная тетраэдрическая группа , обозначаемая 2T или ⟨2,3,3⟩ , [2] представляет собой некоторую неабелеву группу порядка . 24. Она представляет собой расширение тетраэдрической группы T или (2,3,3) порядка 12 циклической группой порядка 2 и является прообразом тетраэдрической группы при соотношении 2:1 накрывающее гомоморфизм Spin(3) → SO(3) специальной ортогональной группы группой спиновой . Отсюда следует, что бинарная тетраэдрическая группа является дискретной подгруппой Spin(3) порядка 24. Комплексная группа отражения, 3(24)3 названная Г.К. Шепардом или 3[3]3 и по Кокстеру , изоморфна бинарной тетраэдрической группе.

Бинарную тетраэдрическую группу легче всего описать конкретно как дискретную подгруппу единичных кватернионов при изоморфизме Spin(3) ≅ Sp(1) , где Sp(1) — мультипликативная группа единичных кватернионов. (Описание этого гомоморфизма см. в статье о кватернионах и пространственных вращениях .)

Элементы

[ редактировать ]
График Кэли SL (2,3)
Симметричные проекции

8-кратный

12-кратный

24 элемента кватерниона:

  • 1 заказ-1:1
  • 1 заказ-2:-1
  • 6 порядок-4: ±i, ±j, ±k
  • 8 порядок-6: (+1±i±j±k)/2
  • 8 порядок-3: (-1±i±j±k)/2.

Явно бинарная тетраэдрическая группа задается как группа единиц в кольце целых чисел Гурвица . Таких единиц 24, заданных

со всеми возможными комбинациями знаков.

Все 24 единицы имеют абсолютное значение 1 и, следовательно, принадлежат группе единичных кватернионов Sp(1). Выпуклая оболочка этих 24 элементов в 4-мерном пространстве образует выпуклый правильный 4-многогранник, называемый 24-клеточным .

Характеристики

[ редактировать ]

Бинарная тетраэдрическая группа, обозначенная 2T, вписывается в короткую точную последовательность

Эта последовательность не расщепляется , а это означает, что 2T не является полупрямым произведением {±1} на T. Фактически, не существует подгруппы 2T, изоморфной T.

Бинарная тетраэдрическая группа является покрывающей группой тетраэдрической группы. Думая о тетраэдрической группе как о чередующейся группе из четырех букв, T ≅ A 4 , мы, таким образом, имеем бинарную тетраэдрическую группу как покрывающую группу, 2T ≅ .

Центром . 2T является подгруппа {±1} Группа внутренних автоморфизмов изоморфна A 4 , а полная группа автоморфизмов изоморфна S 4 . [3]

Умножение слева на − ω , элемент порядка -6: посмотрите на серые, синие, фиолетовые и оранжевые шарики и стрелки, составляющие 4 орбиты (две стрелки не изображены). ω сам по себе является самым нижним шаром: ω = (− ω )(−1) = (− ω ) 4

Бинарную тетраэдрическую группу можно записать как полупрямое произведение

где Q — группа кватернионов, состоящая из 8 липшицевых единиц , а C 3 циклическая группа порядка 3, порожденная ω = − 1 / 2 (1 + я + j + k ) . Группа Z3 действует на нормальную подгруппу Q сопряжением . Сопряжение с помощью ω — это автоморфизм Q, который циклически вращает i , j и k .

Можно показать, что бинарная группа тетраэдра изоморфна специальной линейной группе SL(2,3) – группе всех матриц размера 2 × 2 над конечным полем F 3 с единичным определителем, причем этот изоморфизм покрывает изоморфизм проективного специального линейная группа PSL(2,3) с знакопеременной группой A 4 .

Презентация

[ редактировать ]

Группа 2Т презентацию провела

или эквивалентно,

Генераторы с этими отношениями имеют вид

с .

Таблица Кэли с этими свойствами (элементы, упорядоченные по GAP)

  1  2  r  4 -1  6  7  8  9 10 11 12 13  s 15 16 17  t 19 20 21 22 23 24
  2  6  7  8  9  1 13  s 15 16 17  t  r  4 -1 20 21 22 23 10 11 12 24 19
  r  8 -1 10 11 20 23  9  t 12  1 19  s 21 24  7 16  2  4 15 22 13 17  6
  4 16 19 -1 12 13  8 17 23  r 10  1 15 20 21  9  t  7 11 22  6 24  2  s
 -1  9 11 12  1 15 17  t  2 19  r  4 21 22  6 23  7  8 10 24 13  s 16 20
  6  1 13  s 15  2  r  4 -1 20 21 22  7  8  9 10 11 12 24 16 17  t 19 23
  7  s  9 16 17 10 24 15 22  t  2 23  4 11 19 13 20  6  8 -1 12  r 21  1
  8 20 23  9  t  r  s 21 24  7 16  2 -1 10 11 15 22 13 17 12  1 19  6  4
  9 15 17  t  2 -1 21 22  6 23  7  8 11 12  1 24 13  s 16 19  r  4 20 10
 10  7  4 11 19  s  9 16 17 -1 12  r 24 15 22  t  2 23  1 13 20  6  8 21
 11  t  1 19  r 24 16  2  8  4 -1 10 22 13 20 17 23  9 12  6  s 21  7 15
 12 23 10  1  4 21  t  7 16 11 19 -1  6 24 13  2  8 17  r  s 15 20  9 22
 13  4 15 20 21 16 19 -1 12 22  6 24  8 17 23  r 10  1  s  9  t  7 11  2
  s 10 24 15 22  7  4 11 19 13 20  6  9 16 17 -1 12  r 21  t  2 23  1  8
 15 -1 21 22  6  9 11 12  1 24 13  s 17  t  2 19  r  4 20 23  7  8 10 16
 16 13  8 17 23  4 15 20 21  9  t  7 19 -1 12 22  6 24  2  r 10  1  s 11
 17 22  2 23  7 19 20  6  s  8  9 16 12  r 10 21 24 15  t  1  4 11 13 -1
  t 24 16  2  8 11 22 13 20 17 23  9  1 19  r  6  s 21  7  4 -1 10 15 12
 19 17 12  r 10 22  2 23  7  1  4 11 20  6  s  8  9 16 -1 21 24 15  t 13
 20  r  s 21 24  8 -1 10 11 15 22 13 23  9  t 12  1 19  6  7 16  2  4 17
 21 12  6 24 13 23 10  1  4  s 15 20  t  7 16 11 19 -1 22  2  8 17  r  9
 22 19 20  6  s 17 12  r 10 21 24 15  2 23  7  1  4 11 13  8  9 16 -1  t
 23 21  t  7 16 12  6 24 13  2  8 17 10  1  4  s 15 20  9 11 19 -1 22  r
 24 11 22 13 20  t  1 19  r  6  s 21 16  2  8  4 -1 10 15 17 23  9 12  7

Имеется 1 элемент порядка 1 (элемент 1), один элемент порядка 2 ( ), 8 элементов 3-го порядка, 6 элементов 4-го порядка (в том числе ), 8 элементов порядка 6 (к которым относятся и ).

Подгруппы

[ редактировать ]
Бинарная тетраэдрическая группа 2T=<3,3,2> имеет 2 основные подгруппы:
Группа кватернионов , Q=<2,2,2>, индекс 3
Циклическая группа Z6=<3>, индекс 4.

Группа кватернионов, состоящая из 8 липшицевых единиц, образует нормальную подгруппу в 2T индекса 3. Эта группа и центр {±1} являются единственными нетривиальными нормальными подгруппами.

Все остальные подгруппы 2T представляют собой циклические группы , порожденные различными элементами порядков 3, 4 и 6. [4]

Высшие измерения

[ редактировать ]

Подобно тому, как группа тетраэдра обобщает группу вращательной симметрии n - симплекса (как подгруппу SO( n )), существует соответствующая высшая бинарная группа, которая представляет собой 2-кратное накрытие, исходящее из покрытия Spin( n ) → ТАК( п ).

Группу вращательной симметрии n -симплекса можно рассматривать как знакопеременную группу на n + 1 точке, An +1 , а соответствующая бинарная группа является 2-кратной накрывающей группой . Для всех высших размерностей, кроме А6 и А7 ( соответствующих 5-мерному и 6-мерному симплексам), эта бинарная группа является накрывающей группой (максимальным накрытием) и является сверхсовершенной , но для размерностей 5 и 6 существует дополнительное исключительное 3-кратное накрытие, а бинарные группы не являются сверхсовершенными.

Использование в теоретической физике

[ редактировать ]

Бинарная тетраэдрическая группа использовалась в контексте теории Янга-Миллса в 1956 году Чэнь Нин Яном и другими. [5] Впервые он был использован при построении моделей физики ароматов Полом Фрэмптоном и Томасом Кефартом в 1994 году. [6] В 2012 году было показано [7] что связь между двумя углами смешивания нейтрино, полученный [8] используя эту бинарную тетраэдрическую ароматическую симметрию, согласуется с экспериментом.

См. также

[ редактировать ]

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ Коксетер , Комплексные правильные многогранники , стр. 109, рис. 11.5E.
  2. ^ Jump up to: а б с д Коксетер и Мозер: Генераторы и отношения для дискретных групп: <l,m,n>: R л = С м = Т н = РСТ
  3. ^ «Специальная линейная группа:SL(2,3)» . групповой реквизит .
  4. ^ SL 2 ( F 3 ) on GroupNames
  5. ^ Кейс, Э.М.; Роберт Карплюс; CN Ян (1956). «Странные частицы и сохранение изотопного спина» . Физический обзор . 101 (2): 874–876. Бибкод : 1956PhRv..101..874C . дои : 10.1103/PhysRev.101.874 . S2CID   122544023 .
  6. ^ Фрэмптон, Пол Х.; Томас В. Кефарт (1995). «Простые неабелевы конечные группы ароматов и фермионные массы». Международный журнал современной физики . А10 (32): 4689–4704. arXiv : hep-ph/9409330 . Бибкод : 1995IJMPA..10.4689F . дои : 10.1142/s0217751x95002187 . S2CID   7620375 .
  7. ^ Эби, Дэвид А.; Пол Х. Фрэмптон (2012). «Ненулевая тета (13) сигнализирует о немаксимальном смешивании атмосферных нейтрино». Физический обзор . Д86 (11): 117–304. arXiv : 1112.2675 . Бибкод : 2012PhRvD..86k7304E . дои : 10.1103/physrevd.86.117304 . S2CID   118408743 .
  8. ^ Эби, Дэвид А.; Пол Х. Фрэмптон; Шинья Мацузаки (2009). «Прогнозы углов смешивания нейтрино в T 'модели». Письма по физике . Б671 (3): 386–390. arXiv : 0801.4899 . Бибкод : 2009PhLB..671..386E . дои : 10.1016/j.physletb.2008.11.074 . S2CID   119272452 .
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 3d97b1e3b8f909081f16af7bf1ba21b4__1721473560
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/3d/b4/3d97b1e3b8f909081f16af7bf1ba21b4.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Binary tetrahedral group - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)