Бинарная тетраэдрическая группа

В математике бинарная тетраэдрическая группа , обозначаемая 2T или ⟨2,3,3⟩ , ^[2] представляет собой некоторую неабелеву группу порядка . 24. Она представляет собой расширение тетраэдрической группы T или (2,3,3) порядка 12 циклической группой порядка 2 и является прообразом тетраэдрической группы при соотношении 2:1 накрывающее гомоморфизм Spin(3) → SO(3) специальной ортогональной группы группой спиновой . Отсюда следует, что бинарная тетраэдрическая группа является дискретной подгруппой Spin(3) порядка 24. Комплексная группа отражения, 3(24)3 названная Г.К. Шепардом или 3[3]3 и по Кокстеру , изоморфна бинарной тетраэдрической группе.

Бинарную тетраэдрическую группу легче всего описать конкретно как дискретную подгруппу единичных кватернионов при изоморфизме Spin(3) ≅ Sp(1) , где Sp(1) — мультипликативная группа единичных кватернионов. (Описание этого гомоморфизма см. в статье о кватернионах и пространственных вращениях .)

Элементы

Симметричные проекции
8-кратный	12-кратный
24 элемента кватерниона: 1 заказ-1:1 1 заказ-2:-1 6 порядок-4: ±i, ±j, ±k 8 порядок-6: (+1±i±j±k)/2 8 порядок-3: (-1±i±j±k)/2.

Явно бинарная тетраэдрическая группа задается как группа единиц в кольце целых чисел Гурвица . Таких единиц 24, заданных

\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k,{\tfrac {1}{2}}(\pm 1\pm i\pm j\pm k)\}

со всеми возможными комбинациями знаков.

Все 24 единицы имеют абсолютное значение 1 и, следовательно, принадлежат группе единичных кватернионов Sp(1). Выпуклая оболочка этих 24 элементов в 4-мерном пространстве образует выпуклый правильный 4-многогранник, называемый 24-клеточным .

Характеристики

Бинарная тетраэдрическая группа, обозначенная 2T, вписывается в короткую точную последовательность

1\to \{\pm 1\}\to 2\mathrm {T} \to \mathrm {T} \to 1.

Эта последовательность не расщепляется , а это означает, что 2T не является полупрямым произведением {±1} на T. Фактически, не существует подгруппы 2T, изоморфной T.

Бинарная тетраэдрическая группа является покрывающей группой тетраэдрической группы. Думая о тетраэдрической группе как о чередующейся группе из четырех букв, T ≅ A ₄ , мы, таким образом, имеем бинарную тетраэдрическую группу как покрывающую группу, 2T ≅ ${\widehat {\mathrm {A} _{4}}}$ .

Центром . 2T является подгруппа {±1} Группа внутренних автоморфизмов изоморфна A ₄ , а полная группа автоморфизмов изоморфна S ₄ . ^[3]

Бинарную тетраэдрическую группу можно записать как полупрямое произведение

2\mathrm {T} =\mathrm {Q} \rtimes \mathrm {C} _{3}

где Q — группа кватернионов, состоящая из 8 липшицевых единиц , а C ₃ — циклическая группа порядка 3, порожденная $ω = − .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠ 1 / 2 ⁠ (1 + я + j + k )$ . Группа Z3 _{действует} на нормальную подгруппу Q сопряжением . Сопряжение с помощью $ω$ — это автоморфизм Q, который циклически вращает $i$ , $j$ и $k$ .

Можно показать, что бинарная группа тетраэдра изоморфна специальной линейной группе SL(2,3) – группе всех матриц размера 2 × 2 над конечным полем F ₃ с единичным определителем, причем этот изоморфизм покрывает изоморфизм проективного специального линейная группа PSL(2,3) с знакопеременной группой A ₄ .

Презентация

Группа 2Т презентацию провела

\langle r,s,t\mid r^{2}=s^{3}=t^{3}=rst\rangle

или эквивалентно,

\langle s,t\mid (st)^{2}=s^{3}=t^{3}\rangle .

Генераторы с этими отношениями имеют вид

r=i\qquad s={\tfrac {1}{2}}(1+i+j+k)\qquad t={\tfrac {1}{2}}(1+i+j-k),

с $r^{2}=s^{3}=t^{3}=-1$ .

Таблица Кэли с этими свойствами (элементы, упорядоченные по GAP)

  1  2  r  4 -1  6  7  8  9 10 11 12 13  s 15 16 17  t 19 20 21 22 23 24
  2  6  7  8  9  1 13  s 15 16 17  t  r  4 -1 20 21 22 23 10 11 12 24 19
  r  8 -1 10 11 20 23  9  t 12  1 19  s 21 24  7 16  2  4 15 22 13 17  6
  4 16 19 -1 12 13  8 17 23  r 10  1 15 20 21  9  t  7 11 22  6 24  2  s
 -1  9 11 12  1 15 17  t  2 19  r  4 21 22  6 23  7  8 10 24 13  s 16 20
  6  1 13  s 15  2  r  4 -1 20 21 22  7  8  9 10 11 12 24 16 17  t 19 23
  7  s  9 16 17 10 24 15 22  t  2 23  4 11 19 13 20  6  8 -1 12  r 21  1
  8 20 23  9  t  r  s 21 24  7 16  2 -1 10 11 15 22 13 17 12  1 19  6  4
  9 15 17  t  2 -1 21 22  6 23  7  8 11 12  1 24 13  s 16 19  r  4 20 10
 10  7  4 11 19  s  9 16 17 -1 12  r 24 15 22  t  2 23  1 13 20  6  8 21
 11  t  1 19  r 24 16  2  8  4 -1 10 22 13 20 17 23  9 12  6  s 21  7 15
 12 23 10  1  4 21  t  7 16 11 19 -1  6 24 13  2  8 17  r  s 15 20  9 22
 13  4 15 20 21 16 19 -1 12 22  6 24  8 17 23  r 10  1  s  9  t  7 11  2
  s 10 24 15 22  7  4 11 19 13 20  6  9 16 17 -1 12  r 21  t  2 23  1  8
 15 -1 21 22  6  9 11 12  1 24 13  s 17  t  2 19  r  4 20 23  7  8 10 16
 16 13  8 17 23  4 15 20 21  9  t  7 19 -1 12 22  6 24  2  r 10  1  s 11
 17 22  2 23  7 19 20  6  s  8  9 16 12  r 10 21 24 15  t  1  4 11 13 -1
  t 24 16  2  8 11 22 13 20 17 23  9  1 19  r  6  s 21  7  4 -1 10 15 12
 19 17 12  r 10 22  2 23  7  1  4 11 20  6  s  8  9 16 -1 21 24 15  t 13
 20  r  s 21 24  8 -1 10 11 15 22 13 23  9  t 12  1 19  6  7 16  2  4 17
 21 12  6 24 13 23 10  1  4  s 15 20  t  7 16 11 19 -1 22  2  8 17  r  9
 22 19 20  6  s 17 12  r 10 21 24 15  2 23  7  1  4 11 13  8  9 16 -1  t
 23 21  t  7 16 12  6 24 13  2  8 17 10  1  4  s 15 20  9 11 19 -1 22  r
 24 11 22 13 20  t  1 19  r  6  s 21 16  2  8  4 -1 10 15 17 23  9 12  7

Имеется 1 элемент порядка 1 (элемент 1), один элемент порядка 2 ( $e_{5}=-1$ ), 8 элементов 3-го порядка, 6 элементов 4-го порядка (в том числе $e_{3}=r$ ), 8 элементов порядка 6 (к которым относятся $e_{14}=s$ и $e_{18}=t$ ).

Подгруппы

Группа кватернионов, состоящая из 8 липшицевых единиц, образует нормальную подгруппу в 2T индекса 3. Эта группа и центр {±1} являются единственными нетривиальными нормальными подгруппами.

Все остальные подгруппы 2T представляют собой циклические группы , порожденные различными элементами порядков 3, 4 и 6. ^[4]

Высшие измерения

Подобно тому, как группа тетраэдра обобщает группу вращательной симметрии n - симплекса (как подгруппу SO( n )), существует соответствующая высшая бинарная группа, которая представляет собой 2-кратное накрытие, исходящее из покрытия Spin( n ) → ТАК( п ).

Группу вращательной симметрии n -симплекса можно рассматривать как знакопеременную группу на n + 1 точке, An _{+1 ,} а соответствующая бинарная группа является 2-кратной накрывающей группой . Для всех высших размерностей, кроме А6 _и А7 ₍ соответствующих 5-мерному и 6-мерному симплексам), эта бинарная группа является накрывающей группой (максимальным накрытием) и является сверхсовершенной , но для размерностей 5 и 6 существует дополнительное исключительное 3-кратное накрытие, а бинарные группы не являются сверхсовершенными.

Использование в теоретической физике

Бинарная тетраэдрическая группа использовалась в контексте теории Янга-Миллса в 1956 году Чэнь Нин Яном и другими. ^[5] Впервые он был использован при построении моделей физики ароматов Полом Фрэмптоном и Томасом Кефартом в 1994 году. ^[6] В 2012 году было показано ^[7] что связь между двумя углами смешивания нейтрино, полученный ^[8] используя эту бинарную тетраэдрическую ароматическую симметрию, согласуется с экспериментом.

См. также

Бинарная многогранная группа
Бинарная циклическая группа , ⟨ n ⟩, порядок 2 n
Группа бинарного диэдра , ⟨2,2, n ⟩, ^[2] заказ 4 н.
Бинарная октаэдрическая группа , 2O = ⟨2,3,4⟩, ^[2] заказать 48
Бинарная группа икосаэдра , 2I = ⟨2,3,5⟩, ^[2] заказать 120

Примечания

^ Коксетер , Комплексные правильные многогранники , стр. 109, рис. 11.5E.
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Коксетер и Мозер: Генераторы и отношения для дискретных групп: <l,m,n>: R ^л = С ^м = Т ^н = РСТ
^ «Специальная линейная группа:SL(2,3)» . групповой реквизит .
^ SL ₂( F ₃) on GroupNames
^ Кейс, Э.М.; Роберт Карплюс; CN Ян (1956). «Странные частицы и сохранение изотопного спина» . Физический обзор . 101 (2): 874–876. Бибкод : 1956PhRv..101..874C . дои : 10.1103/PhysRev.101.874 . S2CID 122544023 .
^ Фрэмптон, Пол Х.; Томас В. Кефарт (1995). «Простые неабелевы конечные группы ароматов и фермионные массы». Международный журнал современной физики . А10 (32): 4689–4704. arXiv : hep-ph/9409330 . Бибкод : 1995IJMPA..10.4689F . дои : 10.1142/s0217751x95002187 . S2CID 7620375 .
^ Эби, Дэвид А.; Пол Х. Фрэмптон (2012). «Ненулевая тета (13) сигнализирует о немаксимальном смешивании атмосферных нейтрино». Физический обзор . Д86 (11): 117–304. arXiv : 1112.2675 . Бибкод : 2012PhRvD..86k7304E . дои : 10.1103/physrevd.86.117304 . S2CID 118408743 .
^ Эби, Дэвид А.; Пол Х. Фрэмптон; Шинья Мацузаки (2009). «Прогнозы углов смешивания нейтрино в T 'модели». Письма по физике . Б671 (3): 386–390. arXiv : 0801.4899 . Бибкод : 2009PhLB..671..386E . дои : 10.1016/j.physletb.2008.11.074 . S2CID 119272452 .

Ссылки

Конвей, Джон Х .; Смит, Дерек А. (2003). О кватернионах и октонионах . Натик, Массачусетс: AK Peters, Ltd. ISBN 1-56881-134-9 .
Коксетер, HSM и Мозер, WOJ (1980). Генераторы и соотношения для дискретных групп, 4-е издание . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-09212-9 . 6.5. Бинарные полиэдральные группы, с. 68
«Специальная линейная группа SL(2,3)» .

[1] Коксетер , Комплексные правильные многогранники , стр. 109, рис. 11.5E.

[anglebracket-2] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Коксетер и Мозер: Генераторы и отношения для дискретных групп: <l,m,n>: R ^л = С ^м = Т ^н = РСТ

[3] «Специальная линейная группа:SL(2,3)» . групповой реквизит .

[4] SL ₂( F ₃) on GroupNames

[5] Кейс, Э.М.; Роберт Карплюс; CN Ян (1956). «Странные частицы и сохранение изотопного спина» . Физический обзор . 101 (2): 874–876. Бибкод : 1956PhRv..101..874C . дои : 10.1103/PhysRev.101.874 . S2CID 122544023 .

[6] Фрэмптон, Пол Х.; Томас В. Кефарт (1995). «Простые неабелевы конечные группы ароматов и фермионные массы». Международный журнал современной физики . А10 (32): 4689–4704. arXiv : hep-ph/9409330 . Бибкод : 1995IJMPA..10.4689F . дои : 10.1142/s0217751x95002187 . S2CID 7620375 .

[7] Эби, Дэвид А.; Пол Х. Фрэмптон (2012). «Ненулевая тета (13) сигнализирует о немаксимальном смешивании атмосферных нейтрино». Физический обзор . Д86 (11): 117–304. arXiv : 1112.2675 . Бибкод : 2012PhRvD..86k7304E . дои : 10.1103/physrevd.86.117304 . S2CID 118408743 .

[8] Эби, Дэвид А.; Пол Х. Фрэмптон; Шинья Мацузаки (2009). «Прогнозы углов смешивания нейтрино в T 'модели». Письма по физике . Б671 (3): 386–390. arXiv : 0801.4899 . Бибкод : 2009PhLB..671..386E . дои : 10.1016/j.physletb.2008.11.074 . S2CID 119272452 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]