Накрывающие группы знакопеременных и симметрических групп.

В математической области теории групп накрывающими группами знакопеременных и симметрических групп являются группы, которые используются для понимания представлений знакопеременных и проективных симметрических групп . Накрывающие группы были классифицированы в ( Schur 1911 ): для n ≥ 4 накрывающие группы являются 2-кратными покрытиями, за исключением чередующихся групп степени 6 и 7, где покрытия 6-кратны.

Например, бинарная группа икосаэдра охватывает группу икосаэдра , чередующуюся группу степени 5, а бинарная группа тетраэдра охватывает группу тетраэдра , чередующуюся группу степени 4.

Определение и классификация

Групповой гомоморфизм из D в G называется накрытием Шура конечной группы G, если:

ядро содержится как в центре , так и в коммутанте группы D , и
среди всех таких гомоморфизмов этот D имеет максимальный размер.

Мультипликатор Шура группы G является ядром любого накрытия Шура и имеет множество интерпретаций. Когда понятен гомоморфизм, группу D часто называют накрытием Шура или Darstellungsgruppe.

Накрытия Шура симметричной и знакопеременной групп были классифицированы в ( Шур, 1911 ). Симметричная группа степени n ≥ 4 имеет Накрытия Шура порядка 2⋅ n ! Существует два класса изоморфизма, если n ≠ 6 , и один класс изоморфизма, если n = 6.Знаковая группа степени n имеет один класс изоморфизма накрытия Шура, имеющий порядок n ! за исключением случаев, когда n равно 6 или 7, и в этом случае накрытие Шура имеет порядок 3⋅ n !.

Конечные презентации

Накрытия Шура можно описать с помощью образующих и соотношений. Симметричная группа S _n имеет представление о n − 1 образующих t _i для i = 1, 2, ..., n − 1 и соотношениях

т _я т _{я знак} равно 1, для 1 ≤ я ≤ п - 1

т _{я +1} т _я +1 ₊₁ = т _я +1 _{т -} я _, для ≤ я ≤ п 1

т _j т я _знак равно т _я т _j , для 1 ≤ я < я + 2 ≤ j ≤ п - 1 .

Эти соотношения можно использовать для описания двух неизоморфных накрытий симметрической группы. Одна группа покрытия 2⋅S ⁻
_n имеет образующие z , t ₁ , ..., t _{n −1} и соотношения:

зз = 1

т _я т _я знак равно z , для 1 ≤ я ≤ п - 1

т _{я +1} т _я +1 ₊₁ = т _я +1 _{т -} я _, ≤ для я ≤ п 1

т _j т _я знак равно т _я т _j z , для 1 ≤ я < я + 2 ≤ j ≤ п - 1 .

Та же группа 2⋅S ⁻
_n может быть представлено в следующем представлении с использованием генераторов z и s _i, заданных t _i или t _i z, в зависимости от того, является ли i нечетным или четным:

зз = 1

s _я s _я знак равно z , для 1 ≤ я ≤ п - 1

s _{я +1} s _я s _{я +1} знак равно s я _я s _{+1 s} я _z , для 1 ≤ i ≤ n - 2

s _j s я _знак равно s _я s _j z , для 1 ≤ я < я + 2 ≤ j ≤ n - 1 .

Другая покрывающая группа 2⋅S ⁺
_n имеет образующие z , t ₁ , ..., t _{n −1} и соотношения:

zz знак равно 1, zt _i = t _i z , для 1 ≤ i ≤ n - 1

т _я т _{я знак} равно 1, для 1 ≤ я ≤ п - 1

т _{я +1} т _я +1 ₊₁ знак равно т _я +1 _{- т} я _≤ z для 1 я ≤ п ,

т _j т _я знак равно т _я т _j z , для 1 ≤ я < я +2 ≤ j ≤ п - 1 .

Та же группа 2⋅S ⁺
_n может быть представлено в следующем представлении с использованием генераторов z и s _i, заданных t _i или t _i z, в зависимости от того, является ли i нечетным или четным:

zz знак равно 1, zs _i = s _i z , для 1 ≤ i ≤ n - 1

s _i s _i = 1, для 1 ≤ i ≤ n - 1

s _{я +1} s _я s _{я +1} знак равно s я _я s _{+1 s} я _, для 1 ≤ i ≤ n - 2

s _j s я _знак равно s _я s _j z , для 1 ≤ я < я + 2 ≤ j ≤ n - 1 .

Иногда все отношения симметричной группы выражаются как ( t _i t _j ) ^m_я = 1 , где m _ij — неотрицательные целые числа, а именно m _ii = 1 , m _{i , i +1} = 3 и m _ij = 2 , для 1 ≤ i < i + 2 ≤ j ≤ n - 1 . Презентация 2⋅S ⁻
_n становится особенно простым в такой форме: ( t _i t _j ) ^m_я = z и zz = 1. Группа 2⋅S ⁺
_n обладает тем замечательным свойством, что все его генераторы имеют порядок 2.

Проективные представления

Накрывающие группы были введены Иссаи Шуром для классификации проективных представлений групп. (Комплексное) линейное представление группы G — это гомоморфизм группы G → GL( n , C ) из группы G в общую линейную группу , а проективное представление — это гомоморфизм G → PGL( n , C ) из G в проективная линейная группа . Проективные представления G естественным образом соответствуют линейным представлениям накрывающей группы G .

Проективные представления альтернирующих и симметричных групп являются предметом книги ( Hoffman & Humphreys 1992 ).

Интегральная гомология

Накрывающие группы соответствуют второй группе гомологий групп, H ₂ ( G , Z ), также известной как мультипликатор Шура . Мультипликаторы Шура знакопеременных групп An ₍ в случае, когда n не меньше 4) являются циклическими группами порядка 2, за исключением случая, когда n равно либо 6, либо 7, и в этом случае также существует тройное накрытие. В этих случаях мультипликатор Шура представляет собой циклическую группу порядка 6, а накрывающая группа — 6-кратное накрытие.

ЧАС ₂ (А _n , Z ) знак равно 0 для n ≤ 3

H ₂ (A _n , Z ) = Z /2 Z для n = 4, 5

H ₂ (A _n , Z ) = Z /6 Z для n = 6, 7

ЧАС ₂ (А _n , Z ) = Z /2 Z для n ≥ 8

Для симметричной группы множитель Шура обращается в нуль при n ≤ 3 и является циклической группой порядка 2 при n ≥ 4:

ЧАС ₂ (S _n , Z ) знак равно 0 для n ≤ 3

ЧАС ₂ (S _n , Z ) = Z /2 Z для n ≥ 4

Изготовление двойных перекрытий

Двойное накрытие знакопеременной группы можно построить с помощью спинового представления , которое накрывает обычное линейное представление знакопеременной группы.

Двойные накрытия могут быть построены как спиновые (соответственно булавочные) накрытия точных, неприводимых, линейных представлений _An и _Sn . Эти спиновые представления существуют для всех n, но являются накрывающими группами только для n ≥ 4 ( n ≠ 6, 7 для An ₎ . При n ⩽ 3 Sn _и An _{являются} собственными накрытиями Шура.

Альтернирующая группа, симметрическая группа и их двойные накрытия связаны таким образом и имеют ортогональные представления и покрывающие представления спина/штифта на соответствующей диаграмме ортогональных групп и групп спина/штифта .

Явно Sn _{действует} на n -мерном пространстве R ^н путем перестановки координат (в матрицах, как матрицы перестановок ). Оно имеет одномерное тривиальное подпредставление, соответствующее векторам со всеми равными координатами, и дополнительное ( n - 1) -мерное подпредставление (векторов, сумма координат которых равна 0) неприводимо для n ≥ 4 . Геометрически это симметрии ( n − 1) - симплекса , а алгебраически это дает отображения $A_{n}\hookrightarrow \operatorname {SO} (n-1)$ и $S_{n}\hookrightarrow \operatorname {O} (n-1)$ выражая их как дискретные подгруппы ( точечные группы ). Специальная ортогональная группа имеет 2-кратное накрытие спин-группой Spin( n ) → SO( n ) , и ограничение этого покрытия на An _и взятие прообраза дает 2-кратное накрытие 2⋅A _n → _An . Аналогичная конструкция с группой штифтов дает двукратное накрытие симметрической группы: Pin _± ( n ) → O( n ) . Поскольку существует две группы штифтов, существует два различных двукратных покрытия симметричной группы, 2⋅S. ^±
_п , также называемый ${\tilde {\mathrm {S} }}_{n}$ и Ŝ _н .

Построение тройного накрытия для n = 6, 7

Тройное покрытие A ₆ , обозначаемое 3⋅A ₆ , и соответствующее тройное покрытие S ₆ , обозначаемое 3⋅S ₆ , могут быть построены как симметрии некоторого набора векторов в комплексном 6-пространстве. исключительные тройные накрытия A6 _и A7 _{продолжаются} до расширений S6 _Хотя и _S7 , эти расширения не являются центральными и поэтому не образуют накрытия Шура.

Эта конструкция важна при изучении спорадических групп и большей части исключительного поведения малых классических и исключительных групп, включая: построение группы Матье M ₂₄ , исключительных накрытий проективной унитарной группы U ₄ (3) и проективная специальная линейная группа $L_{3}(4),$ и исключительное двойное накрытие группы лиева типа G ₂ (4). ^{[ нужна ссылка ]}

Исключительные изоморфизмы

Для малых размерностей имеются исключительные изоморфизмы с отображением специальной линейной группы над конечным полем в проективную специальную линейную группу .

При n = 3 симметрическая группа имеет вид SL(2, 2) ≅ PSL(2, 2) и является собственным накрытием Шура.

Для n = 4 покрытие Шура знакопеременной группы задается формулой SL(2, 3) → PSL(2, 3) ≅ A ₄ , которую также можно рассматривать как бинарную тетраэдрическую группу, покрывающую тетраэдрическую группу . Аналогично, GL(2, 3) → PGL(2, 3) ≅ S ₄ является накрытием Шура, но существует второе неизоморфное накрытие Шура S _4, содержащееся в GL(2,9) – обратите внимание, что 9 = 3 ² так что это расширение скаляров GL(2, 3). В терминах приведенных выше представлений GL(2, 3) ≅ Ŝ ₄ .

Для n = 5 накрытие Шура знакопеременной группы задается формулой SL(2, 5) → PSL(2, 5) ≅ A ₅ , которую также можно рассматривать как бинарную группу икосаэдра, покрывающую группу икосаэдра . Хотя PGL(2, 5) ≅ S ₅ , GL(2, 5) → PGL(2, 5) не является накрытием Шура, поскольку ядро не содержится в производной подгруппе GL(2,5). Накрытие Шура PGL(2, 5) содержится в GL(2, 25) – как и раньше, 25 = 5. ², так что это расширяет скаляры.

Для n = 6 двойное накрытие знакопеременной группы задается формулой SL(2, 9) → PSL(2, 9) ≅ A ₆ . Хотя PGL(2, 9) содержится в группе автоморфизмов PΓL (2, 9) группы PSL(2, 9) ≅ A ₆ , PGL(2, 9) не изоморфен S ₆ , и его накрытия Шура (которые являются двойные накрытия) не содержатся и не являются факторами GL(2, 9). Обратите внимание, что почти во всех случаях $S_{n}\cong \operatorname {Aut} (A_{n}),$ за единственным исключением A6 _, обусловленным исключительным внешним автоморфизмом _A6 . Другой подгруппой группы автоморфизмов A ₆ является M ₁₀ , группа Матье степени 10, чье накрытие Шура является тройным накрытием. Накрытия Шура самой симметрической группы S ₆ не имеют точных представлений в качестве подгруппы группы GL( d , 9) при d ⩽ 3. Четыре накрытия Шура группы автоморфизмов PΓL(2, 9) группы A ₆ являются двойными накрытиями.

При n = 8 знакопеременная группа A ₈ изоморфна SL(4, 2) = PSL(4, 2), и поэтому SL(4, 2) → PSL(4, 2), что соответствует отношению 1 к 1. , а не 2 к 1, это не прикрытие Шура.

Характеристики

Покрытия Шура конечных совершенных групп суперсовершенны . , то есть их первая и вторая целые гомологии равны нулю В частности, двойные накрытия An _при n ≥ 4 сверхсовершенны, за исключением n = 6, 7, а шестикратные накрытия An _{сверхсовершенны} при n = 6, 7.

Как стеблевые расширения простой группы, накрывающие группы An _{являются} квазипростыми группами для n ≥ 5.

Ссылки

Хоффман, ПН; Хамфрис, Джон Ф. (1992), Проективные представления симметричных групп , Оксфордские математические монографии, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853556-0 , МР 1205350
Шур, Дж. (1911), «О представлении симметричной и знакопеременной группы дробными линейными заменами» , Журнал чистой и прикладной математики , 139 : 155–250, doi : 10.1515/crll.1911.139.155 , JFM 42.0154 .02
- Шур, Дж. (2001), «О представлении симметричных и знакопеременных групп дробными линейными заменами», Международный журнал теоретической физики , 40 (1): 413–458, doi : 10.1023/A:1003772419522 , ISSN 0020- 7748 , MR 1820589 , Zbl 0969.20002 (перевод ( Schur 1911 ) Марка-Феликса Отто) {{citation}}: CS1 maint: постскриптум ( ссылка )
Уилсон, Роберт (31 октября 2006 г.), «Глава 2: Альтернирующие группы» , The Finite Simple Groups , заархивировано из оригинала 22 мая 2011 г., 2.7: Покрывающие группы. {{citation}}: CS1 maint: постскриптум ( ссылка )