Проективное представление

В области теории представлений в математике проективное представление группы G в в векторном пространстве V над полем F представляет собой гомоморфизм группы из G проективную линейную группу.

$$\mathrm {PGL} (V)=\mathrm {GL} (V)/F^{*},$$

где GL( V ) — группа обратимых линейных преобразований V F над F и общая линейная ^∗ — нормальная подгруппа, состоящая из ненулевых скалярных кратных тождественного преобразования (см. Скалярное преобразование ).

Говоря более конкретно, проективное представление $G$ представляет собой набор операторов $\rho (g)\in \mathrm {GL} (V),\,g\in G$ удовлетворяющее свойству гомоморфизма с точностью до константы:

$\rho (g)\rho (h)=c(g,h)\rho (gh),$

для некоторой константы $c(g,h)\in F$. Эквивалентно, проективное представление $G$ представляет собой набор операторов ${\tilde {\rho }}(g)\in \mathrm {PGL} (V),g\in G$, такой, что ${\tilde {\rho }}(gh)={\tilde {\rho }}(g){\tilde {\rho }}(h)$. Обратите внимание, что в этих обозначениях ${\tilde {\rho }}(g)$ представляет собой набор линейных операторов, связанных умножением с некоторым ненулевым скаляром.

Если есть возможность выбрать конкретного представителя $\rho (g)\in {\tilde {\rho }}(g)$ в каждом семействе операторов таким образом, чтобы свойство гомоморфизма выполнялось на носу , а не только с точностью до константы, то мы говорим, что ${\tilde {\rho }}$ может быть «депроективизировано» или что ${\tilde {\rho }}$ можно «поднять до обычного представления». Более конкретно, мы, таким образом, говорим, что ${\tilde {\rho }}$ может быть депроективизировано, если есть $\rho (g)\in {\tilde {\rho }}(g)$ для каждого $g\in G$ такой, что $\rho (g)\rho (h)=\rho (gh)$. Эта возможность обсуждается далее.

Линейные представления

Один из способов возникновения проективного представления — это взять линейное групповое представление группы G на V и применить фактор-отображение

$\operatorname {GL} (V,F)\rightarrow \operatorname {PGL} (V,F)$

который является фактором по подгруппе F ^∗ скалярных преобразований ( диагональные матрицы , у которых все диагональные элементы равны). Интерес для алгебры представляет процесс в другом направлении: данное проективное представление попытаться «поднять» его до обычного линейного представления . Общее проективное представление ρ : G → PGL( V ) не может быть поднято до линейного представления G → GL( V ) , и препятствие этому поднятию можно понять с помощью групповых когомологий , как описано ниже.

Однако можно снять проективное представление $\rho$ группы G другой группы H будет центральным расширением G. в линейное представление , которое Группа $H$ является подгруппой $G\times \mathrm {GL} (V)$ определяется следующим образом:

$H=\{(g,A)\in G\times \mathrm {GL} (V)\mid \pi (A)=\rho (g)\}$,

где $\pi$ представляет собой факторкарту $\mathrm {GL} (V)$ на $\mathrm {PGL} (V)$. С $\rho$ является гомоморфизмом, легко проверить, что $H$ действительно, это подгруппа $G\times \mathrm {GL} (V)$. Если исходное проективное представление $\rho$ верен, тогда $H$ изоморфен прообразу в $\mathrm {GL} (V)$ из $\rho (G)\subseteq \mathrm {PGL} (V)$.

Мы можем определить гомоморфизм $\phi :H\rightarrow G$ установив $\phi ((g,A))=g$. Ядро $\phi$ является:

$\mathrm {ker} (\phi )=\{(e,cI)\mid c\in F^{*}\}$,

который находится в центре $H$. Ясно также, что $\phi$ является сюръективным, так что $H$ является центральным продолжением $G$. Мы также можем определить обычное представление $\sigma$ из $H$ установив $\sigma ((g,A))=A$. Обычное ​ представление $\sigma$ из $H$ является лифтом проективного представления $\rho$ из $G$ в том смысле, что:

$\pi (\sigma ((g,A)))=\rho (g)=\rho (\phi ((g,A)))$.

Если G — совершенная группа, то существует единственное универсальное совершенное центральное расширение G , которое можно использовать.

Групповые когомологии

Анализ вопроса о подъеме предполагает групповую когомологию . зафиксировать Действительно, если для каждого g в G поднятый элемент L ( g ) при подъеме из PGL( V ) обратно в GL( V ) , тогда подъемы удовлетворяют условиям

$L(gh)=c(g,h)L(g)L(h)$

для некоторого скаляра c ( g , h ) в F ^∗ . Отсюда следует, что 2-коцикл или множитель Шура c удовлетворяет уравнению коцикла

$c(h,k)c(g,hk)=c(g,h)c(gh,k)$

для g , h , k в G. всех Это c зависит от выбора подъемника L ; другой выбор подъема L′ ( g ) = f ( g ) L ( g ) приведет к другому коциклу

$c^{\prime }(g,h)=f(gh)f(g)^{-1}f(h)^{-1}c(g,h)$

когомологичный c . Таким образом, L определяет единственный класс в H ² ( Г , Ф ^∗ ) . Этот класс может быть нетривиальным. Например, в случае симметрической группы и знакопеременной группы Шур установил, что существует ровно один нетривиальный класс мультипликатора Шура, и полностью определил все соответствующие неприводимые представления.

В общем, нетривиальный класс приводит к расширения G проблеме . Если G правильно расширена, мы получаем линейное представление расширенной группы, которое индуцирует исходное проективное представление при возвращении в G . Решением всегда является центральное расширение . Из леммы Шура следует, что неприводимые представления центральных расширений G и неприводимые проективные представления G по существу являются одними и теми же объектами.

: дискретное

См. Также: Представление осциллятора и Тета-представление.

Рассмотрим поле $\mathbb {Z} /p$ мод целых чисел $p$, где $p$ является простым, и пусть $V$ быть $p$-мерное пространство функций на $\mathbb {Z} /p$ со значениями в $\mathbb {C}$. Для каждого $a$ в $\mathbb {Z} /p$, определите два оператора, $T_{a}$ и $S_{a}$ на $V$ следующее:

${\begin{aligned}(T_{a}f)(b)&=f(b-a)\\(S_{a}f)(b)&=e^{2\pi iab/p}f(b).\end{aligned}}$

Пишем формулу для $S_{a}$ как будто $a$ и $b$ были целыми числами, но легко видеть, что результат зависит только от значения $a$ и $b$ против $p$. Оператор $T_{a}$ это перевод, а $S_{a}$ является сдвигом в частотном пространстве (т. е. он приводит к преобразованию Фурье дискретного преобразования $f$).

Легко проверить, что для любого $a$ и $b$ в $\mathbb {Z} /p$, операторы $T_{a}$ и $S_{b}$ коммутируем до умножения на константу:

$T_{a}S_{b}=e^{-2\pi iab/p}S_{b}T_{a}$.

Поэтому мы можем определить проективное представление $\rho$ из $\mathbb {Z} /p\times \mathbb {Z} /p$ следующее:

$\rho (a,b)=[T_{a}S_{b}]$,

где $[A]$ обозначает образ оператора $A\in \mathrm {GL} (V)$ в факторгруппе $\mathrm {PGL} (V)$. С $T_{a}$ и $S_{b}$ коммутировать до постоянной, $\rho$ легко увидеть как проективное представление. С другой стороны, поскольку $T_{a}$ и $S_{b}$ на самом деле не коммутируют - и никакие ненулевые кратные из них не коммутируют - $\rho$ не может быть поднято до обычного (линейного) представления $\mathbb {Z} /p\times \mathbb {Z} /p$.

Поскольку проективное представление $\rho$ верен, центральное расширение $H$ из $\mathbb {Z} /p\times \mathbb {Z} /p$ полученный построением в предыдущем разделе, является не чем иным, как прообразом в $\mathrm {GL} (V)$ изображения $\rho$. Явно это означает, что $H$ представляет собой группу всех операторов вида

$e^{2\pi ic/p}T_{a}S_{b}$

для $a,b,c\in \mathbb {Z} /p$. Эта группа является дискретной версией группы Гейзенберга и изоморфна группе матриц вида

${\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}$

с $a,b,c\in \mathbb {Z} /p$.

групп

См. Также: Спинор и Спин-½.

Изучение проективных представлений групп Ли приводит к рассмотрению истинных представлений их центральных расширений (см. Групповое расширение § Группы Ли ). Во многих представляющих интерес случаях достаточно рассмотреть представления накрывающих групп . В частности, предположим ${\hat {G}}$ является связным накрытием связной группы Ли $G$, так что $G\cong {\hat {G}}/N$ для дискретной центральной подгруппы $N$ из ${\hat {G}}$. (Обратите внимание, что ${\hat {G}}$ представляет собой особый вид центрального расширения $G$.) Предположим также, что $\Pi$ является неприводимым унитарным представлением ${\hat {G}}$ (возможно, бесконечномерный). Тогда по лемме Шура центральная подгруппа $N$ будет действовать скалярными кратными тождества. Таким образом, на проективном уровне $\Pi$ спустится к $G$. То есть для каждого $g\in G$, мы можем выбрать прообраз ${\hat {g}}$ из $g$ в ${\hat {G}}$и определим проективное представление $\rho$ из $G$ установив

$\rho (g)=\left[\Pi \left({\hat {g}}\right)\right]$,

где $[A]$ обозначает изображение в $\mathrm {PGL} (V)$ оператора $A\in \mathrm {GL} (V)$. С $N$ содержится в центре ${\hat {G}}$ и центр ${\hat {G}}$ действует как скаляр , значение $\left[\Pi \left({\hat {g}}\right)\right]$ не зависит от выбора ${\hat {g}}$.

Предыдущая конструкция является важным источником примеров проективных представлений. Теорема Баргмана (обсуждаемая ниже) дает критерий, при котором каждое неприводимое проективное унитарное представление $G$ возникает таким образом.

Проективные представления SO(3)

Физически важный пример приведенной выше конструкции взят из случая группы вращений SO(3) , универсальным накрытием которой является SU(2) . Согласно теории представлений SU(2) в каждом измерении существует ровно одно неприводимое представление SU(2). Когда размерность нечетная (случай «целочисленного спина»), представление сводится к обычному представлению SO (3). Когда размерность четная (случай «дробного спина»), представление не спускается к обычному представлению SO(3), но (согласно обсуждаемому выше результату) спускается к проективному представлению SO(3). Такие проективные представления SO(3) (те, которые не происходят из обычных представлений) называются «спинориальными представлениями», элементы (векторы) которых называются спинорами .

Согласно аргументу, обсуждаемому ниже, каждое конечномерное неприводимое проективное представление SO(3) происходит из конечномерного неприводимого обычного представления SU(2).

обложек, приводящих к

Известные случаи накрывающих групп, дающих интересные проективные представления:

• Специальная ортогональная группа SO( n , F ) дважды покрывается группой Spin Spin( n , F ).
• В частности, группа SO(3) (группа вращения в трёх измерениях) дважды покрывается SU(2) . Это имеет важные применения в квантовой механике, поскольку изучение представлений SU(2) приводит к нерелятивистской (низкоскоростной) теории спина .
• Группа СО ⁺ (3;1) , изоморфная группе Мёбиуса , также дважды накрывается SL ₂ ( C ). Обе являются супергруппами вышеупомянутых SO(3) и SU(2) соответственно и образуют релятивистскую теорию спина.
• Универсальное накрытие группы Пуанкаре — это двойное накрытие ( полупрямое произведение SL ₂ ( C ) с R ⁴ ). Неприводимые унитарные представления этого накрытия порождают проективные представления группы Пуанкаре, как в классификации Вигнера . Переход к покрытию необходим для включения случая дробного вращения.
• Ортогональная группа O( n ) дважды покрывается группой Pin Pin _± ( n ).
• Симплектическая группа Sp(2 n )=Sp(2 n , R ) (не путать с компактной вещественной формой симплектической группы, иногда также обозначаемой Sp( m )) дважды накрывается метаплектической группой Mp(2 н ). Важным проективным представлением Sp(2 n ) является метаплектическое представление Mp(2 n ).

Конечномерные

В квантовой физике симметрия физической системы обычно реализуется с помощью проективного унитарного представления. $\rho$ группы Ли $G$ на квантовом гильбертовом пространстве, т. е. непрерывный гомоморфизм

$\rho :G\rightarrow \mathrm {PU} ({\mathcal {H}}),$

где $\mathrm {PU} ({\mathcal {H}})$ является фактором унитарной группы $\mathrm {U} ({\mathcal {H}})$ операторами вида $cI,\,|c|=1$. Причина использования фактора заключается в том, что физически два пропорциональных вектора в гильбертовом пространстве представляют одно и то же физическое состояние. [То есть, пространство (чистых) состояний — это набор классов эквивалентности единичных векторов , где два единичных вектора считаются эквивалентными, если они пропорциональны.] Таким образом, на самом деле действует унитарный оператор, кратный единице. как идентичность на уровне физических состояний.

Конечномерное проективное представление $G$ затем порождает проективное унитарное представление $\rho _{*}$ алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$ из $G$. В конечномерном случае всегда можно «депроективизировать» представление алгебры Ли. $\rho _{*}$ просто выбрав представителя для каждого $\rho _{*}(X)$ имеющий нулевой след. В свете теоремы о гомоморфизмах тогда можно депроективизировать $\rho$ сам, но за счет перехода на универсальный чехол ${\tilde {G}}$ из $G$. Другими словами, каждое конечномерное проективное унитарное представление $G$ возникает из обычного унитарного представления ${\tilde {G}}$ по процедуре, указанной в начале этого раздела.

В частности, поскольку представление алгебры Ли было депроективизировано путем выбора представителя с нулевым следом, каждое конечномерное проективное унитарное представление $G$ возникает из определителем один обычного унитарного представления с ${\tilde {G}}$ (т.е. тот, в котором каждый элемент ${\tilde {G}}$ действует как оператор с определителем один). Если ${\mathfrak {g}}$ полупроста, то каждый элемент ${\mathfrak {g}}$ является линейной комбинацией коммутаторов, и в этом случае каждое представление ${\mathfrak {g}}$ осуществляется операторами с нулевым следом. Тогда в полупростом случае соответствующее линейное представление ${\tilde {G}}$ является уникальным.

И наоборот, если $\rho$ является неприводимым унитарным представлением универсального накрытия ${\tilde {G}}$ из $G$, то по лемме Шура центр ${\tilde {G}}$ действует как скалярное кратное тождеству. Таким образом, на проективном уровне $\rho$ сводится к проективному представлению исходной группы $G$. Таким образом, существует естественное взаимно однозначное соответствие между неприводимыми проективными представлениями $G$ и неприводимые, детерминантные обычные представления ${\tilde {G}}$. (В полупростом случае квалификатор «определитель-один» можно опустить, поскольку в этом случае каждое представление ${\tilde {G}}$ автоматически является определяющим.)

Важным примером является случай SO(3) , универсальным покрытием которого является SU(2) . Теперь алгебра Ли $\mathrm {su} (2)$ является полупростым. Более того, поскольку SU(2) — компактная группа , каждое ее конечномерное представление допускает скалярный продукт, относительно которого это представление унитарно. Таким образом, неприводимые проективные представления SO(3) находятся во взаимно однозначном соответствии с неприводимыми обычными представлениями SU(2).

Бесконечномерные проективные унитарные представления

Результаты предыдущего пункта не справедливы в бесконечномерном случае просто потому, что след $\rho _{*}(X)$ обычно не имеет четкого определения. Действительно, результат неверен: рассмотрим, например, сдвиги в пространстве положений и в пространстве импульсов для квантовой частицы, движущейся в пространстве $\mathbb {R} ^{n}$, действующий в гильбертовом пространстве $L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$. Эти операторы определяются следующим образом:

${\begin{aligned}(T_{a}f)(x)&=f(x-a)\\(S_{a}f)(x)&=e^{iax}f(x),\end{aligned}}$

для всех $a\in \mathbb {R} ^{n}$. Эти операторы являются просто непрерывными версиями операторов $T_{a}$ и $S_{a}$ описано в разделе «Первый пример» выше. Как и в этом разделе, мы можем затем определить проективное унитарное представление $\rho$ из $\mathbb {R} ^{2n}$:

$\rho (a,b)=[T_{a}S_{b}],$

потому что операторы коммутируют до фазового коэффициента. Но никакой выбор фазовых множителей не приведет к обычному унитарному представлению, поскольку сдвиги по положению не коммутируют со сдвигами по импульсу (и умножение на ненулевую константу этого не изменит). Однако эти операторы происходят из обычного унитарного представления группы Гейзенберга , которая является одномерным центральным расширением группы Гейзенберга. $\mathbb {R} ^{2n}$. (См. также теорему Стоуна – фон Неймана .)

Бесконечномерные проективные унитарные представления

С другой стороны, теорема Баргмана утверждает, что если вторая когомологий алгебры Ли группа $H^{2}({\mathfrak {g}};\mathbb {R} )$ из ${\mathfrak {g}}$ тривиально, то каждое проективное унитарное представление $G$ можно депроектировать после перехода к универсальному покрытию. Точнее, предположим, что мы начнем с проективного унитарного представления $\rho$ группы Ли $G$. Тогда теорема утверждает, что $\rho$ можно поднять до обычного унитарного представления ${\hat {\rho }}$ универсального чехла ${\hat {G}}$ из $G$. Это означает, что ${\hat {\rho }}$ отображает каждый элемент ядра покрывающей карты в скаляр, кратный единице, так что на проективном уровне ${\hat {\rho }}$ спускается к $G$- и что связанное с ним проективное представление $G$ равно $\rho$.

Теорема не применима к группе $\mathbb {R} ^{2n}$- как показывает предыдущий пример - потому что вторая группа когомологий ассоциированной коммутативной алгебры Ли нетривиальна. Примеры применения этого результата включают полупростые группы (например, SL(2,R) ) и группу Пуанкаре . Этот последний результат важен для классификации Вигнером проективных унитарных представлений группы Пуанкаре.

Доказательство теоремы Баргмана основано на рассмотрении центрального расширения $H$ из $G$, построенная аналогично разделу выше о линейных представлениях и проективных представлениях, как подгруппа группы прямого произведения $G\times U({\mathcal {H}})$, где ${\mathcal {H}}$ — гильбертово пространство, на котором $\rho$ действия и $U({\mathcal {H}})$ – группа унитарных операторов на ${\mathcal {H}}$. Группа $H$ определяется как

$H=\{(g,U)\mid \pi (U)=\rho (g)\}.$

Как и в предыдущем разделе, карта $\phi :H\rightarrow G$ данный $\phi (g,U)=g$ является сюръективным гомоморфизмом, ядро ​​которого есть $\{(e,cI)\mid |c|=1\},$ так что $H$ является центральным продолжением $G$. Опять же, как и в предыдущем разделе, мы можем определить линейное представление $\sigma$ из $H$ установив $\sigma (g,U)=U$. Затем $\sigma$ это лифт $\rho$ в том смысле, что $\rho \circ \phi =\pi \circ \sigma$, где $\pi$ представляет собой факторкарту от $U({\mathcal {H}})$ к $PU({\mathcal {H}})$.

Ключевой технический момент – показать, что $H$ является группой Ли . (Это утверждение не столь очевидно, поскольку, если ${\mathcal {H}}$ бесконечномерна, группа $G\times U({\mathcal {H}})$ является бесконечномерной топологической группой.) Как только этот результат установлен, мы видим, что $H$ является одномерным центральным расширением группы Ли $G$, так что алгебра Ли ${\mathfrak {h}}$ из $H$ также является одномерным центральным расширением ${\mathfrak {g}}$ (обратите внимание, что прилагательное «одномерный» не относится к $H$ и ${\mathfrak {h}}$, а скорее к ядру карты проекции этих объектов на $G$ и ${\mathfrak {g}}$ соответственно). Но группа когомологий $H^{2}({\mathfrak {g}};\mathbb {R} )$ можно отождествить с пространством одномерных (опять же в указанном выше смысле) центральных расширений ${\mathfrak {g}}$; если $H^{2}({\mathfrak {g}};\mathbb {R} )$ тривиально, то любое одномерное центральное расширение ${\mathfrak {g}}$ тривиально. В этом случае ${\mathfrak {h}}$ это просто прямая сумма ${\mathfrak {g}}$ с копией реальной строки. Отсюда следует, что универсальное покрытие ${\tilde {H}}$ из $H$ должно быть просто прямым продуктом универсального покрова $G$ с копией реальной строки. Тогда мы сможем поднять $\sigma$ от $H$ к ${\tilde {H}}$ (путем составления карты покрытия) и, наконец, ограничьте этот подъем универсальным покрытием. ${\tilde {G}}$ из $G$.

См. также

• Аффинное представление
• Групповое действие
• Центральное расширение
• Физика элементарных частиц и теория представлений
• Спин-½
• Спинор
• Симметрия в квантовой механике
• Группа Гейзенберга

Ссылки

• Баргманн, Валентин (1954), «Об унитарных лучевых представлениях непрерывных групп», Annals of Mathematics , 59 (1): 1–46, doi : 10.2307/1969831 , JSTOR   1969831
• Гэннон, Терри (2006), Самогон за пределами монстра: мост, соединяющий алгебру, модульные формы и физику , Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-83531-2
• Холл, Брайан К. (2013), Квантовая теория для математиков , Тексты для выпускников по математике, том. 267, Спрингер, ISBN  978-1461471158
• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для аспирантов по математике, том. 222 (2-е изд.), Спрингер, ISBN  978-3319134666
• Шур, И. (1911), «О представлении симметричной и знакопеременной группы дробными линейными заменами» , Crelle's Journal , 139 : 155–250.
• Симмс, DJ (1971), «Краткое доказательство критерия Баргмана для снятия проективных представлений групп Ли», Reports on Mathematical Physics , 2 (4): 283–287, Bibcode : 1971RpMP....2..283S , дои : 10.1016/0034-4877(71)90011-5