Физика элементарных частиц и теория представлений

Существует естественная связь между физикой элементарных частиц и теорией представлений , как впервые заметил в 1930-х годах Юджин Вигнер . ^[1] Он связывает свойства элементарных частиц со структурой групп Ли и алгебр Ли . Согласно этой связи, различные квантовые состояния элементарной частицы порождают неприводимое представление группы Пуанкаре . Более того, свойства различных частиц, включая их спектры , могут быть связаны с представлениями алгебр Ли, соответствующими «приблизительным симметриям» Вселенной.

Общая картина [ править ]

Симметрии квантовой системы [ править ]

В квантовой механике любое конкретное одночастичное состояние представляется вектором в гильбертовом пространстве. ${\mathcal {H}}$ . Чтобы понять, какие типы частиц могут существовать, важно классифицировать возможности существования ${\mathcal {H}}$ допускаются симметриями и их свойствами. Позволять ${\mathcal {H}}$ — гильбертово пространство, описывающее конкретную квантовую систему, и пусть $G$ — группа симметрий квантовой системы. Например, в релятивистской квантовой системе $G$ может быть группой Пуанкаре , а для атома водорода $G$ может быть группа ротации SO(3) . Состояние частицы более точно характеризуется соответствующим проективным гильбертовым пространством. $\mathrm {P} {\mathcal {H}}$ , также называемое лучевым пространством , поскольку два вектора, отличающиеся ненулевым скалярным коэффициентом, соответствуют одному и тому же физическому квантовому состоянию, представленному лучом в гильбертовом пространстве, которое является классом эквивалентности в ${\mathcal {H}}$ и под естественной картой проекции ${\mathcal {H}}\rightarrow \mathrm {P} {\mathcal {H}}$ , элемент $\mathrm {P} {\mathcal {H}}$ .

По определению симметрии квантовой системы существует групповое действие на $\mathrm {P} {\mathcal {H}}$ . Для каждого $g\in G$ , имеется соответствующее преобразование $V(g)$ из $\mathrm {P} {\mathcal {H}}$ . Более конкретно, если $g$ есть некоторая симметрия системы (скажем, поворот вокруг оси x на 12°), то соответствующее преобразование $V(g)$ из $\mathrm {P} {\mathcal {H}}$ представляет собой карту лучевого пространства. Например, при вращении стационарной (нулевой импульс) частицы со спином 5 вокруг своего центра: $g$ – это вращение в 3D пространстве (элемент $\mathrm {SO(3)}$ ), пока $V(g)$ - это оператор, область определения и диапазон которого являются пространством возможных квантовых состояний этой частицы, в данном примере проективным пространством $\mathrm {P} {\mathcal {H}}$ связанный с 11-мерным комплексным гильбертовым пространством ${\mathcal {H}}$ .

Каждая карта $V(g)$ сохраняет, по определению симметрии, произведение лучей на $\mathrm {P} {\mathcal {H}}$ индуцированный скалярным произведением на ${\mathcal {H}}$ ; согласно теореме Вигнера , это преобразование $\mathrm {P} {\mathcal {H}}$ происходит в результате унитарного или антиунитарного преобразования $U(g)$ из ${\mathcal {H}}$ . Однако обратите внимание, что $U(g)$ связанный с данным $V(g)$ не уникален, а уникален только с точностью до фазового множителя . Состав операторов $U(g)$ следовательно, должен отражать закон композиции в $G$ , но только с точностью до фазового множителя:

U(gh)=e^{i\theta }U(g)U(h)

,

где $\theta$ будет зависеть от $g$ и $h$ . Таким образом, отправка карты $g$ к $U(g)$ является проективным унитарным представлением $G$ или, возможно, смесь унитарного и антиунитарного, если $G$ отключен. На практике антиунитарные операторы всегда связаны с симметрией обращения времени .

Обычные проективные и репрезентации

Физически важно, чтобы вообще $U(\cdot )$ не обязательно должно быть обычным представлением $G$ ; может оказаться невозможным выбрать фазовые коэффициенты при определении $U(g)$ исключить фазовые факторы в законе их состава. Электрон, например, представляет собой частицу со спином, равным половине спина; его гильбертово пространство состоит из волновых функций на $\mathbb {R} ^{3}$ со значениями в двумерном спинорном пространстве. Действие $\mathrm {SO(3)}$ в спинорном пространстве является лишь проективным: оно не происходит из обычного представления $\mathrm {SO(3)}$ . Однако существует связанное с ним обычное представление универсального покрытия. $\mathrm {SU(2)}$ из $\mathrm {SO(3)}$ на спинорном пространстве. ^[2]

Для многих интересных занятий групп $G$ , теорема Баргмана говорит нам, что каждое проективное унитарное представление $G$ происходит от обычного представления универсального покрытия ${\tilde {G}}$ из $G$ . На самом деле, если ${\mathcal {H}}$ конечномерна, то независимо от группы $G$ , каждое проективное унитарное представление $G$ происходит из обычного унитарного представления ${\tilde {G}}$ . ^[3] Если ${\mathcal {H}}$ бесконечномерна, то для получения желаемого вывода необходимо сделать некоторые алгебраические предположения относительно $G$ (см. ниже). В этом случае результатом является теорема Баргмана . ^[4] К счастью, в решающем случае группы Пуанкаре теорема Баргмана применима. ^[5] (См. классификацию Вигнером представлений универсального накрытия группы Пуанкаре.)

Упомянутое выше требование состоит в том, чтобы алгебра Ли ${\mathfrak {g}}$ не допускает нетривиального одномерного центрального расширения. Это так тогда и только тогда, когда вторая группа когомологий ${\mathfrak {g}}$ тривиально. В этом случае все еще может быть верно, что группа допускает центральное расширение с помощью дискретной группы. Но расширения $G$ дискретными группами являются покрытиями $G$ . Например, универсальный чехол ${\tilde {G}}$ связано с $G$ через частное $G\approx {\tilde {G}}/\Gamma$ с центральной подгруппой $\Gamma$ будучи центром ${\tilde {G}}$ сама по себе изоморфна фундаментальной группе накрытой группы.

Таким образом, в благоприятных случаях квантовая система будет нести унитарное представление универсальной оболочки. ${\tilde {G}}$ группы симметрии $G$ . Это желательно, потому что ${\mathcal {H}}$ с ним гораздо проще работать, чем с невекторным пространством $\mathrm {P} {\mathcal {H}}$ . Если представления ${\tilde {G}}$ можно классифицировать, гораздо больше информации о возможностях и свойствах ${\mathcal {H}}$ доступны.

Дело Гейзенберга [ править ]

Примером, в котором теорема Баргмана не применима, является квантовая частица, движущаяся в $\mathbb {R} ^{n}$ . Группа трансляционных симметрий ассоциированного фазового пространства, $\mathbb {R} ^{2n}$ , — коммутативная группа $\mathbb {R} ^{2n}$ . В обычной квантовомеханической картине $\mathbb {R} ^{2n}$ симметрия не реализуется унитарным представлением $\mathbb {R} ^{2n}$ . В конце концов, в квантовой ситуации трансляции в пространстве позиций и перемещения в пространстве импульсов не коммутируют. Эта неспособность коммутировать отражает неспособность операторов положения и импульса, которые являются бесконечно малыми генераторами перемещений в пространстве импульса и пространстве позиций соответственно, коммутировать. Тем не менее, сдвиги в пространстве позиций и сдвиги в пространстве импульсов коммутируют с точностью до фазового множителя. Таким образом, мы имеем четко определенное проективное представление $\mathbb {R} ^{2n}$ , но оно не исходит из обычного представления $\mathbb {R} ^{2n}$ , Несмотря на то $\mathbb {R} ^{2n}$ просто связано.

В этом случае для получения обычного представления приходится перейти к группе Гейзенберга , которая является нетривиальным одномерным центральным расширением группы Гейзенберга. $\mathbb {R} ^{2n}$ .

Poincaré group Пуанкаре editГруппа

Группа трансляций и преобразований Лоренца образует группу Пуанкаре , и эта группа должна представлять собой симметрию релятивистской квантовой системы (без учета эффектов общей теории относительности , или, другими словами, в плоском пространстве-времени ). Представления группы Пуанкаре во многих случаях характеризуются неотрицательной массой и полуцелым спином (см. классификацию Вигнера ); это можно рассматривать как причину того, что частицы имеют квантованный спин. (Обратите внимание, что на самом деле существуют и другие возможные представления, такие как тахионы , инфрачастицы и т. д., которые в некоторых случаях не имеют квантованного спина или фиксированной массы.)

Другие симметрии [ править ]

Хотя симметрии пространства-времени в группе Пуанкаре особенно легко визуализировать и поверить в них, существуют также другие типы симметрий, называемые внутренними симметриями . Одним из примеров является цвет SU(3) — точная симметрия, соответствующая непрерывной смене цветов трёх кварков .

против Ли Алгебры Ли групп

Многие (но не все) симметрии или приближенные симметрии образуют группы Ли . Вместо изучения теории представлений этих групп Ли часто предпочтительнее изучить тесно связанную теорию представлений соответствующих алгебр Ли, которые обычно проще вычислить.

Теперь представления алгебры Ли соответствуют представлениям универсального накрытия исходной группы. ^[6] В конечномерном случае (и в бесконечномерном случае, при условии применения теоремы Баргмана ) неприводимые проективные представления исходной группы соответствуют обычным унитарным представлениям универсального накрытия. В этих случаях уместны вычисления на уровне алгебры Ли. Так обстоит дело, в частности, при изучении неприводимых проективных представлений группы вращений SO(3). Они находятся во взаимно однозначном соответствии с обычными представлениями универсального накрытия SU(2) группы SO(3) . Тогда представления SU(2) находятся во взаимно однозначном соответствии с представлениями его алгебры Ли su(2), которая изоморфна алгебре Ли so(3) группы SO(3).

Таким образом, подведем итог: неприводимые проективные представления SO(3) находятся во взаимно однозначном соответствии с неприводимыми обычными представлениями ее алгебры Ли so(3). Двумерное представление алгебры Ли so(3) со спином 1/2, например, не соответствует обычному (однозначному) представлению группы SO(3). (Этот факт является источником утверждений о том, что «если вы повернете волновую функцию электрона на 360 градусов, вы получите отрицательное значение исходной волновой функции».) Тем не менее, представление спина 1/2 действительно приводит к четко определенное проективное представление SO(3), и это все, что требуется физически.

Приблизительные симметрии [ править ]

Хотя вышеуказанные симметрии считаются точными, другие симметрии являются лишь приблизительными.

Гипотетический пример [ править ]

В качестве примера того, что означает приблизительная симметрия, предположим, что экспериментатор жил внутри бесконечного ферромагнетика с намагниченностью в определенном направлении. Экспериментатор в этой ситуации обнаружил бы не один, а два различных типа электронов: один со спином вдоль направления намагничивания, с немного меньшей энергией (и, следовательно, меньшей массой), и другой со спином, направленным против направления намагниченности, с более высокая масса. Наша обычная вращательная симметрия SO(3) , которая обычно соединяет электрон со спином вверх и электроном со спином вниз, в этом гипотетическом случае стала лишь приблизительной симметрией, связывающей различные типы частиц друг с другом.

Общее определение [ править ]

В общем, приблизительная симметрия возникает, когда существуют очень сильные взаимодействия, подчиняющиеся этой симметрии, а также более слабые взаимодействия, которые ей не подчиняются. В приведенном выше примере с электроном два «типа» электронов ведут себя одинаково под действием сильного и слабого взаимодействия , но по-разному под действием электромагнитного взаимодействия .

Пример: симметрия изоспина [ править ]

Примером из реального мира является изоспиновая симметрия , группа SU(2), соответствующая сходству между верхними и нижними кварками . Это приблизительная симметрия: хотя верхние и нижние кварки идентичны в том, как они взаимодействуют под действием сильного взаимодействия , они имеют разные массы и разные электрослабые взаимодействия. Математически существует абстрактное двумерное векторное пространство.

{\text{up quark}}\rightarrow {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},\qquad {\text{down quark}}\rightarrow {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}

и законы физики приблизительно определителя 1 инвариантны относительно применения к этому пространству унитарного преобразования : ^[7]

{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mapsto A{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}},\quad {\text{where }}A{\text{ is in }}SU(2)

Например, $A={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}$ превратило бы все верхние кварки во Вселенной в нижние кварки и наоборот. Некоторые примеры помогают прояснить возможные последствия этих преобразований:

Когда эти унитарные преобразования применяются к протону , он может превратиться в нейтрон или в суперпозицию протона и нейтрона, но не в какие-либо другие частицы. Следовательно, преобразования перемещают протон по двумерному пространству квантовых состояний. Протон и нейтрон называются « дуплетом изоспина », что математически аналогично тому, как частица со спином ½ ведет себя при обычном вращении.
Когда эти унитарные преобразования применяются к любому из трех пионов (
п ⁰
,
п ⁺
, и
п ⁻
), он может превратить любой из пионов в любой другой, но не в какую-либо непионную частицу. Следовательно, преобразования перемещают пионы по трехмерному пространству квантовых состояний. Пионы называются « тройкой изоспина », что математически аналогично тому, как частица со спином 1 ведет себя при обычном вращении.
Эти преобразования совершенно не влияют на электрон , поскольку он не содержит ни верхних, ни нижних кварков. Электрон называется синглетом изоспина, что математически аналогично тому, как частица со спином 0 ведет себя при обычном вращении.

В общем случае частицы образуют мультиплеты изоспина , которые соответствуют неприводимым представлениям алгебры Ли SU(2) . Частицы в мультиплете изоспина имеют очень схожие, но не идентичные массы, поскольку верхние и нижние кварки очень похожи, но не идентичны.

Пример: симметрия вкуса [ править ]

Изоспиновую симметрию можно обобщить до ароматной симметрии , группы SU(3), соответствующей сходству между верхними , нижними и странными кварками . ^[7] Это опять-таки приблизительная симметрия, нарушаемая различиями масс кварков и электрослабыми взаимодействиями — фактически, это худшее приближение, чем изоспин, из-за заметно большей массы странного кварка.

Тем не менее, частицы действительно можно аккуратно разделить на группы, которые образуют неприводимые представления алгебры Ли SU(3) , как впервые заметил Мюррей Гелл-Манн и независимо Юваль Нееман .

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Вигнер получил Нобелевскую премию по физике в 1963 году «за вклад в теорию атомного ядра и элементарных частиц, особенно за счет открытия и применения фундаментальных принципов симметрии»; см. также теорему Вигнера , классификацию Вигнера .
^ Зал 2015 г., раздел 4.7.
^ Холл, 2013 г., Теорема 16.47.
^ Баргманн, В. (1954). «Об унитарных лучевых представлениях непрерывных групп». Энн. математики . 59 (1): 1–46. дои : 10.2307/1969831 . JSTOR 1969831 .
^ Вайнберг 1995 Глава 2, Приложение A и B.
^ Зал 2015 г., раздел 5.7.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Конспекты лекций профессора Марка Томсона

Ссылки [ править ]

Коулман, Сидни (1985) Аспекты симметрии: Избранные лекции Сиднея Коулмана в Эрике . Кембриджский университет. Нажимать. ISBN 0-521-26706-4 .
Георгий, Ховард (1999) Алгебры Ли в физике элементарных частиц . Ридинг, Массачусетс: Книги Персея. ISBN 0-7382-0233-9 .
Холл, Брайан К. (2013), Квантовая теория для математиков , Тексты для выпускников по математике, том. 267, Спрингер, ISBN 978-1461471158 .
Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для аспирантов по математике, том. 222 (2-е изд.), Спрингер, ISBN 978-3319134666 .
Штернберг, Шломо (1994) Теория групп и физика . Кембриджский университет. Нажимать. ISBN 0-521-24870-1 . Особенно стр. 148–150.
Вайнберг, Стивен (1995). Квантовая теория полей, Том 1: Основы . Кембриджский университет. Нажимать. ISBN 0-521-55001-7 . Особенно приложения А и Б к Главе 2.

Внешние ссылки [ править ]

Баэз, Джон К.; Уэрта, Джон (2010). «Алгебра теорий Великого объединения». Бык. Являюсь. Математика. Соц . 47 (3): 483–552. arXiv : 0904.1556 . дои : 10.1090/S0273-0979-10-01294-2 . S2CID 2941843 .

[1] Вигнер получил Нобелевскую премию по физике в 1963 году «за вклад в теорию атомного ядра и элементарных частиц, особенно за счет открытия и применения фундаментальных принципов симметрии»; см. также теорему Вигнера , классификацию Вигнера .

[2] Зал 2015 г., раздел 4.7.

[3] Холл, 2013 г., Теорема 16.47.

[4] Баргманн, В. (1954). «Об унитарных лучевых представлениях непрерывных групп». Энн. математики . 59 (1): 1–46. дои : 10.2307/1969831 . JSTOR 1969831 .

[5] Вайнберг 1995 Глава 2, Приложение A и B.

[6] Зал 2015 г., раздел 5.7.

[Thomson-7] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Конспекты лекций профессора Марка Томсона

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]