Изоспин

В ядерной физике и физике элементарных частиц изоспин ( I ) — это квантовое число, связанное с содержанием верхних и нижних кварков в частице. Изоспин также известен как изобарический спин или изотопический спин .Изоспиновая симметрия — это разновидность ароматной симметрии, более широко наблюдаемая во взаимодействиях барионов и мезонов .

В названии понятия присутствует термин «спин» , поскольку его квантовомеханическое описание математически аналогично описанию углового момента (в частности, по способу его взаимодействия ; например, пара протон-нейтрон может быть связана либо в состоянии полного изоспина, либо в состоянии полного изоспина). 1 или в одном из 0 ). Но в отличие от углового момента, это безразмерная величина и на самом деле не является каким-либо типом вращения .

До того, как была введена концепция кварков, частицы, на которые одинаково воздействует сильное взаимодействие, но имели разные заряды (например, протоны и нейтроны), считались разными состояниями одной и той же частицы, но имеющие значения изоспина, связанные с количеством зарядовых состояний. Тщательное изучение изоспиновой симметрии в конечном итоге привело непосредственно к открытию и пониманию кварков , а также к развитию теории Янга-Миллса . Изоспиновая симметрия остается важной концепцией в физике элементарных частиц.

Изоспин-инвариантность

В хорошем приближении протон и нейтрон имеют одинаковую массу: их можно интерпретировать как два состояния одной и той же частицы. Эти состояния имеют разные значения внутренней координаты изоспина. Математические свойства этой координаты полностью аналогичны собственному угловому моменту спина . Компонент оператора, ${\hat {T}}_{3}$, для этой координаты имеются собственные значения + ⁠ 1 / 2 ⁠ и − ⁠ 1/2 ​ ⁠ ; ​это связано с оператором заряда, ${\hat {Q}}$: $${\hat {Q}}=e({\hat {T}}_{3}+{\frac {1}{2}})$$который имеет собственные значения $e$ для протона и ноль для нейтрона. Для системы из n нуклонов оператор заряда зависит от массового числа A: $${\hat {Q}}=e({\hat {T}}_{3}+{\frac {1}{2}}A)$$ Изобары — ядра с одинаковым массовым числом, например ⁴⁰ К и ⁴⁰ Ar, отличаются только значением ${\hat {T}}_{3}$ собственное значение. По этой причине изоспин также называют «изобарическим спином».

Внутренняя структура этих нуклонов определяется сильным взаимодействием , но гамильтониан сильного взаимодействия инвариантен по изоспину. Как следствие, ядерные силы не зависят от заряда. Такие свойства, как стабильность дейтерия, можно предсказать на основе изоспинового анализа. Однако,эта инвариантность не точна, и модель кварков дает более точные результаты.

Отношение к гиперзаряду

Оператор заряда можно выразить через проекцию изоспина $T_{3}$ и гиперзаряд , $Y$: $$Q={\frac {1}{2}}Y+T_{3},\ \ \ \ T_{3}=T,T-1,...,-T.$$Это известно как формула Гелла-Манна-Нисидзимы . Гиперзаряд является центром расщепления мультиплета изоспина: $${\frac {1}{2}}Y={\frac {1}{2}}(Q_{\textrm {min}}+Q_{\textrm {max}}).$$Это соотношение имеет аналог в слабом взаимодействии , где Т — слабый изоспин .

Содержание кварка и изоспин

В современной формулировке изоспин ( I ) определяется как векторная величина, в которой верхние и нижние кварки имеют значение I = ⁠ 1 / 2 ⁠ , причем 3-й компонент ( I ₃ ) равен + ⁠ 1/2 ⁠ - для вверх кварков и − ⁠ 1/2 I ⁠ 0. для нижних кварков, в то время как все остальные кварки имеют = Поэтому для адронов вообще где n _u и nd _— количество верхних и нижних кварков соответственно,

$I_{3}={\frac {1}{2}}(n_{u}-n_{d}).$

В любой комбинации кварков третий компонент вектора изоспина ( I ₃ ) может либо располагаться между парой кварков, либо быть направлен в противоположном направлении, что дает разные возможные значения общего изоспина для любой комбинации ароматов кварков. Адроны с одинаковым содержанием кварков, но с разным общим изоспином можно различить экспериментально, подтвердив, что аромат на самом деле является векторной величиной, а не скаляром (вверх и вниз просто является проекцией на квантовомеханической оси z ароматного пространства).

Например, странный кварк может быть объединен с верхним и нижним кварком, образуя барион , но есть два разных способа объединения значений изоспина – либо добавление (из-за того, что они совпадают по вкусу), либо нейтрализация (из-за того, что они совпадают по вкусу). в противоположных вкусовых направлениях). Состояние изоспина-1 (т.
С ⁰
) и состояние изоспина-0 (
л ⁰
) имеют разные экспериментально обнаруженные массы и периоды полураспада.

Изоспин и симметрия

См. Также: Теория представлений SU (2).

Изоспин рассматривается как симметрия сильного взаимодействия под действием группы Ли SU(2) , причем два состояния представляют собой восходящий аромат и нижний аромат. В квантовой механике , когда гамильтониан обладает симметрией, эта симметрия проявляется через набор состояний, имеющих одинаковую энергию (состояния описываются как вырожденные ). Проще говоря, оператор энергии сильного взаимодействия дает тот же результат, если поменять местами верхний кварк и идентичный в остальном нижний кварк.

в случае с регулярным вращением, оператор изоспина I векторнозначен I : он имеет три компонента x _z , I _y , I _{Как и} , которые являются координатами в том же трехмерном векторном пространстве, где действует 3- представление. Обратите внимание, что это векторное пространство не имеет ничего общего с физическим пространством, кроме аналогичного математического формализма. Изоспин описывается двумя квантовыми числами : I – полный изоспин и I ₃ – собственное значение I _z проекции состояниями являются ароматные состояния , для которого собственными . Другими словами, каждое состояние I ₃ определяет определенное состояние вкуса мультиплета . Третья координата ( z ), к которой относится индекс «3», выбрана из-за соглашений об обозначениях, которые связывают основания в 2- и 3-м пространствах представления. А именно, для спин- случае ⁠ 1/2 разделенным ⁠ В компоненты I равны матрицам Паули, на 2, поэтому I _z = ⁠ 1/2 ​ τ ⁠   , ₃ где

$\tau _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.$

Хотя формы этих матриц изоморфны формам спина, эти матрицы Паули действуют только в гильбертовом пространстве изоспина, а не в пространстве спина, и поэтому их принято обозначать через τ, а не σ во избежание путаницы .

Хотя изоспиновая симметрия на самом деле нарушена очень незначительно, симметрия SU(3) нарушена сильнее из-за гораздо большей массы странного кварка по сравнению с верхним и нижним кварком. Открытие очарования , нижнего и верхнего уровня может привести к дальнейшему расширению до ароматной симметрии SU(6) , которая сохранялась бы, если бы все шесть кварков были идентичны. Однако гораздо большие массы очарования, нижнего и верхнего кварков означают, что ароматная симметрия SU(6) очень сильно нарушена в природе (по крайней мере, при низких энергиях), и предположение о том, что эта симметрия приводит к качественно и количественно неверным предсказаниям. В современных приложениях, таких как решеточная КХД , изоспиновая симметрия часто рассматривается как точная для трех легких кварков (uds), тогда как три тяжелых кварка (cbt) должны рассматриваться отдельно.

Адронная номенклатура

Основные статьи: Барион и мезоны

Номенклатура адронов основана на изоспине.

• Частицы общего изоспина ⁠ 3/2 дельта - ⁠ и могут быть образованы называются барионами комбинацией любых трёх верхних или нижних кварков (но только верхних или нижних кварков).
• Частицы с общим изоспином 1 могут состоять из двух верхних кварков, двух нижних кварков или по одному каждого из них:
  • определенные мезоны - далее по общему спину подразделяются на пионы (общий спин 0) и ро-мезоны (полный спин 1)
  • с дополнительным кварком высшего аромата – сигма-барионами.
• Частицы общего изоспина ⁠ 1/2 ⁠ : из можно сделать
  • одиночный верхний или нижний кварк вместе с дополнительным кварком более высокого аромата – странным ( каоны ), очаровательным ( D-мезон ) или нижним ( B-мезон )
  • один верхний или нижний кварк вместе с двумя дополнительными кварками более высокого аромата - барион Си
  • верхний кварк, нижний кварк и верхний или нижний кварк – нуклоны . Обратите внимание, что три одинаковых кварка были бы запрещены принципом Паули из- за требования антисимметричной волновой функции.
• Частицы с общим изоспином 0 могут быть получены из
  • нейтральная пара кварк-антикварк: $\mathrm {u{\bar {u}}}$ или $\mathrm {d{\bar {d}}}$ - и мезоны
  • один верхний и один нижний кварк с дополнительным кварком более высокого аромата - лямбда-барионы.
  • все, что не связано с верхними или нижними кварками

История

Происхождение изоспина

в 1932 году. Вернер Гейзенберг представил новую (безымянную) концепцию, объясняющую связывание протона и недавно открытого нейтрона (символ n). Его модель напоминала модель связи молекулы иона водорода H ₂ ⁺ : один электрон принадлежит двум протонам.У теории Гейзенберга было несколько проблем, наиболее примечательными из которых были ошибочные предсказания исключительно сильной энергии связи He. ⁺² , альфа-частицы . Однако равное отношение к протону и нейтрону приобрело значение, когда несколько экспериментальных исследований показали, что эти частицы должны связываться почти одинаково. В ответ Юджин Вигнер использовал концепцию Гейзенберга в своей статье 1937 года, где он ввел термин «изотопический спин», чтобы указать, насколько эта концепция похожа на спин по поведению.

Зоопарк частиц

Основная статья: Зоопарк частиц

Эти соображения также оказались полезными при анализе мезон -нуклонных взаимодействий после открытия пионов в 1947 году. Три пиона (
п ⁺
,
п ⁰
,
п ⁻
) можно отнести к триплету изоспина с I = 1 и I ₃ = +1, 0 или −1 . Если предположить, что изоспин сохраняется в результате ядерных взаимодействий, новые мезоны легче учесть в ядерной теории.

По мере открытия новых частиц их распределяли по изоспиновым мультиплетам в соответствии с количеством наблюдаемых различных зарядовых состояний: 2 дублета I = ⁠ 1/2 ​ - ⁠ K мезонов (
К ⁻
,
К ⁰
), (
К ⁺
,
К ⁰
), тройка I = 1 сигма-барионов (
С ⁺
,
С ⁰
,
С ⁻
), синглет I = 0 лямбда-барион (
л ⁰
), квартет I = ⁠ 3/2 Дельта - ⁠ барионы (
Д ⁺⁺
,
Д ⁺
,
Д ⁰
,
Д ⁻
), и так далее.

Сила изоспиновой симметрии и связанных с ней методов проистекает из наблюдения, что семейства частиц с одинаковыми массами имеют тенденцию соответствовать инвариантным подпространствам, связанным с неприводимыми представлениями алгебры Ли SU (2). В этом контексте инвариантное подпространство натянуто на базисные векторы, которые соответствуют частицам в семействе. Под действием алгебры Ли SU(2), порождающей вращения в изоспиновом пространстве, элементы, соответствующие определенным состояниям частиц или суперпозициям состояний, могут вращаться друг в друга, но никогда не могут покинуть пространство (поскольку подпространство фактически инвариантно). ). Это отражает существующую симметрию. Тот факт, что унитарные матрицы коммутируют с гамильтонианом, означает, что рассчитанные физические величины не изменяются даже при унитарном преобразовании. В случае с изоспином этот механизм используется для отражения того факта, что математика сильного взаимодействия ведет себя одинаково, если поменять местами протон и нейтрон (в современной формулировке — верхний и нижний кварки).

Пример: дельта-барионы.

Например, частицы, известные как дельта-барионы – барионы со спином ⁠ 3 / 2 ⁠ – были сгруппированы вместе, поскольку все они имеют примерно одинаковую массу (приблизительно 1232 МэВ/ с). ² ) и взаимодействуют примерно одинаково.

Их можно рассматривать как одну и ту же частицу, но разница в заряде обусловлена ​​тем, что частицы находятся в разных состояниях. Изоспин был введен для того, чтобы стать переменной, определяющей эту разницу состояний. В аналоге спина проекция изоспина (обозначенная I ₃ ) связана с каждым заряженным состоянием; поскольку Дельт было четыре, потребовалось четыре проекции. Как и вращение, проекции изоспина изменялись с шагом 1. Следовательно, чтобы иметь четыре приращения по 1, значение изоспина равно ⁠ 3 / 2 ⁠ (что дает проекции I ₃ = + ⁠ 3 / 2 ⁠ , + ⁠ 1 / 2 ⁠ , − ⁠ 1 / 2 ⁠ , − ⁠ 3/2 ​ ⁠ ) . Таким образом, говорилось, что все дельты имеют изоспин I = ⁠ 3 / 2 ⁠ , и каждый отдельный заряд имел разное I ₃ (например,
Д ⁺⁺
был связан с I ₃ = + ⁠ 3 / 2 ⁠ ).

В картине изоспина четыре дельты и два нуклона считались просто разными состояниями двух частиц. Сейчас считается, что дельта-барионы состоят из смеси трех верхних и нижних кварков – uuu (
Д ⁺⁺
), ууд (
Д ⁺
), странный (
Д ⁰
) и ддд (
Д ⁻
); разница в заряде представляет собой разницу в зарядах верхних и нижних кварков (+ ⁠ 2/3 ​ ⁠ е   и − ⁠ 1/3 ⁠ ; е   соответственно ) тем не менее, их также можно рассматривать как возбужденные состояния нуклонов.

Калиброванная изоспиновая симметрия

Были предприняты попытки перевести изоспин из глобальной симметрии в локальную. В 1954 году Чэнь Нин Ян и Роберт Миллс предположили, что понятие протонов и нейтронов, которые непрерывно вращаются друг в друга за счет изоспина, должно меняться от точки к точке. Чтобы описать это, направление протонов и нейтронов в пространстве изоспина должно быть определено в каждой точке, что дает локальную основу для изоспина. Тогда калибровочное соединение будет описывать, как преобразовать изоспин на пути между двумя точками.

Эта теория Янга-Миллса описывает взаимодействующие векторные бозоны, такие как фотон электромагнетизма. В отличие от фотона, калибровочная теория SU(2) будет содержать самодействующие калибровочные бозоны. Условие калибровочной инвариантности предполагает, что они имеют нулевую массу, как и в электромагнетизме.

связываться со всеми частицами данного изоспина Игнорируя проблему безмассы, как это сделали Янг и Миллс, теория делает твердое предсказание: векторная частица должна универсально . Связь с нуклоном будет такой же, как связь с каонами . Связь с пионами была бы такой же, как самосвязь векторных бозонов с самими собой.

Когда Ян и Миллс предложили эту теорию, не существовало кандидата в векторные бозоны. Дж. Дж. Сакураи в 1960 году предсказал, что должен существовать массивный векторный бозон, связанный с изоспином, и предсказал, что он будет демонстрировать универсальные связи. Ро- мезоны были открыты вскоре после этого и быстро идентифицированы как векторные бозоны Сакураи. Было подтверждено, что связи ро с нуклонами и друг с другом универсальны, насколько это возможно в ходе эксперимента. Тот факт, что диагональный изоспиновый ток содержит часть электромагнитного тока, привел к предсказанию смешения ро-фотонов и концепции доминирования векторных мезонов - идеи, которые привели к успешным теоретическим картинам рассеяния фотонов на ядрах в масштабе ГэВ.

Введение кварков

Комбинации трех u, d или s-кварков, образующие барионы со спином - 3/2 ​ декуплет образуют барионный .

Комбинации трех u, d или s-кварков, образующие барионы со спином 1 ⁄ 2 образуют барионный октет

Открытие и последующий анализ дополнительных частиц, как мезонов , так и барионов , прояснило, что концепция изоспиновой симметрии может быть расширена до еще большей группы симметрии, теперь называемой ароматной симметрией . Как только каоны и их свойство странности стали лучше поняты, стало ясно, что они тоже, по-видимому, являются частью расширенной симметрии, включающей изоспин в качестве подгруппы. Более крупная симметрия была названа путем Восьмеричным Мюрреем Гелл-Манном и была быстро признана соответствующей присоединенному представлению SU(3) . Чтобы лучше понять происхождение этой симметрии, Гелл-Манн предположил существование верхних, нижних и странных кварков , которые принадлежали бы фундаментальному представлению ароматной симметрии SU(3).

В кварковой модели проекция изоспина ( I ₃ ) следовала из верхнего и нижнего кваркового содержания частиц; uud для протона и udd для нейтрона. Технически состояния дублетов нуклонов представляют собой линейные комбинации произведений трехчастичных состояний изоспинового дублета и состояний спинового дублета. То есть волновая функция протона (со спином вверх) в терминах собственных состояний кварка описывается выражением

$$\vert \mathrm {p} \uparrow \rangle ={\frac {1}{3{\sqrt {2}}}}\left({\begin{array}{ccc}\vert \mathrm {duu} \rangle &\vert \mathrm {udu} \rangle &\vert \mathrm {uud} \rangle \end{array}}\right)\left({\begin{array}{ccc}2&-1&-1\\-1&2&-1\\-1&-1&2\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}\left\vert \downarrow \uparrow \uparrow \right\rangle \\\left\vert \uparrow \downarrow \uparrow \right\rangle \\\left\vert \uparrow \uparrow \downarrow \right\rangle \end{array}}\right)$$

и нейтрон (с раскруткой вверх) на

$$\vert \mathrm {n} \uparrow \rangle ={\frac {1}{3{\sqrt {2}}}}\left({\begin{array}{ccc}\vert \mathrm {udd} \rangle &\vert \mathrm {dud} \rangle &\vert \mathrm {ddu} \rangle \end{array}}\right)\left({\begin{array}{ccc}2&-1&-1\\-1&2&-1\\-1&-1&2\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}\left\vert \downarrow \uparrow \uparrow \right\rangle \\\left\vert \uparrow \downarrow \uparrow \right\rangle \\\left\vert \uparrow \uparrow \downarrow \right\rangle \end{array}}\right).$$

Здесь, $\mathrm {\vert u\rangle }$ — собственное состояние аромата ап-кварка , а $\mathrm {\vert d\rangle }$ — собственное состояние аромата даун-кварка , а $\left\vert \uparrow \right\rangle$ и $\left\vert \downarrow \right\rangle$ являются собственными состояниями $S_{z}$. Хотя эти суперпозиции являются технически правильным способом обозначения протона и нейтрона с точки зрения аромата кварка и собственных состояний спина, для краткости их часто называют просто «uud» и «udd». Приведенный выше вывод предполагает точную изоспиновую симметрию и модифицируется членами, нарушающими SU (2).

Точно так же изоспиновая симметрия пионов определяется выражением:

$${\begin{aligned}\vert \pi ^{+}\rangle &=\vert \mathrm {u{\overline {d}}} \rangle \\\vert \pi ^{0}\rangle &={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left(\vert \mathrm {u{\overline {u}}} \rangle -\vert \mathrm {d{\overline {d}}} \rangle \right)\\\vert \pi ^{-}\rangle &=-\vert \mathrm {d{\overline {u}}} \rangle .\end{aligned}}$$

Хотя открытие кварков привело к новой интерпретации мезонов как векторно-связанного состояния кварка и антикварка, иногда все же полезно думать о них как о калибровочных бозонах скрытой локальной симметрии.

Слабый изоспин

Основная статья: слабый изоспин

В 1961 году Шелдон Глэшоу предположил, что соотношение заряда и изоспина, аналогичное формуле Гелл-Манна-Нисидзимы, применимо и к слабому взаимодействию : $$Q=T_{3}+{\frac {1}{2}}Y_{w}.$$Здесь заряд $Q$ связано с проекцией слабого изоспина $T_{3}$ и слабый гиперзаряд $Y_{w}$.Изоспин и слабый изоспин связаны с одной и той же симметрией, но с разными силами. Слабый изоспин — это калибровочная симметрия слабого взаимодействия , соединяющая кварковые и лептонные дублеты левых частиц во всех поколениях; например, верхние и нижние кварки, верхние и нижние кварки, электроны и электронные нейтрино. Напротив, (сильный) изоспин соединяет только верхние и нижние кварки, действует на обе киральности (левую и правую) и представляет собой глобальную (не калибровочную) симметрию.

Дальнейшее чтение

• Ицыксон, К.; Зубер, Ж.-Б. (1980). Квантовая теория поля . МакГроу-Хилл . ISBN  978-0-07-032071-0 .
• Гриффитс, Д. (1987). Введение в элементарные частицы . Джон Уайли и сыновья . ISBN  978-0-471-60386-3 .

См. также

• Фактор Чана – Патона

Внешние ссылки

• i8 i Данные о структуре ядра и распаде - Изоспин нуклидов МАГАТЭ