Специальная унитарная группа

«SU(5)» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о конкретной теории великого объединения, см. Модель Джорджи – Глэшоу .

В математике специальная унитарная группа степени n , обозначаемая SU( n ) , представляет собой группу Ли размера n × n унитарных матриц с определителем 1.

Матрицы определители с абсолютным значением более общей унитарной группы могут иметь комплексные 1, а не с действительным 1 в частном случае.

Групповая операция — умножение матриц . Специальная унитарная группа — это нормальная подгруппа унитарной группы U( n ) , состоящая из всех размера n × n унитарных матриц . Как компактная классическая группа , U( n ) — это группа, которая сохраняет стандартное скалярное произведение на $\mathbb {C} ^{n}$. Она сама является подгруппой общей линейной группы , $\operatorname {SU} (n)\subset \operatorname {U} (n)\subset \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} ).$

Группы SU( n ) находят широкое применение в Стандартной модели физики элементарных частиц , особенно SU(2) в электрослабом взаимодействии и SU(3) в квантовой хромодинамике .

Простейший случай SU(1) — это тривиальная группа , имеющая только один элемент. Группа SU(2) изоморфна диффеоморфна группе кватернионов нормы 1 и, таким образом, 3 сфере - . Поскольку единичные кватернионы могут использоваться для представления вращений в трехмерном пространстве (с точностью до знака), существует сюръективный гомоморфизм из SU(2) в группу вращений SO(3), которой ядром является {+ I , − I } . Поскольку кватернионы можно идентифицировать как четную подалгебру алгебры Клиффорда Cl(3) , SU(2) фактически идентична одной из групп симметрии Spin спиноров ( 3), которая позволяет спинорное представление вращений.

Свойства

Специальная унитарная группа SU( n ) является строго вещественной группой Ли (по сравнению с более общей комплексной группой Ли ). Его размерность как реального многообразия равна n. ² − 1 . Топологически он компактен и односвязен . Алгебраически это простая группа Ли (это означает, что ее алгебра Ли проста; см. Ниже).

Центр циклической SU ( n ) изоморфен группе $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$, и состоит из диагональных матриц ζ I для ζ - корня n -й степени из единицы и I - единичной матрицы размера n × n .

Его внешняя группа автоморфизмов при n ≥ 3 равна $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,$ тогда как внешняя группа автоморфизмов SU(2) является тривиальной группой .

Максимальный тор ранга - n 1 задается набором диагональных матриц с определителем 1 . Группа Вейля SU ( n ) — это симметричная группа Sn ₁ , которая представлена ​​матрицами перестановок со знаком (знаки необходимы, чтобы гарантировать, что определитель равен ) .

Алгебра Ли группы SU( n ) , обозначаемая ${\mathfrak {su}}(n)$, можно отождествить с набором бесследовых антиэрмитовых комплексных матриц размера n × n , с регулярным коммутатором в виде скобки Ли. Физики элементарных частиц часто используют другое, эквивалентное представление: набор бесследовых эрмитовых комплексных матриц размера n × n со скобкой Ли, заданной — i , умноженной на коммутатор.

Алгебра лжи

Основная статья: Классическая группа § U(p, q) и U(n) – унитарные группы

Алгебра Ли ${\mathfrak {su}}(n)$ из $\operatorname {SU} (n)$ состоит из n × n косоэрмитовых матриц размера с нулевым следом. Эта (реальная) алгебра Ли имеет размерность n ² − 1 . Более подробную информацию о структуре этой алгебры Ли можно найти ниже в § Структура алгебры Ли .

представление

В физической литературе алгебру Ли принято отождествлять с пространством эрмитовых (а не косоэрмитовых) матриц с нулевым следом. То есть алгебра Ли физиков отличается в раз. $i$ от математиков. Следуя этому соглашению, можно затем выбрать генераторы T _a , которые представляют собой бесследовые эрмитовы комплексные матрицы размера n × n , где:

$T_{a}\,T_{b}={\tfrac {1}{\,2n\,}}\,\delta _{ab}\,I_{n}+{\tfrac {1}{2}}\,\sum _{c=1}^{n^{2}-1}\left(if_{abc}+d_{abc}\right)\,T_{c}$

где f - структурные константы и антисимметричны по всем индексам, а d -коэффициенты симметричны по всем индексам.

В результате коммутатор:

$~\left[T_{a},\,T_{b}\right]~=~i\sum _{c=1}^{n^{2}-1}\,f_{abc}\,T_{c}\;,$

и соответствующий антикоммутатор:

$\left\{T_{a},\,T_{b}\right\}~=~{\tfrac {1}{n}}\,\delta _{ab}\,I_{n}+\sum _{c=1}^{n^{2}-1}{d_{abc}\,T_{c}}~.$

Коэффициент i в коммутационном соотношении возникает из физического соглашения и отсутствует при использовании математического соглашения.

Традиционное условие нормировки:

$\sum _{c,e=1}^{n^{2}-1}d_{ace}\,d_{bce}={\frac {\,n^{2}-4\,}{n}}\,\delta _{ab}~.$

Сопряженное представление

В ( н ² − 1) -мерное присоединенное представление , генераторы представляются ( n ² − 1) × ( n ² − 1) матрицы, элементы которых определяются самими структурными константами:

$\left(T_{a}\right)_{jk}=-if_{ajk}.$

Группа SU(2)

См. также: Версор , матрицы Паули , группа трехмерного вращения § Замечание об алгебрах Ли и теория представлений SU (2).

Используя умножение матриц для двоичной операции, SU(2) образует группу,

$\operatorname {SU} (2)=\left\{{\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}:\ \ \alpha ,\beta \in \mathbb {C} ,|\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1\right\}~,$

где черта означает комплексное сопряжение .

Диффеоморфизм с 3-сферой S ³

Если мы рассмотрим $\alpha ,\beta$ как пара в $\mathbb {C} ^{2}$ где $\alpha =a+bi$ и $\beta =c+di$, то уравнение $|\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1$ становится

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=1$

Это уравнение 3-сферы S ³ . Это также можно увидеть с помощью встраивания: карта

${\begin{aligned}\varphi \colon \mathbb {C} ^{2}\to {}&\operatorname {M} (2,\mathbb {C} )\\[5pt]\varphi (\alpha ,\beta )={}&{\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}},\end{aligned}}$

где $\operatorname {M} (2,\mathbb {C} )$ обозначает набор комплексных матриц 2 на 2, является инъективным вещественным линейным отображением (рассмотрев $\mathbb {C} ^{2}$ диффеоморфен ​ $\mathbb {R} ^{4}$ и $\operatorname {M} (2,\mathbb {C} )$ диффеоморфен $\mathbb {R} ^{8}$). , ограничение φ Следовательно на 3-сферу (поскольку модуль равен 1), обозначенное S ³ , является вложением 3-сферы в компактное подмногообразие $\operatorname {M} (2,\mathbb {C} )$, а именно φ ( S ³ ) = SU(2) .

Следовательно, как многообразие S ³ диффеоморфен SU(2) , что показывает, что SU(2) и односвязен что S ³ можно наделить структурой компактной связной группы Ли .

Изоморфизм с группой версоров

Кватернионы нормы 1 называются версорами , поскольку они порождают группу вращения SO(3) :Матрица SU(2) :

${\begin{pmatrix}a+bi&c+di\\-c+di&a-bi\end{pmatrix}}\quad (a,b,c,d\in \mathbb {R} )$

может быть отображен в кватернион

$a\,{\hat {1}}+b\,{\hat {i}}+c\,{\hat {j}}+d\,{\hat {k}}$

Это отображение на самом деле является групповым изоморфизмом . Кроме того, определителем матрицы является квадрат нормы соответствующего кватерниона. Очевидно, что любая матрица в SU(2) имеет этот вид, и, поскольку ее определитель равен 1 , соответствующий кватернион имеет норму 1 . Таким образом, SU(2) изоморфна группе версоров.

с

Основные статьи: группа трехмерного вращения § Связь между SO(3) и SU(2) и кватернионами и пространственным вращением

Каждый версор естественным образом связан с пространственным вращением в трех измерениях, а произведение версоров связано с композицией связанных вращений. Более того, каждое вращение таким образом возникает ровно из двух версоров. Короче говоря: существует сюръективный гомоморфизм 2:1 из SU(2) в SO(3) ; следовательно, SO(3) изоморфна факторгруппе SU (2)/{±I} , многообразие, лежащее в основе SO(3), получается путем отождествления антиподальных точек 3-сферы S ³ , а SU(2) — универсальное накрытие SO (3) .

Алгебра лжи

Алгебра Ли группы SU(2) состоит из 2 × 2 косоэрмитовых матриц размера с нулевым следом. Явно это означает

${\mathfrak {su}}(2)=\left\{{\begin{pmatrix}i\ a&-{\overline {z}}\\z&-i\ a\end{pmatrix}}:\ a\in \mathbb {R} ,z\in \mathbb {C} \right\}~.$

Алгебра Ли затем генерируется следующими матрицами:

$u_{1}={\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}},\quad u_{2}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}},\quad u_{3}={\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}}~,$

которые имеют вид общего элемента, указанного выше.

Это также можно записать как ${\mathfrak {su}}(2)=\operatorname {span} \left\{i\sigma _{1},i\sigma _{2},i\sigma _{3}\right\}$ с помощью матриц Паули .

Они удовлетворяют кватернионным отношениям $u_{2}\ u_{3}=-u_{3}\ u_{2}=u_{1}~,$ $u_{3}\ u_{1}=-u_{1}\ u_{3}=u_{2}~,$ и $u_{1}u_{2}=-u_{2}\ u_{1}=u_{3}~.$ Поэтому кронштейн коммутатора определяется формулой

$\left[u_{3},u_{1}\right]=2\ u_{2},\quad \left[u_{1},u_{2}\right]=2\ u_{3},\quad \left[u_{2},u_{3}\right]=2\ u_{1}~.$

Вышеупомянутые генераторы связаны с матрицами Паули соотношением $u_{1}=i\ \sigma _{1}~,\,u_{2}=-i\ \sigma _{2}$ и $u_{3}=+i\ \sigma _{3}~.$ Это представление обычно используется в квантовой механике для представления вращения фундаментальных частиц, таких как электроны . Они также служат единичными векторами для описания наших трех пространственных измерений в петлевой квантовой гравитации . Они также соответствуют вентилям Паули X, Y и Z , которые являются стандартными генераторами для однокубитных вентилей, соответствующих трехмерным вращениям вокруг осей сферы Блоха .

Алгебра Ли служит для разработки представлений SU(2) .

SU(3)

См. Также: коэффициенты Клебша – Гордана для SU (3).

Группа SU(3) — это 8-мерная простая группа Ли, состоящая из всех размера 3 × 3 унитарных матриц с определителем 1.

Топология

Группа SU(3) — односвязная компактная группа Ли. Его топологическую структуру можно понять, заметив, что SU(3) действует транзитивно на единичной сфере. $S^{5}$ в $\mathbb {C} ^{3}\cong \mathbb {R} ^{6}$. Стабилизатор SU ( произвольной точки сферы изоморфен 2) , который топологически является 3-сферой. Отсюда следует, что SU(3) — расслоение над базой S ⁵ с волокном S ³ . Поскольку слои и база односвязны, простая связность SU(3) вытекает с помощью стандартного топологического результата ( длинной точной последовательности гомотопических групп для расслоений).

SU (2) -расслоения над S ⁵ классифицируются по $\pi _{4}{\mathord {\left(S^{3}\right)}}=\mathbb {Z} _{2}$ поскольку любой такой расслоение можно построить, рассматривая тривиальные расслоения на двух полушариях. $S_{\text{N}}^{5},S_{\text{S}}^{5}$ и смотрим на функцию перехода на их пересечении, которая является копией S ⁴ , так

$S_{\text{N}}^{5}\cap S_{\text{S}}^{5}\simeq S^{4}$

Тогда все такие функции перехода классифицируются гомотопическими классами отображений

$\left[S^{4},\mathrm {SU} (2)\right]\cong \left[S^{4},S^{3}\right]=\pi _{4}{\mathord {\left(S^{3}\right)}}\cong \mathbb {Z} /2$

и как $\pi _{4}(\mathrm {SU} (3))=\{0\}$ скорее, чем $\mathbb {Z} /2$, SU(3) не может быть тривиальным расслоением SU(2) × S ⁵ ≅ С ³ × С ⁵ , и, следовательно, должно быть единственным нетривиальным (скрученным) расслоением. Это можно показать, рассмотрев индуцированную длинную точную последовательность на гомотопических группах.

Теория представлений

Теория представлений SU(3) хорошо понятна. Описания этих представлений с точки зрения их комплексифицированной алгебры Ли. ${\mathfrak {sl}}(3;\mathbb {C} )$, можно найти в статьях о представлениях алгебры Ли или коэффициентах Клебша–Гордана для SU(3) .

Алгебра лжи

Генераторы T алгебры Ли ${\mathfrak {su}}(3)$ SU (3) в определяющем (физике элементарных частиц, эрмитовом) представлении равны

$T_{a}={\frac {\lambda _{a}}{2}}~,$

где λ _a , матрицы Гелла-Манна , являются SU(3) аналогом матриц Паули для SU(2) :

${\begin{aligned}\lambda _{1}={}&{\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\lambda _{2}={}&{\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\lambda _{3}={}&{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}},\\[6pt]\lambda _{4}={}&{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}},&\lambda _{5}={}&{\begin{pmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\end{pmatrix}},\\[6pt]\lambda _{6}={}&{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}},&\lambda _{7}={}&{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}},&\lambda _{8}={\frac {1}{\sqrt {3}}}&{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

Эти λ _a охватывают все бесследовые эрмитовы матрицы H алгебры Ли , что и требовалось. Заметим, что λ ₂ , λ ₅ , λ ₇ антисимметричны.

Они подчиняются отношениям

${\begin{aligned}\left[T_{a},T_{b}\right]&=i\sum _{c=1}^{8}f_{abc}T_{c},\\\left\{T_{a},T_{b}\right\}&={\frac {1}{3}}\delta _{ab}I_{3}+\sum _{c=1}^{8}d_{abc}T_{c},\end{aligned}}$

или, что то же самое,

${\begin{aligned}\left[\lambda _{a},\lambda _{b}\right]&=2i\sum _{c=1}^{8}f_{abc}\lambda _{c},\\\{\lambda _{a},\lambda _{b}\}&={\frac {4}{3}}\delta _{ab}I_{3}+2\sum _{c=1}^{8}{d_{abc}\lambda _{c}}.\end{aligned}}$

f — структурные константы алгебры Ли, определяемые формулой

${\begin{aligned}f_{123}&=1,\\f_{147}=-f_{156}=f_{246}=f_{257}=f_{345}=-f_{367}&={\frac {1}{2}},\\f_{458}=f_{678}&={\frac {\sqrt {3}}{2}},\end{aligned}}$

тогда как все остальные f _abc, не связанные с ними перестановкой, равны нулю. В общем, они исчезают, если не содержат нечетное количество индексов из набора {2, 5, 7} .

Симметричные коэффициенты d принимают значения

${\begin{aligned}d_{118}=d_{228}=d_{338}=-d_{888}&={\frac {1}{\sqrt {3}}}\\d_{448}=d_{558}=d_{668}=d_{778}&=-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}\\d_{344}=d_{355}=-d_{366}=-d_{377}=-d_{247}=d_{146}=d_{157}=d_{256}&={\frac {1}{2}}~.\end{aligned}}$

Они исчезают, если число индексов из набора {2, 5, 7} нечетно.

Общий элемент группы SU(3), порожденный бесследовой эрмитовой матрицей 3×3 H , нормализованной как tr( H ² ) = 2 , может быть выражено как второго порядка матричный полином от H :

${\begin{aligned}\exp(i\theta H)={}&\left[-{\frac {1}{3}}I\sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)\sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}~H\sin(\varphi )-{\frac {1}{4}}~H^{2}\right]{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt {3}}}~i\theta \sin(\varphi )\right)}{\cos \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)\cos \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)}}\\[6pt]&{}+\left[-{\frac {1}{3}}~I\sin(\varphi )\sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}~H\sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{4}}~H^{2}\right]{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt {3}}}~i\theta \sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)\right)}{\cos(\varphi )\cos \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)}}\\[6pt]&{}+\left[-{\frac {1}{3}}~I\sin(\varphi )\sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}~H\sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{4}}~H^{2}\right]{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt {3}}}~i\theta \sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)\right)}{\cos(\varphi )\cos \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)}}\end{aligned}}$

где

$\varphi \equiv {\frac {1}{3}}\left[\arccos \left({\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\det H\right)-{\frac {\pi }{2}}\right].$

Структура алгебры Ли

Как отмечалось выше, алгебра Ли ${\mathfrak {su}}(n)$ SU ( n ) состоит из n × n косоэрмитовых матриц размера с нулевым следом.

Комплексификация Ли алгебры ${\mathfrak {su}}(n)$ является ${\mathfrak {sl}}(n;\mathbb {C} )$, пространство всех комплексных матриц размера n × n с нулевым следом. Тогда подалгебра Картана состоит из диагональных матриц с нулевым следом: которые мы отождествляем с векторами в $\mathbb {C} ^{n}$ сумма записей которых равна нулю. Тогда корни − состоят из всех n ( n 1) перестановок (1, −1, 0, ..., 0) .

Выбор простых корней

${\begin{aligned}(&1,-1,0,\dots ,0,0),\\(&0,1,-1,\dots ,0,0),\\&\vdots \\(&0,0,0,\dots ,1,-1).\end{aligned}}$

Итак, SU( n ) имеет ранг n − 1 , а его диаграмма Дынкина задается A _{n −1} , цепочкой из n − 1 узлов: ... . Его Картана матрица

${\begin{pmatrix}2&-1&0&\dots &0\\-1&2&-1&\dots &0\\0&-1&2&\dots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\dots &2\end{pmatrix}}.$

Его Вейля или группа Кокстера — это симметрическая группа Sn _, группа симметрии -симплекса ( n − 1 ) . группа

Обобщенная специальная унитарная группа

Для поля F обобщенная специальная унитарная группа над F , SU( p , q ; F ) — это группа всех линейных преобразований определителя 1 векторного пространства ранга n = p + q над F, которые оставляют инвариантным невырожденный , Эрмитова подписи форма ( p , q ) . Эту группу часто называют специальной унитарной группой сигнатуры p q над F . Поле F можно заменить коммутативным кольцом , и в этом случае векторное пространство заменяется свободным модулем .

В частности, зафиксируйте эрмитову матрицу A сигнатуры p q в $\operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )$, тогда все

$M\in \operatorname {SU} (p,q,\mathbb {R} )$

удовлетворить

${\begin{aligned}M^{*}AM&=A\\\det M&=1.\end{aligned}}$

Часто можно увидеть обозначение SU( p , q ) без ссылки на кольцо или поле; в этом случае речь идет о кольце или поле $\mathbb {C}$ и это дает одну из классических групп Ли . Стандартный выбор для А, когда $\operatorname {F} =\mathbb {C}$ является

$A={\begin{bmatrix}0&0&i\\0&I_{n-2}&0\\-i&0&0\end{bmatrix}}.$

Однако для определенных измерений может быть лучший выбор для A , который демонстрирует большее поведение при ограничении подколец кольца. $\mathbb {C}$.

Пример

Важным примером группы этого типа является модульная группа Пикара. $\operatorname {SU} (2,1;\mathbb {Z} [i])$ которое действует (проективно) на комплексное гиперболическое пространство степени два так же, как $\operatorname {SL} (2,9;\mathbb {Z} )$ действует (проективно) на вещественном гиперболическом пространстве размерности два. В 2005 году Габор Франшич и Питер Лакс вычислили явную фундаментальную область действия этой группы на HC. ² .

Еще один пример: $\operatorname {SU} (1,1;\mathbb {C} )$, который изоморфен $\operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )$.

Важные подгруппы

симметрий используется специальная унитарная группа В физике для обозначения фермионных . В теориях нарушения симметрии важно уметь находить подгруппы специальной унитарной группы. Подгруппы SU( n ), которые важны в физике Великого Объединения , для p > 1, n − p > 1 ,

$\operatorname {SU} (n)\supset \operatorname {SU} (p)\times \operatorname {SU} (n-p)\times \operatorname {U} (1),$

где × обозначает прямое произведение , а U(1) , известная как группа кругов , представляет собой мультипликативную группу всех комплексных чисел с абсолютным значением 1.

Для полноты еще существуют ортогональные и симплектические подгруппы,

${\begin{aligned}\operatorname {SU} (n)&\supset \operatorname {SO} (n),\\\operatorname {SU} (2n)&\supset \operatorname {Sp} (n).\end{aligned}}$

Поскольку ранг SU ( n ) равен n − 1 , а U(1) равен 1, полезная проверка состоит в том, что сумма рангов подгрупп меньше или равна рангу исходной группы. SU( n ) — подгруппа различных других групп Ли,

${\begin{aligned}\operatorname {SO} (2n)&\supset \operatorname {SU} (n)\\\operatorname {Sp} (n)&\supset \operatorname {SU} (n)\\\operatorname {Spin} (4)&=\operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2)\\\operatorname {E} _{6}&\supset \operatorname {SU} (6)\\\operatorname {E} _{7}&\supset \operatorname {SU} (8)\\\operatorname {G} _{2}&\supset \operatorname {SU} (3)\end{aligned}}$

См. группу спина и группу простого Ли для E ₆ , E ₇ и G ₂ .

Существуют также случайные изоморфизмы : SU(4) = Spin(6) , SU(2) = Spin(3) = Sp(1) , и U(1) = Spin(2) = SO(2) .

Наконец, можно упомянуть, что SU(2) — это двойная накрывающая группа SO (3) , соотношение, которое играет важную роль в теории вращений 2- спиноров в нерелятивистской квантовой механике .

SU(1, 1)

$\mathrm {SU} (1,1)=\left\{{\begin{pmatrix}u&v\\v^{*}&u^{*}\end{pmatrix}}\in M(2,\mathbb {C} ):uu^{*}-vv^{*}=1\right\},$ где $~u^{*}~$ обозначает комплексно-сопряженное комплексное число u .

Эта группа изоморфна SL(2,ℝ) и Spin(2,1) где числа, разделенные запятой, относятся к сигнатуре квадратичной формы, сохраняемой группой. Выражение $~uu^{*}-vv^{*}~$ в определении SU(1,1) является эрмитовой формой , которая становится изотропной квадратичной формой, когда u и v разлагаются на их действительные компоненты.

Первым появлением этой группы была «единичная сфера» кокватернионов , введенная Джеймсом Коклом в 1852 году. Пусть

$j={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}\,,\quad k={\begin{bmatrix}1&\;~0\\0&-1\end{bmatrix}}\,,\quad i={\begin{bmatrix}\;~0&1\\-1&0\end{bmatrix}}~.$

Затем $~j\,k={\begin{bmatrix}0&-1\\1&\;~0\end{bmatrix}}=-i~,~$ $~i\,j\,k=I_{2}\equiv {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}~,~$ единичная матрица 2×2, $~k\,i=j~,$ и $\;i\,j=k\;,$ элементы i, j и k и все антикоммутируют , как в кватернионах . Также $i$ по-прежнему является квадратным корнем из − I ₂ (отрицательное значение единичной матрицы), тогда как $~j^{2}=k^{2}=+I_{2}~$ нет, в отличие от кватернионов. И для кватернионов, и для кокватернионов все скалярные величины рассматриваются как неявные кратные I ₂ и обозначаются как 1 .

Кокватернион $~q=w+x\,i+y\,j+z\,k~$ со скаляром w имеет сопряжение $~q=w-x\,i-y\,j-z\,k~$ аналогично кватернионам Гамильтона. Квадратичная форма $~q\,q^{*}=w^{2}+x^{2}-y^{2}-z^{2}.$

Заметим, что двухполостный гиперболоид $\left\{xi+yj+zk:x^{2}-y^{2}-z^{2}=1\right\}$ соответствует мнимым единицам в алгебре, так что любую точку p на этом гиперболоиде можно использовать как полюс синусоидальной волны согласно формуле Эйлера .

Гиперболоид стабилен относительно SU(1, 1) , иллюстрируя изоморфизм со Spin(2, 1) . Изменчивость полюса волны, как отмечалось в исследованиях поляризации , может рассматривать эллиптическую поляризацию как проявление эллиптической формы волны с полюсом. $~p\neq \pm i~$. Модель сферы Пуанкаре , используемая с 1892 года, сравнивается с моделью двухполостного гиперболоида. практика SU(1,1) -интерферометрии и внедрена .

Когда элемент SU(1, 1) интерпретируется как преобразование Мёбиуса , он оставляет единичный диск стабильным, поэтому эта группа представляет движения модели диска Пуанкаре в геометрии гиперболической плоскости. Действительно, для точки [ z, 1 ] на комплексной проективной прямой действие SU(1,1) определяется выражением

${\bigl [}\;z,\;1\;{\bigr ]}\,{\begin{pmatrix}u&v\\v^{*}&u^{*}\end{pmatrix}}=[\;u\,z+v^{*},\,v\,z+u^{*}\;]\,=\,\left[\;{\frac {uz+v^{*}}{vz+u^{*}}},\,1\;\right]$

поскольку в проективных координатах $(\;u\,z+v^{*},\;v\,z+u^{*}\;)\thicksim \left(\;{\frac {\,u\,z+v^{*}\,}{v\,z+u^{*}}},\;1\;\right)~.$

Письмо $\;suv+{\overline {suv}}=2\,\Re {\mathord {\bigl (}}\,suv\,{\bigr )}\;,$ арифметика комплексных чисел показывает

${\bigl |}u\,z+v^{*}{\bigr |}^{2}=S+z\,z^{*}\quad {\text{ and }}\quad {\bigl |}v\,z+u^{*}{\bigr |}^{2}=S+1~,$

где $S=v\,v^{*}\left(z\,z^{*}+1\right)+2\,\Re {\mathord {\bigl (}}\,uvz\,{\bigr )}.$Поэтому, $z\,z^{*}<1\implies {\bigl |}uz+v^{*}{\bigr |}<{\bigl |}\,v\,z+u^{*}\,{\bigr |}$ так что их соотношение лежит в открытом диске.

См. также

• Унитарная группа
• Проективная специальная унитарная группа , ПГУ( н )
• Ортогональная группа
• Обобщения матриц Паули
• Теория представлений SU(2)

Ссылки

• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для аспирантов по математике, том. 222 (2-е изд.), Спрингер, ISBN  978-3319134666
• Ячелло, Франческо (2006), Алгебры Ли и их приложения , Конспекты лекций по физике, том. 708, Спрингер, ISBN  3540362363