Пучок волокон
В математике , и особенно в топологии , расслоение ( на английском языке : расслоение волокон ) — это пространство является , которое локально , пространством продукта но в глобальном масштабе может иметь различную топологическую структуру . В частности, сходство между пространством и пространство для продукта определяется с помощью непрерывного сюръективного отображения , что в небольших регионах ведет себя точно так же, как проекция соответствующих областей к Карта называемая проекцией или погружением расслоения, рассматривается как часть структуры расслоения. Космос известен как общее пространство расслоения, в качестве базового пространства и волокно .
В тривиальном случае просто и карта — это всего лишь проекция пространства продукта на первый фактор. Это называется тривиальным расслоением . Примеры нетривиальных расслоений включают полосу Мёбиуса и бутылку Клейна , а также нетривиальные накрывающие пространства . Расслоения, такие как касательное расслоение многообразия , и другие более общие векторные расслоения играют важную роль в дифференциальной геометрии и дифференциальной топологии , как и основные расслоения .
Отображения между тотальными пространствами расслоений, которые «коммутируют» с картами проекций, известны как карты расслоений , и класс расслоений образует категорию относительно таких отображений. Карта расслоения из самого базового пространства (с тождественным отображением в качестве проекции) в называется частью Пучки волокон могут быть специализированы несколькими способами, наиболее распространенным из которых является требование, чтобы карты перехода между локальными тривиальными участками лежали в определенной топологической группе , известной как структурная группа , действующей на волокно. .
История [ править ]
В топологии термины «волокно» (нем. Faser ) и «расслоенное пространство» ( gefaserter Raum ) впервые появились в статье Герберта Зейферта в 1933 году. [1] [2] [3] но его определения ограничены совершенно особым случаем. Однако главное отличие от современной концепции расслоенного пространства заключалось в том, что для Зейферта то, что сейчас называется базовым пространством (топологическим пространством) расслоенного (топологического) пространства E , не было частью структуры, а производилось от нее как факторпространство E . Первое определение волоконного пространства было дано Хасслером Уитни в 1935 году. [4] под названием « сфера-пространство» , но в 1940 году Уитни изменила название на «сферический пучок» . [5]
Теория расслоенных пространств, частным случаем которой являются векторные расслоения , главные расслоения , топологические расслоения и расслоенные многообразия , приписывают Зейферту, Хайнцу Хопфу , Жаку Фельдбау , [6] Уитни, Норман Стинрод , Чарльз Эресманн , [7] [8] [9] Жан-Пьер Серр , [10] и другие.
Пучки волокон стали самостоятельным объектом изучения в период 1935–1940 гг. Первое общее определение появилось в работах Уитни. [11]
Уитни пришел к общему определению расслоения из своего исследования более частного понятия расслоения сфер . [12] это расслоение, слоем которого является сфера произвольной размерности . [13]
Формальное определение [ править ]
Пучок волокон представляет собой структуру где и являются топологическими пространствами и является непрерывной сюръекцией, удовлетворяющей локальному условию тривиальности , изложенному ниже. Космос называется базовое пространство пакета, тот общая площадь и тот волокно . Карта называется карта проекции (или проекция пучка ). В дальнейшем будем считать, что базовое пространство подключен .
Мы требуем, чтобы для каждого , есть открытое окружение из (которую будем называть тривиализирующей окрестностью) такую, что существует гомеоморфизм (где задана топология подпространства и — пространство продукта) таким образом, что согласуется с проекцией на первый фактор. То есть следующая диаграмма должна коммутировать :
где является естественной проекцией и является гомеоморфизмом. Набор всего называется локальная тривиализация расслоения.
Таким образом, для любого , прообраз гомеоморфен (поскольку это справедливо для ) и называется слоем над Каждый пучок волокон является открытой картой , поскольку проекции продуктов являются открытыми картами. Поэтому несет фактортопологию, определенную отображением
Пучок волокон часто обозначается
( 1 ) |
это, по аналогии с короткой точной последовательностью , указывает, какое пространство является слоем, общим пространством и базовым пространством, а также отображением общего пространства в базовое.
А Гладкое расслоение — расслоение из категории гладких многообразий . То есть, и должны быть гладкими многообразиями, а все вышеперечисленные функции должны быть гладкими отображениями .
Примеры [ править ]
Тривиальный комплект [ править ]
Позволять и разреши быть проекцией на первый фактор. Затем представляет собой пучок волокон (из ) над Здесь это не только локальный продукт, но и глобальный . Любой такой пучок волокон называется банальный комплект . Любое расслоение над сжимаемым CW-комплексом тривиально.
Нетривиальные пакеты [ править ]
Лента Мёбиуса [ править ]
Возможно, самый простой пример нетривиального расслоения это лента Мёбиуса . В качестве основания у него есть круг , проходящий вдоль центра полосы. и отрезок линии для волокна , поэтому лента Мёбиуса представляет собой пучок отрезков над окружностью. Район из (где ) — дуга ; на картинке это длина одного из квадратов. Прообраз на картинке изображен (несколько скрученный) кусок полосы шириной в четыре квадрата и один в длину (т.е. все точки, которые выступают на ).
Гомеоморфизм ( в § Формальное определение ) существует, отображающее прообраз (тривиализирующая окрестность) к срезу цилиндра: изогнутому, но не скрученному. Эта пара локально тривиализует полосу. Соответствующее тривиальное расслоение был бы цилиндр , но лента Мёбиуса имеет общий «изгиб». Этот поворот виден только глобально; локально лента Мёбиуса и цилиндр идентичны (единственный вертикальный разрез в любом из них дает одинаковое пространство).
Бутылка Клейна [ править ]
Аналогичным нетривиальным расслоением является бутылка Клейна , которую можно рассматривать как «скрученное» расслоение кругов над другим кругом. Соответствующее нескрученное (тривиальное) расслоение представляет собой 2- тор , .
Карта покрытия [ править ]
Накрывающее пространство — это расслоение такое, что проекция расслоения является локальным гомеоморфизмом . Отсюда следует, что слой представляет собой дискретное пространство .
Векторные и главные расслоения [ править ]
Специальный класс расслоений, называемый векторными расслоениями , — это те, чьи слои представляют собой векторные пространства (чтобы квалифицироваться как векторное расслоение, структурная группа расслоения — см. ниже — должна быть линейной группой ). Важные примеры векторных расслоений включают касательное расслоение и кокасательное расслоение гладкого многообразия. Из любого векторного расслоения можно построить фреймовое расслоение баз . , которое является главным расслоением (см. ниже)
Другой специальный класс расслоений, называемый главными расслоениями , — это расслоения, на слоях которых свободно и транзитивно действует группа задано так, что каждый слой является главным однородным пространством . Пакет часто указывается вместе с группой, называя его основным. -пучок. Группа также является структурной группой расслоения. Учитывая представление из в векторном пространстве , векторное расслоение с в качестве структурной группы может быть построена так называемая связанная связка .
Связки сфер [ править ]
Расслоение сфер — это расслоение, слоем которого является n -сфера . Учитывая векторное расслоение с метрикой (такой как касательное расслоение к риманову многообразию ) можно построить связанное расслоение единичных сфер , для которого слой над точкой - это набор всех единичных векторов в . Когда рассматриваемое векторное расслоение является касательным расслоением расслоение единичной сферы известно как единичное касательное расслоение .
Расслоение сфер частично характеризуется своим классом Эйлера , который является степенью класс когомологий в тотальном пространстве расслоения. В случае расслоение сфер называется расслоением окружностей , а класс Эйлера равен первому классу Чженя , который полностью характеризует топологию расслоения. Для любого , учитывая класс Эйлера расслоения, можно вычислить его когомологии, используя длинную точную последовательность , называемую последовательностью Гайзина .
Отображение торов [ править ]
Если является топологическим пространством и является гомеоморфизмом , то тор отображения имеет естественную структуру расслоения над кругом со слоем Отображения торов гомеоморфизмов поверхностей имеют особое значение в топологии 3-многообразий .
Частные пробелы [ править ]
Если является топологической группой и является замкнутой подгруппой , то при некоторых обстоятельствах факторпространство вместе с факторкартой — расслоение, слоем которого является топологическое пространство . Необходимое и достаточное условие для ( ) для формирования расслоения заключается в том, что отображение допускает локальные сечения ( Стинрод 1951 , §7).
Наиболее общие условия, при которых фактор-отображение допускает локальные сечения, неизвестны, хотя если является группой Ли и замкнутая подгруппа (и, следовательно, подгруппа Ли по теореме Картана ), то фактор-отображение является расслоением. Одним из примеров этого является расслоение Хопфа . , представляющий собой расслоение над сферой общая площадь которого . С точки зрения групп Ли, можно отнести к особой унитарной группе . Абелева подгруппа матриц изоморфна группе окружностей диагональных , и частное диффеоморфна . сфере
В более общем смысле, если любая топологическая группа и замкнутая подгруппа, которая также является группой Ли, то представляет собой пучок волокон.
Разделы [ править ]
А сечение (или поперечное сечение ) пучка волокон представляет собой непрерывную карту такой, что всех x в B. для Поскольку пучки, как правило, не имеют глобально определенных секций, одна из целей теории — объяснить их существование. Препятствие характеристических существованию сечения часто можно измерить с помощью класса когомологий, что приводит к теории классов в алгебраической топологии .
Самый известный пример — теорема о волосатом шаре , где класс Эйлера является препятствием для касательного расслоения , 2-сферы имеющего никуда не исчезающее сечение.
Часто хочется определять разделы только локально (особенно, когда глобальные разделы не существуют). Локальное сечение расслоения — это непрерывное отображение где U — открытое множество в B и для x в U. всех Если является локальной диаграммой всегда существуют локальные сечения тривиализации, то над U . Такие сечения находятся в 1-1 соответствии с непрерывными отображениями. . Секции образуют связку .
Структурные группы перехода функции и
Пучки волокон часто содержат группу симметрий, которые описывают условия совпадения между перекрывающимися локальными диаграммами тривиализации. В частности, пусть G — топологическая группа , которая непрерывно действует на расслоении F слева. если потребуем, чтобы G действовала точно на F , чтобы ее можно было рассматривать как группу гомеоморфизмов F Мы ничего не потеряем , . А Г – атлас для связки представляет собой набор локальных диаграмм тривиализации такой, что для любого для перекрывающихся диаграмм и функция
В гладкой категории G -расслоение — это гладкое расслоение, где G — группа Ли , соответствующее действие на F гладкое, а все функции перехода — гладкие отображения.
Функции перехода удовлетворять следующим условиям
Третье условие применяется к тройным перекрытиям U i ∩ U j ∩ U k и называется коцикла условием (см. когомологии Чеха ). Важность этого состоит в том, что функции перехода определяют расслоение (если принять условие коцикла Чеха).
Главное (эквивалентно можно указать , G- расслоение — это G -расслоение, в котором слой F является главным однородным пространством для левого действия самого G что действие G на слое F является свободным и транзитивным, т. е. регулярным ). В этом случае часто бывает удобно отождествить F с G и таким образом получить (правое) действие G на главном расслоении.
Пакетные карты [ править ]
Полезно иметь представление об отображении между двумя расслоениями. Предположим, что M и N — базовые пространства и и являются расслоениями над M и N соответственно. А карта пакета или Морфизм расслоения состоит из пары непрерывных [14] функции
Для расслоений со структурной группой G , тотальные пространства которых являются (правыми) G -пространствами (такими как главное расслоение), морфизмы расслоений также должны быть G - эквивариантными на слоях. Это значит, что также является G -морфизмом одного G -пространства в другое, т. е. для всех и
Если базисные пространства M и N совпадают, то морфизм расслоения над M из расслоения к это карта такой, что Это означает, что карта пакета раскрывает личность М. То есть, и следующая диаграмма коммутирует:
Предположим, что оба и определены в одном и том же базовом пространстве M . расслоения Изоморфизм — это отображение расслоения. между и такой, что и такое, что также является гомеоморфизмом. [15]
Дифференцируемые пучки волокон [ править ]
В категории дифференцируемых многообразий расслоения естественным образом возникают как погружения одного многообразия в другое. Не всякое (дифференцируемое) погружение из дифференцируемого многообразия M в другое дифференцируемое многообразие N порождает дифференцируемое расслоение. Во-первых, карта должна быть сюръективной, и называется расслоенным многообразием . Однако это необходимое условие не совсем достаточно, и в обычном использовании существует множество достаточных условий.
Если M и N компактны и , связны то любая субмерсия порождает расслоение в том смысле, что существует расслоение F, диффеоморфное каждому из слоев, такое, что представляет собой пучок волокон. (Сюръективность следует из уже сделанных в этом случае предположений.) В более общем плане предположение о компактности можно ослабить, если погружение предполагается, что это сюръективное собственное отображение , а это означает, что компактно для любого компактного подмножества K из N . Другое достаточное условие, предложенное Эресманном (1951) , состоит в том, что если является сюръективной субмерсией с M и N дифференцируемыми многообразиями, такими что прообраз компактен и подключен для всех затем допускает совместимую структуру расслоения ( Michor 2008 , §17).
Обобщения [ править ]
- Понятие пучка применимо ко многим другим категориям в математике за счет соответствующего изменения условия локальной тривиальности; ср. главное однородное пространство и торсор (алгебраическая геометрия) .
- В топологии расслоение — это отображение который имеет определенные гомотопические свойства, общие с расслоениями. В частности, при мягких технических предположениях расслоение всегда обладает свойством гомотопического поднятия или свойством гомотопического накрытия ( см. Стинрод (1951 подробнее , 11.7)). Это определяющее свойство расслоения.
- Секция пучка волокон — это «функция, выходной диапазон которой постоянно зависит от входных данных». Это свойство формально фиксируется в понятии зависимого типа .
См. также [ править ]
- Аффинный пакет
- Пакет алгебры
- Класс характеристики
- Карта покрытия
- Эквивариантный расслоение
- Волокнистый коллектор
- Расслоение
- Калибровочная теория
- пучок Хопфа
- Я-пучок
- Натуральный пучок
- Основной пакет
- Проективный расслоение
- Пакет откатов
- Квазифибрация
- Универсальный комплект
- Векторный пакет
- Словарь У-Ян
Примечания [ править ]
- ^ Зайферт, Герберт (1933). «Топология трехмерных расслоенных пространств» . Акта Математика . 60 : 147–238. дои : 10.1007/bf02398271 .
- ^ «Топология трехмерных волокнистых пространств» в проекте «Евклид» .
- ^ Зайферт, Х. (1980). Зейферт и Трелфолл, Учебник топологии . В. Трелфолл, Джоан С. Бирман, Джулиан Эйснер. Нью-Йорк: Академическая пресса. ISBN 0-12-634850-2 . OCLC 5831391 .
- ^ Уитни, Хасслер (1935). «Сферические пространства» . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 21 (7): 464–468. Бибкод : 1935PNAS...21..464W . дои : 10.1073/pnas.21.7.464 . ПМЦ 1076627 . ПМИД 16588001 .
- ^ Уитни, Хасслер (1940). «К теории расслоений сфер» . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 26 (2): 148–153. Бибкод : 1940PNAS...26..148W . дои : 10.1073/pnas.26.2.148 . ПМК 1078023 . ПМИД 16588328 .
- ^ Фельдбау, Жак (1939). «О классификации расслоенных пространств». Известия Академии наук . 208 : 1621–1623.
- ^ Эресманн, Чарльз (1947). «К теории расслоенных пространств». Колл. Вершина. Алг. Париж . ННРС: 3–15.
- ^ Эресманн, Чарльз (1947). «О дифференцируемых расслоенных пространствах». Известия Академии наук . 224 : 1611–1612.
- ^ Эресманн, Чарльз (1955). «Расширения дифференцируемого расслоенного пространства». Известия Академии наук . 240 : 1755–1757.
- ^ Серр, Жан-Пьер (1951). «Сингулярные гомологии расслоенных пространств. Приложения». Анналы математики . 54 (3): 425–505. дои : 10.2307/1969485 . JSTOR 1969485 .
- ^ См. Стинрод (1951 , предисловие).
- ↑ В своих ранних работах Уитни называл пучки сфер «сферическими пространствами». См., например:
- Уитни, Хасслер (1935). «Сферические пространства» . Учеб. Натл. акад. Наука . 21 (7): 462–468. Бибкод : 1935PNAS...21..464W . дои : 10.1073/pnas.21.7.464 . ПМЦ 1076627 . ПМИД 16588001 .
- Уитни, Хасслер (1937). «Топологические свойства дифференцируемых многообразий» (PDF) . Бык. амер. Математика. Соц . 43 (12): 785–805. дои : 10.1090/s0002-9904-1937-06642-0 .
- ^ Уитни, Хасслер (1940). «К теории расслоений сфер» (PDF) . Учеб. Натл. акад. Наука . 26 (2): 148–153. Бибкод : 1940PNAS...26..148W . дои : 10.1073/pnas.26.2.148 . ПМЦ 1078023 . ПМИД 16588328 .
- ^ В зависимости от категории рассматриваемых пространств можно предположить, что функции обладают свойствами, отличными от непрерывности. Например, в категории дифференцируемых многообразий функции предполагаются гладкими. В категории алгебраических многообразий они являются регулярными морфизмами.
- ^ Или, по крайней мере, обратима в соответствующей категории; например, диффеоморфизм.
Ссылки [ править ]
- Стинрод, Норман (1951), Топология пучков волокон , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08055-0
- Стинрод, Норман (5 апреля 1999 г.). Топология пучков волокон . Принстонская математическая серия. Том. 14. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-00548-5 . OCLC 40734875 .
- Бликер, Дэвид (1981), Калибровочная теория и вариационные принципы , Ридинг, Массачусетс: издательство Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-10096-9
- Эресманн, Чарльз (1951). «Бесконечно малые связности в дифференцируемом расслоенном пространстве». Конференция по топологии (расслоенные пространства), Брюссель, 1950 г. Париж: Жорж Тон, Льеж; Массон и Ко. стр. 29–55.
- Хуземоллер, Дейл (1994), Пучки волокон , Springer Verlag, ISBN 978-0-387-94087-8
- Михор, Питер В. (2008), Темы дифференциальной геометрии , Аспирантура по математике , том. 93, Провиденс: Американское математическое общество, ISBN. 978-0-8218-2003-2
- Войцеховский, М.И. (2001) [1994], «Расслоенное пространство» , Энциклопедия Математики , EMS Press
Внешние ссылки [ править ]
- Пакет волокон , PlanetMath
- Роуленд, Тодд. «Пучок волокон» . Математический мир .
- Создание символической скульптуры Джона Робинсона «Вечность»
- Сарданашвили, Геннадий , Расслоения, струйные многообразия и теория Лагранжа. Лекции для теоретиков, arXiv : 0908.1886