~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Arc.Ask3.Ru ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
Номер скриншота №:
✰ EE90F53384F692AB4ECB256054C6E18A__1712038920 ✰
Заголовок документа оригинал.:
✰ Fiber bundle - Wikipedia ✰
Заголовок документа перевод.:
✰ Пучок волокон — Википедия ✰
Снимок документа находящегося по адресу (URL):
✰ https://en.wikipedia.org/wiki/Fiber_bundle ✰
Адрес хранения снимка оригинал (URL):
✰ https://arc.ask3.ru/arc/aa/ee/8a/ee90f53384f692ab4ecb256054c6e18a.html ✰
Адрес хранения снимка перевод (URL):
✰ https://arc.ask3.ru/arc/aa/ee/8a/ee90f53384f692ab4ecb256054c6e18a__translat.html ✰
Дата и время сохранения документа:
✰ 07.06.2024 21:16:45 (GMT+3, MSK) ✰
Дата и время изменения документа (по данным источника):
✰ 2 April 2024, at 09:22 (UTC). ✰ 

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Ask3.Ru ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
Сервисы Ask3.ru: 
 Архив документов (Снимки документов, в формате HTML, PDF, PNG - подписанные ЭЦП, доказывающие существование документа в момент подписи. Перевод сохраненных документов на русский язык.)https://arc.ask3.ruОтветы на вопросы (Сервис ответов на вопросы, в основном, научной направленности)https://ask3.ru/answer2questionТоварный сопоставитель (Сервис сравнения и выбора товаров) ✰✰
✰ https://ask3.ru/product2collationПартнерыhttps://comrades.ask3.ru


Совет. Чтобы искать на странице, нажмите Ctrl+F или ⌘-F (для MacOS) и введите запрос в поле поиска.
Пучок волокон Jump to content

Пучок волокон

Из Википедии, бесплатной энциклопедии

Цилиндрическая расческа, демонстрирующая интуитивное понимание термина « пучок волокон» . Эта расческа похожа на пучок волокон, в котором базовое пространство представляет собой цилиндр, а волокна ( щетинки ) — отрезки линий. Отображение возьмет точку на любой щетине и сопоставит ее с ее корнем на цилиндре.

В математике , и особенно в топологии , расслоение ( на английском языке : расслоение волокон ) — это пространство является , которое локально , пространством продукта но в глобальном масштабе может иметь различную топологическую структуру . В частности, сходство между пространством и пространство для продукта определяется с помощью непрерывного сюръективного отображения , что в небольших регионах ведет себя точно так же, как проекция соответствующих областей к Карта называемая проекцией или погружением расслоения, рассматривается как часть структуры расслоения. Космос известен как общее пространство расслоения, в качестве базового пространства и волокно .

В тривиальном случае просто и карта — это всего лишь проекция пространства продукта на первый фактор. Это называется тривиальным расслоением . Примеры нетривиальных расслоений включают полосу Мёбиуса и бутылку Клейна , а также нетривиальные накрывающие пространства . Расслоения, такие как касательное расслоение многообразия , и другие более общие векторные расслоения играют важную роль в дифференциальной геометрии и дифференциальной топологии , как и основные расслоения .

Отображения между тотальными пространствами расслоений, которые «коммутируют» с картами проекций, известны как карты расслоений , и класс расслоений образует категорию относительно таких отображений. Карта расслоения из самого базового пространства (с тождественным отображением в качестве проекции) в называется частью Пучки волокон могут быть специализированы несколькими способами, наиболее распространенным из которых является требование, чтобы карты перехода между локальными тривиальными участками лежали в определенной топологической группе , известной как структурная группа , действующей на волокно. .

История [ править ]

В топологии термины «волокно» (нем. Faser ) и «расслоенное пространство» ( gefaserter Raum ) впервые появились в статье Герберта Зейферта в 1933 году. [1] [2] [3] но его определения ограничены совершенно особым случаем. Однако главное отличие от современной концепции расслоенного пространства заключалось в том, что для Зейферта то, что сейчас называется базовым пространством (топологическим пространством) расслоенного (топологического) пространства E , не было частью структуры, а производилось от нее как факторпространство E . Первое определение волоконного пространства было дано Хасслером Уитни в 1935 году. [4] под названием « сфера-пространство» , но в 1940 году Уитни изменила название на «сферический пучок» . [5]

Теория расслоенных пространств, частным случаем которой являются векторные расслоения , главные расслоения , топологические расслоения и расслоенные многообразия , приписывают Зейферту, Хайнцу Хопфу , Жаку Фельдбау , [6] Уитни, Норман Стинрод , Чарльз Эресманн , [7] [8] [9] Жан-Пьер Серр , [10] и другие.

Пучки волокон стали самостоятельным объектом изучения в период 1935–1940 гг. Первое общее определение появилось в работах Уитни. [11]

Уитни пришел к общему определению расслоения из своего исследования более частного понятия расслоения сфер . [12] это расслоение, слоем которого является сфера произвольной размерности . [13]

Формальное определение [ править ]

Пучок волокон представляет собой структуру где и являются топологическими пространствами и является непрерывной сюръекцией, удовлетворяющей локальному условию тривиальности , изложенному ниже. Космос называется базовое пространство пакета, тот общая площадь и тот волокно . Карта называется карта проекции (или проекция пучка ). В дальнейшем будем считать, что базовое пространство подключен .

Мы требуем, чтобы для каждого , есть открытое окружение из (которую будем называть тривиализирующей окрестностью) такую, что существует гомеоморфизм (где задана топология подпространства и — пространство продукта) таким образом, что согласуется с проекцией на первый фактор. То есть следующая диаграмма должна коммутировать :

Условие локальной тривиальности
Local triviality condition

где является естественной проекцией и является гомеоморфизмом. Набор всего называется локальная тривиализация расслоения.

Таким образом, для любого , прообраз гомеоморфен (поскольку это справедливо для ) и называется слоем над Каждый пучок волокон является открытой картой , поскольку проекции продуктов являются открытыми картами. Поэтому несет фактортопологию, определенную отображением

Пучок волокон часто обозначается

( 1 )

это, по аналогии с короткой точной последовательностью , указывает, какое пространство является слоем, общим пространством и базовым пространством, а также отображением общего пространства в базовое.

А Гладкое расслоение — расслоение из категории гладких многообразий . То есть, и должны быть гладкими многообразиями, а все вышеперечисленные функции должны быть гладкими отображениями .

Примеры [ править ]

Тривиальный комплект [ править ]

Позволять и разреши быть проекцией на первый фактор. Затем представляет собой пучок волокон (из ) над Здесь это не только локальный продукт, но и глобальный . Любой такой пучок волокон называется банальный комплект . Любое расслоение над сжимаемым CW-комплексом тривиально.

Нетривиальные пакеты [ править ]

Лента Мёбиуса [ править ]

Лента Мёбиуса — нетривиальное расслоение над окружностью.

Возможно, самый простой пример нетривиального расслоения это лента Мёбиуса . В качестве основания у него есть круг , проходящий вдоль центра полосы. и отрезок линии для волокна , поэтому лента Мёбиуса представляет собой пучок отрезков над окружностью. Район из (где ) — дуга ; на картинке это длина одного из квадратов. Прообраз на картинке изображен (несколько скрученный) кусок полосы шириной в четыре квадрата и один в длину (т.е. все точки, которые выступают на ).

Гомеоморфизм ( в § Формальное определение ) существует, отображающее прообраз (тривиализирующая окрестность) к срезу цилиндра: изогнутому, но не скрученному. Эта пара локально тривиализует полосу. Соответствующее тривиальное расслоение был бы цилиндр , но лента Мёбиуса имеет общий «изгиб». Этот поворот виден только глобально; локально лента Мёбиуса и цилиндр идентичны (единственный вертикальный разрез в любом из них дает одинаковое пространство).

Бутылка Клейна [ править ]

Аналогичным нетривиальным расслоением является бутылка Клейна , которую можно рассматривать как «скрученное» расслоение кругов над другим кругом. Соответствующее нескрученное (тривиальное) расслоение представляет собой 2- тор , .

Бутылка Клейна погружена в трехмерное пространство.
Тор.

Карта покрытия [ править ]

Накрывающее пространство — это расслоение такое, что проекция расслоения является локальным гомеоморфизмом . Отсюда следует, что слой представляет собой дискретное пространство .

Векторные и главные расслоения [ править ]

Специальный класс расслоений, называемый векторными расслоениями , — это те, чьи слои представляют собой векторные пространства (чтобы квалифицироваться как векторное расслоение, структурная группа расслоения — см. ниже — должна быть линейной группой ). Важные примеры векторных расслоений включают касательное расслоение и кокасательное расслоение гладкого многообразия. Из любого векторного расслоения можно построить фреймовое расслоение баз . , которое является главным расслоением (см. ниже)

Другой специальный класс расслоений, называемый главными расслоениями , — это расслоения, на слоях которых свободно и транзитивно действует группа задано так, что каждый слой является главным однородным пространством . Пакет часто указывается вместе с группой, называя его основным. -пучок. Группа также является структурной группой расслоения. Учитывая представление из в векторном пространстве , векторное расслоение с в качестве структурной группы может быть построена так называемая связанная связка .

Связки сфер [ править ]

Расслоение сфер — это расслоение, слоем которого является n -сфера . Учитывая векторное расслоение с метрикой (такой как касательное расслоение к риманову многообразию ) можно построить связанное расслоение единичных сфер , для которого слой над точкой - это набор всех единичных векторов в . Когда рассматриваемое векторное расслоение является касательным расслоением расслоение единичной сферы известно как единичное касательное расслоение .

Расслоение сфер частично характеризуется своим классом Эйлера , который является степенью класс когомологий в тотальном пространстве расслоения. В случае расслоение сфер называется расслоением окружностей , а класс Эйлера равен первому классу Чженя , который полностью характеризует топологию расслоения. Для любого , учитывая класс Эйлера расслоения, можно вычислить его когомологии, используя длинную точную последовательность , называемую последовательностью Гайзина .

Отображение торов [ править ]

Если является топологическим пространством и является гомеоморфизмом , то тор отображения имеет естественную структуру расслоения над кругом со слоем Отображения торов гомеоморфизмов поверхностей имеют особое значение в топологии 3-многообразий .

Частные пробелы [ править ]

Если является топологической группой и является замкнутой подгруппой , то при некоторых обстоятельствах факторпространство вместе с факторкартой — расслоение, слоем которого является топологическое пространство . Необходимое и достаточное условие для ( ) для формирования расслоения заключается в том, что отображение допускает локальные сечения ( Стинрод 1951 , §7).

Наиболее общие условия, при которых фактор-отображение допускает локальные сечения, неизвестны, хотя если является группой Ли и замкнутая подгруппа (и, следовательно, подгруппа Ли по теореме Картана ), то фактор-отображение является расслоением. Одним из примеров этого является расслоение Хопфа . , представляющий собой расслоение над сферой общая площадь которого . С точки зрения групп Ли, можно отнести к особой унитарной группе . Абелева подгруппа матриц изоморфна группе окружностей диагональных , и частное диффеоморфна . сфере

В более общем смысле, если любая топологическая группа и замкнутая подгруппа, которая также является группой Ли, то представляет собой пучок волокон.

Разделы [ править ]

А сечение (или поперечное сечение ) пучка волокон представляет собой непрерывную карту такой, что всех x в B. для Поскольку пучки, как правило, не имеют глобально определенных секций, одна из целей теории — объяснить их существование. Препятствие характеристических существованию сечения часто можно измерить с помощью класса когомологий, что приводит к теории классов в алгебраической топологии .

Самый известный пример — теорема о волосатом шаре , где класс Эйлера является препятствием для касательного расслоения , 2-сферы имеющего никуда не исчезающее сечение.

Часто хочется определять разделы только локально (особенно, когда глобальные разделы не существуют). Локальное сечение расслоения — это непрерывное отображение где U открытое множество в B и для x в U. всех Если является локальной диаграммой всегда существуют локальные сечения тривиализации, то над U . Такие сечения находятся в 1-1 соответствии с непрерывными отображениями. . Секции образуют связку .

Структурные группы перехода функции и

Пучки волокон часто содержат группу симметрий, которые описывают условия совпадения между перекрывающимися локальными диаграммами тривиализации. В частности, пусть G топологическая группа , которая непрерывно действует на расслоении F слева. если потребуем, чтобы G действовала точно на F , чтобы ее можно было рассматривать как группу гомеоморфизмов F Мы ничего не потеряем , . А Г атлас для связки представляет собой набор локальных диаграмм тривиализации такой, что для любого для перекрывающихся диаграмм и функция

дан кем-то
где является непрерывным отображением, называемым функция перехода . Два G -атласа эквивалентны, если их объединение также является G -атласом. G -расслоение это расслоение с классом эквивалентности G -атласов. Группа G называется структурная группа пакета; аналогичный термин в физике калибровочная группа .

В гладкой категории G -расслоение — это гладкое расслоение, где G группа Ли , соответствующее действие на F гладкое, а все функции перехода — гладкие отображения.

Функции перехода удовлетворять следующим условиям

Третье условие применяется к тройным перекрытиям U i U j U k и называется коцикла условием (см. когомологии Чеха ). Важность этого состоит в том, что функции перехода определяют расслоение (если принять условие коцикла Чеха).

Главное (эквивалентно можно указать , G- расслоение — это G -расслоение, в котором слой F является главным однородным пространством для левого действия самого G что действие G на слое F является свободным и транзитивным, т. е. регулярным ). В этом случае часто бывает удобно отождествить F с G и таким образом получить (правое) действие G на главном расслоении.

Пакетные карты [ править ]

Полезно иметь представление об отображении между двумя расслоениями. Предположим, что M и N — базовые пространства и и являются расслоениями над M и N соответственно. А карта пакета или Морфизм расслоения состоит из пары непрерывных [14] функции

такой, что То есть следующая диаграмма является коммутативной :

Для расслоений со структурной группой G , тотальные пространства которых являются (правыми) G -пространствами (такими как главное расслоение), морфизмы расслоений также должны быть G - эквивариантными на слоях. Это значит, что также является G -морфизмом одного G -пространства в другое, т. е. для всех и

Если базисные пространства M и N совпадают, то морфизм расслоения над M из расслоения к это карта такой, что Это означает, что карта пакета раскрывает личность М. ​ То есть, и следующая диаграмма коммутирует:

Предположим, что оба и определены в одном и том же базовом пространстве M . расслоения Изоморфизм — это отображение расслоения. между и такой, что и такое, что также является гомеоморфизмом. [15]

Дифференцируемые пучки волокон [ править ]

В категории дифференцируемых многообразий расслоения естественным образом возникают как погружения одного многообразия в другое. Не всякое (дифференцируемое) погружение из дифференцируемого многообразия M в другое дифференцируемое многообразие N порождает дифференцируемое расслоение. Во-первых, карта должна быть сюръективной, и называется расслоенным многообразием . Однако это необходимое условие не совсем достаточно, и в обычном использовании существует множество достаточных условий.

Если M и N компактны и , связны то любая субмерсия порождает расслоение в том смысле, что существует расслоение F, диффеоморфное каждому из слоев, такое, что представляет собой пучок волокон. (Сюръективность следует из уже сделанных в этом случае предположений.) В более общем плане предположение о компактности можно ослабить, если погружение предполагается, что это сюръективное собственное отображение , а это означает, что компактно для любого компактного подмножества K из N . Другое достаточное условие, предложенное Эресманном (1951) , состоит в том, что если является сюръективной субмерсией с M и N дифференцируемыми многообразиями, такими что прообраз компактен и подключен для всех затем допускает совместимую структуру расслоения ( Michor 2008 , §17).

Обобщения [ править ]

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

  1. ^ Зайферт, Герберт (1933). «Топология трехмерных расслоенных пространств» . Акта Математика . 60 : 147–238. дои : 10.1007/bf02398271 .
  2. ^ «Топология трехмерных волокнистых пространств» в проекте «Евклид» .
  3. ^ Зайферт, Х. (1980). Зейферт и Трелфолл, Учебник топологии . В. Трелфолл, Джоан С. Бирман, Джулиан Эйснер. Нью-Йорк: Академическая пресса. ISBN  0-12-634850-2 . OCLC   5831391 .
  4. ^ Уитни, Хасслер (1935). «Сферические пространства» . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 21 (7): 464–468. Бибкод : 1935PNAS...21..464W . дои : 10.1073/pnas.21.7.464 . ПМЦ   1076627 . ПМИД   16588001 .
  5. ^ Уитни, Хасслер (1940). «К теории расслоений сфер» . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 26 (2): 148–153. Бибкод : 1940PNAS...26..148W . дои : 10.1073/pnas.26.2.148 . ПМК   1078023 . ПМИД   16588328 .
  6. ^ Фельдбау, Жак (1939). «О классификации расслоенных пространств». Известия Академии наук . 208 : 1621–1623.
  7. ^ Эресманн, Чарльз (1947). «К теории расслоенных пространств». Колл. Вершина. Алг. Париж . ННРС: 3–15.
  8. ^ Эресманн, Чарльз (1947). «О дифференцируемых расслоенных пространствах». Известия Академии наук . 224 : 1611–1612.
  9. ^ Эресманн, Чарльз (1955). «Расширения дифференцируемого расслоенного пространства». Известия Академии наук . 240 : 1755–1757.
  10. ^ Серр, Жан-Пьер (1951). «Сингулярные гомологии расслоенных пространств. Приложения». Анналы математики . 54 (3): 425–505. дои : 10.2307/1969485 . JSTOR   1969485 .
  11. ^ См. Стинрод (1951 , предисловие).
  12. В своих ранних работах Уитни называл пучки сфер «сферическими пространствами». См., например:
  13. ^ Уитни, Хасслер (1940). «К теории расслоений сфер» (PDF) . Учеб. Натл. акад. Наука . 26 (2): 148–153. Бибкод : 1940PNAS...26..148W . дои : 10.1073/pnas.26.2.148 . ПМЦ   1078023 . ПМИД   16588328 .
  14. ^ В зависимости от категории рассматриваемых пространств можно предположить, что функции обладают свойствами, отличными от непрерывности. Например, в категории дифференцируемых многообразий функции предполагаются гладкими. В категории алгебраических многообразий они являются регулярными морфизмами.
  15. ^ Или, по крайней мере, обратима в соответствующей категории; например, диффеоморфизм.

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Arc.Ask3.Ru: конец оригинального документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: EE90F53384F692AB4ECB256054C6E18A__1712038920
URL1:https://en.wikipedia.org/wiki/Fiber_bundle
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Fiber bundle - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть, любые претензии не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, денежную единицу можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)