Пакет откатов

В математике расслоение обратного или индуцированное расслоение . — это расслоение , индуцированное отображением его базового пространства. Учитывая расслоение π : E → B и непрерывное отображение f : B ′ → B , можно определить «обратный образ» E с помощью f как расслоение f ^* E над B ' . Волокно f ^* E над точкой b ′ в B ′ — это просто слой E над f ( b ′) . Таким образом , f ^* E — непересекающееся объединение всех этих волокон, снабженных подходящей топологией .

Формальное определение

Пусть π : E → B — расслоение с абстрактным слоем F , и пусть f : B ′ → B — непрерывное отображение . Определите пакет откатов с помощью

$f^{*}E=\{(b',e)\in B'\times E\mid f(b')=\pi (e)\}\subseteq B'\times E$

и снабдим его топологией подпространства и отображением проекции π ′ : f ^* E → B ′ задается проекцией на первый сомножитель, т. е.

$\pi '(b',e)=b'.\,$

Проекция на второй фактор дает карту

$h\colon f^{*}E\to E$

такая, что следующая диаграмма коммутирует :

${\begin{array}{ccc}f^{\ast }E&{\stackrel {h}{\longrightarrow }}&E\\{\pi }'\downarrow &&\downarrow \pi \\B'&{\stackrel {f}{\longrightarrow }}&B\end{array}}$

Если ( U , φ ) — локальная тривиализация E , то ( f ⁻¹ U , ψ ) — локальная тривиализация f ^* Е где

$\psi (b',e)=(b',{\mbox{proj}}_{2}(\varphi (e))).\,$

Отсюда следует, что f ^* E — расслоение над B ′ со слоем F . Пучок f ^* E называется обратным образом E с помощью f или расслоением, индуцированным f . Тогда отображение h является морфизмом расслоения, покрывающим f .

Свойства

Любое сечение s E B над f сечение индуцирует ^* E , называемый участком отката f ^* s , просто определив

$f^{*}s(b'):=(b',s(f(b'))\ )$ для всех $b'\in B'$.

Если расслоение E → B имеет структурную группу G с функциями перехода t _ij (относительно семейства локальных тривиализаций {( U _i , φ _i )} ), то расслоение обратного образа f ^* E также имеет структурную G. группу Функции перехода в f ^* E даны

$f^{*}t_{ij}=t_{ij}\circ f.$

Если E → B — векторное расслоение или главное расслоение , то и обратный образ f ^* Э. ​ В случае главного расслоения действие G правое на f ^* E определяется выражением

$(x,e)\cdot g=(x,e\cdot g)$

Отсюда следует, что отображение h, накрывающее f , эквивариантно и, следовательно, определяет морфизм главных расслоений.

На языке теории категорий конструкция пучка обратных связей является примером более общего категориального обратных связей . Как таковой он удовлетворяет соответствующему универсальному свойству .

Построение расслоения обратного образа можно провести в подкатегориях категории топологических пространств , например в категории гладких многообразий . Последняя конструкция полезна в дифференциальной геометрии и топологии .

Пучки и снопы

Связки также можно описывать с помощью пучков секций . Обратный образ расслоений тогда соответствует обратному образу пучков , который является контравариантным функтором. Однако пучок более естественно является ковариантным объектом, поскольку у него есть выдвижение вперед , называемое прямым образом пучка . Натяжение и взаимодействие между пучками и пучками, или обратное и прямое изображение, могут быть полезны во многих областях геометрии. Однако прямой образ пучка секций пучка, вообще говоря, не является пучком секций некоторого прямого образа пучка, так что, хотя понятие «продвижение пучка» определяется в некоторых контекстах (например, продвигается вперед с помощью диффеоморфизма), вообще его лучше понимать в категории пучков, поскольку создаваемые им объекты вообще не могут быть пучками.

Источники

• Стинрод, Норман (1951). Топология пучков волокон . Принстон: Издательство Принстонского университета . ISBN  0-691-00548-6 .
• Хуземоллер, Дейл (1994). Пучки волокон . Тексты для аспирантов по математике. Том. 20 (Третье изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-0-387-94087-8 .
• Лоусон, Х. Блейн ; Мишельсон, Мария-Луиза (1989). Спиновая геометрия . Издательство Принстонского университета . ISBN  978-0-691-08542-5 .

Дальнейшее чтение

• Шарп, RW (1997). Дифференциальная геометрия: обобщение Картаном программы Эрлангена Клейна . Тексты для аспирантов по математике. Том. 166. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  0-387-94732-9 .