Карта пакета

В математике карта расслоения (или морфизм расслоения ) — морфизм в категории расслоений это . Существует два различных, но тесно связанных понятия отображения расслоения, в зависимости от того, имеют ли рассматриваемые расслоения общее базовое пространство . Существует также несколько вариаций основной темы, в зависимости от того, какая именно категория пучков волокон рассматривается. В первых трех разделах мы рассмотрим общие расслоения в категории топологических пространств . Затем в четвертом разделе будут приведены некоторые другие примеры.

Объединение карт по общей базе

Позволять $\pi _{E}\colon E\to M$ и $\pi _{F}\colon F\to M$ — расслоения над пространством M . Тогда расслоение из E в F над M является непрерывным отображением $\varphi \colon E\to F$ такой, что $\pi _{F}\circ \varphi =\pi _{E}$. То есть диаграмма

должен ездить . Эквивалентно, для любой точки x в M , $\varphi$ отображает волокно $E_{x}=\pi _{E}^{-1}(\{x\})$ E над x в слой $F_{x}=\pi _{F}^{-1}(\{x\})$ F ​ над x .

Общие морфизмы расслоений

Пусть π _E : E → M и π _F : F → N — расслоения над пространствами M и N соответственно. Тогда непрерывное отображение $\varphi :E\to F$ называется расслоением из E в F, если существует непрерывное отображение f : M → N такое, что диаграмма

ездит на работу, то есть $\pi _{F}\circ \varphi =f\circ \pi _{E}$. Другими словами, $\varphi$ сохраняет слои , а f — индуцированное отображение в пространстве слоев E : поскольку π _E сюръективно, f однозначно определяется формулой $\varphi$. Для данного f такое отображение расслоения $\varphi$ называется отображением расслоения, покрывающим f .

Связь между двумя понятиями

Из определений непосредственно следует, что отображение расслоения над M (в первом смысле) — это то же самое, что отображение расслоения, накрывающее тождественное отображение M .

И наоборот, общие карты пакетов можно свести к картам пакетов в фиксированном базовом пространстве, используя понятие обратного пакета . Если π _F : F → N — расслоение над N и f : M → N — непрерывное отображение, то обратный образ с F помощью f является расслоением f ^* F над M, слой которого над x задается формулой ( f ^* F ) _{Икс знак} равно F _{ж ( Икс )} . Отсюда следует, что отображение расслоения из E в F, покрывающее f, — это то же самое, что отображение расслоения из E в f. ^* F над М. ​

Варианты и обобщения

Существует два вида вариаций общего понятия карты расслоения.

Во-первых, можно рассмотреть расслоения в другой категории пространств. Это приводит, например, к понятию гладкого отображения расслоений между гладкими расслоениями над гладким многообразием .

Во-вторых, можно рассматривать расслоения с дополнительной структурой в слоях и ограничить внимание отображениями расслоений, которые сохраняют эту структуру. Это приводит, например, к понятию гомоморфизма (векторного) расслоения между векторными расслоениями , в котором слои являются векторными пространствами, а отображение расслоения φ должно быть линейным отображением на каждом слое. В этом случае такое отображение расслоения φ (накрывающее f ) можно также рассматривать как сечение векторного расслоения Hom( E , f ^* F ) над M , слой которого над x представляет собой векторное пространство Hom( E _x , F _{f ( x )} ) ( также обозначаемое L ( E _x , F _{f ( x )} )) линейных отображений из E _Икс к F _{ж ( Икс )} .

Ссылки

• Хуземоллер, Дейл (1994). Пучки волокон . Тексты для аспирантов по математике. Том. 20 (Третье изд.). Спрингер-Верлаг, Нью-Йорк. дои : 10.1007/978-1-4757-2261-1 . ISBN  0-387-94087-1 . МР   1249482 .
• Ли, Джон М. (2013). Введение в гладкие многообразия . Тексты для аспирантов по математике. Том. 218 (Второе изд.). Спрингер, Нью-Йорк. ISBN  978-1-4419-9981-8 . МР   2954043 .
• Стинрод, Норман (1951). Топология пучков волокон . Принстонская математическая серия. Том. 14. Издательство Принстонского университета, Принстон, Нью-Джерси. ISBN  978-1-4008-8387-5 . МР   0039258 .