Замкнутые и точные дифференциальные формы

В математике , особенно в векторном исчислении и дифференциальной топологии , замкнутая форма — это дифференциальная форма α которой , внешняя производная равна нулю ( dα = 0 ), а точная форма — это дифференциальная форма α , которая является внешней производной другой дифференциальной формы β. . Таким образом, точная форма находится в образе d , а замкнутая в ядре d форма — .

Для точной формы α α = dβ для некоторой дифференциальной формы β степени на единицу меньшей, чем форма α . Форма β называется «потенциальной формой» или «примитивной» для α . Поскольку внешняя производная замкнутой формы равна нулю, β не уникальна, но может быть изменена добавлением любой замкнутой формы степени на единицу меньшей, чем степень α .

Потому что д ²= 0 каждая точная форма обязательно замкнута. Вопрос о том, ли каждая точна замкнутая форма, зависит от топологии интересующей области. В стягиваемой области каждая замкнутая форма точна по лемме Пуанкаре . Более общие вопросы такого рода на произвольном дифференцируемом многообразии составляют предмет когомологий де Рама , позволяющих получать чисто топологическую информацию дифференциальными методами.

Примеры [ править ]

Векторное поле, соответствующее ( двойственному по Ходжу) dθ .

Простым примером закрытой, но не точной формы является 1-форма. $d\theta$ ^{[примечание 1]} заданный производной аргумента на проколотой плоскости $\mathbb {R} ^{2}\smallsetminus \{0\}$ . С $\theta$ на самом деле не является функцией (см. следующий абзац) $d\theta$ не является точной формой. Все еще, $d\theta$ имеет исчезающую производную и поэтому замкнуто.

Обратите внимание, что аргумент $\theta$ определяется только до целого числа, кратного $2\pi$ поскольку одна точка $p$ могут быть присвоены разные аргументы $r$ , $r+2\pi$ и т. д. Мы можем присваивать аргументы локально согласованным образом вокруг $p$ , но не глобально последовательным образом. Это потому, что если мы проследим цикл от $p$ против часовой стрелки вокруг начала координат и обратно в $p$ , аргумент увеличивается на $2\pi$ . Как правило, аргумент $\theta$ изменения на

\oint _{S^{1}}d\theta

по петле, ориентированной против часовой стрелки $S^{1}$ .

Несмотря на то, что аргумент $\theta$ технически не является функцией, различные локальные определения $\theta$ в какой-то момент $p$ отличаются друг от друга константами. Поскольку производная при $p$ использует только локальные данные, а поскольку функции, отличающиеся константой, имеют одну и ту же производную, аргумент имеет глобально определённую производную . $d\theta$ ". ^{[заметка 2]}

Результат в том, что $d\theta$ представляет собой одну форму на $\mathbb {R} ^{2}\smallsetminus \{0\}$ на самом деле это не производная какой-либо четко определенной функции $\theta$ . Мы говорим, что $d\theta$ это не точно . Явно, $d\theta$ дается как:

d\theta ={\frac {-y\,dx+x\,dy}{x^{2}+y^{2}}},

который при проверке имеет производную нулевую. Потому что $d\theta$ имеет нулевую производную, мы говорим, что она замкнута .

Эта форма порождает группу когомологий де Рама $H_{dR}^{1}(\mathbb {R} ^{2}\smallsetminus \{0\})\cong \mathbb {R} ,$ это означает, что любая закрытая форма $\omega$ представляет собой сумму точной формы $df$ и кратное $d\theta$ : $\omega =df+k\ d\theta$ , где ${\textstyle k={\frac {1}{2\pi }}\oint _{S^{1}}\omega }$ учитывает нетривиальный контурный интеграл вокруг начала координат, который является единственным препятствием для замкнутой формы на проколотой плоскости (локально производной потенциальной функции ) , являющейся производной глобально определенной функции.

Примеры в малых размерах [ править ]

Дифференциальные формы в $\mathbb {R} ^{2}$ и $\mathbb {R} ^{3}$ были хорошо известны в математической физике XIX века. На плоскости 0-формы — это просто функции, а 2-формы — это функции, умноженные на базовый элемент площади. $dx\wedge dy$ , так что это 1-формы

\alpha =f(x,y)\,dx+g(x,y)\,dy

которые представляют реальный интерес. Формула внешней производной $d$ вот

d\alpha =(g_{x}-f_{y})\,dx\wedge dy

где нижние индексы обозначают частные производные . Поэтому условие для $\alpha$ быть закрытым - это

f_{y}=g_{x}.

В этом случае, если $h(x,y)$ это функция, тогда

dh=h_{x}\,dx+h_{y}\,dy.

Импликация от «точного» к «закрытому» тогда является следствием симметрии вторых производных относительно $x$ и $y$ .

Теорема о градиенте утверждает, что 1-форма точна тогда и только тогда, когда линейный интеграл формы зависит только от концов кривой или, что то же самое, если интеграл вокруг любой гладкой замкнутой кривой равен нулю.

Аналогии векторных полей [ править ]

На римановом многообразии или, в более общем смысле псевдоримановом многообразии , k- формы соответствуют k -векторным полям (в силу двойственности через метрику ), поэтому существует понятие векторного поля, соответствующего замкнутой или точной форме.

В трех измерениях точное векторное поле (представляемое как 1-форма) называется консервативным векторным полем , что означает, что оно является производной ( градиентом ) 0-формы (гладкого скалярного поля), называемой скалярным потенциалом . Замкнутое векторное поле (представляемое как 1-форма) — это поле, производная которого ( ротор ) равна нулю, и называется безвихревым векторным полем .

Если рассматривать векторное поле как 2-форму, то замкнутое векторное поле — это поле, производная ( дивергенция ) которого равна нулю, и называется несжимаемым потоком (иногда соленоидальным векторным полем ). Термин несжимаемый используется потому, что ненулевая дивергенция соответствует наличию источников и стоков по аналогии с жидкостью.

Концепции консервативных и несжимаемых векторных полей распространяются на n измерений, поскольку градиент и дивергенция распространяются на n измерений; ротор определяется только в трех измерениях, поэтому концепция безвихревого векторного поля не обобщается таким образом.

Лемма Пуанкаре [ править ]

Лемма Пуанкаре утверждает, что если B — открытый шар в R ^н, любая замкнутая p -форма ω, определенная на B , точна для любого целого числа p с 1 ≤ p ≤ n . ^[1]

В более общем смысле лемма утверждает, что на стягиваемом открытом подмножестве многообразия (например, $\mathbb {R} ^{n}$ ), замкнутая p -форма, p > 0, точна. ^{[ нужна цитата ]}

как когомологии Формулировка

Когда разность двух замкнутых форм является точной формой, они называются когомологичными друг другу. То есть, если ζ и η — замкнутые формы и можно найти такое β , что

\zeta -\eta =d\beta

тогда говорят, что ζ и η когомологичны друг другу. Точные формы иногда называют когомологичными нулю . Множество всех форм, когомологичных данной форме (и, следовательно, друг другу), называется классом когомологий де Рама ; общее изучение таких классов известно как когомологии . Нет смысла спрашивать, точна ли 0-форма (гладкая функция), поскольку d увеличивает степень на 1; но подсказки топологии подсказывают, что «точной» следует называть только нулевую функцию. Классы когомологий отождествляются с локально постоянными функциями.

Используя сжимающие гомотопии, подобные той, которая использовалась при доказательстве леммы Пуанкаре, можно показать, что когомологии де Рама гомотопически инвариантны. ^[2]

Применение в электродинамике [ править ]

В электродинамике случай магнитного поля ${\vec {B}}(\mathbf {r} )$ Важную роль играет стационарный электрический ток. Там речь идет о векторном потенциале ${\vec {A}}(\mathbf {r} )$ этого поля. Этот случай соответствует k = 2 , а определяющей областью является полная $\mathbb {R} ^{3}$ . Вектор плотности тока равен ${\vec {j}}$ . Это соответствует нынешней двухформе

\mathbf {I} :=j_{1}(x_{1},x_{2},x_{3})\,{\rm {d}}x_{2}\wedge {\rm {d}}x_{3}+j_{2}(x_{1},x_{2},x_{3})\,{\rm {d}}x_{3}\wedge {\rm {d}}x_{1}+j_{3}(x_{1},x_{2},x_{3})\,{\rm {d}}x_{1}\wedge {\rm {d}}x_{2}.

Для магнитного поля ${\vec {B}}$ получаем аналогичные результаты: это соответствует индукционной двухформе $\Phi _{B}:=B_{1}{\rm {d}}x_{2}\wedge {\rm {d}}x_{3}+\cdots$ , и может быть получен из векторного потенциала ${\vec {A}}$ , или соответствующая одноформенная $\mathbf {A}$ ,

{\vec {B}}=\operatorname {curl} {\vec {A}}=\left\{{\frac {\partial A_{3}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial A_{2}}{\partial x_{3}}},{\frac {\partial A_{1}}{\partial x_{3}}}-{\frac {\partial A_{3}}{\partial x_{1}}},{\frac {\partial A_{2}}{\partial x_{1}}}-{\frac {\partial A_{1}}{\partial x_{2}}}\right\},{\text{ or }}\Phi _{B}={\rm {d}}\mathbf {A} .

Тем самым векторный потенциал ${\vec {A}}$ соответствует потенциальной одной форме

\mathbf {A} :=A_{1}\,{\rm {d}}x_{1}+A_{2}\,{\rm {d}}x_{2}+A_{3}\,{\rm {d}}x_{3}.

Замкнутость двухформ магнитной индукции соответствует свойству магнитного поля быть бесисточникным: $\operatorname {div} {\vec {B}}\equiv 0$ , нет т. е. что магнитных монополей .

В специальном калибре $\operatorname {div} {\vec {A}}{~{\stackrel {!}{=}}~}0$ , это означает , что для i = 1, 2, 3

A_{i}({\vec {r}})=\int {\frac {\mu _{0}j_{i}\left({\vec {r}}'\right)\,\,dx_{1}'\,dx_{2}'\,dx_{3}'}{4\pi |{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}}\,.

(Здесь $\mu _{0}$ магнитная постоянная .)

Это уравнение примечательно тем, что оно полностью соответствует известной формуле для электрического поля ${\vec {E}}$ , а именно для электростатического кулоновского потенциала $\varphi (x_{1},x_{2},x_{3})$ заряда плотности $\rho (x_{1},x_{2},x_{3})$ . В этом месте уже можно догадаться, что

${\vec {E}}$ и ${\vec {B}},$
$\rho$ и ${\vec {j}},$
$\varphi$ и ${\vec {A}}$

можно унифицировать до количеств с шестью Rsp. четыре нетривиальных компонента, что является основой релятивистской инвариантности уравнений Максвелла .

Если оставить условие стационарности, то в левой части упомянутого уравнения в уравнениях для $A_{i}$ , к трем пространственным координатам, в качестве четвертой переменной также время t , тогда как в правой части, в $j_{i}'$ , так называемое «замедленное время», $t':=t-{\frac {|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}{c}}$ , необходимо использовать, т.е. оно добавляется к аргументу плотности тока. Наконец, как и раньше, происходит интегрирование по трем пространственным координатам, отмеченным штрихом. (Как обычно, c — это скорость света в вакууме.)

Примечания [ править ]

^ Это злоупотребление обозначениями. Аргумент $\theta$ не является четко определенной функцией и $d\theta$ не является дифференциалом какой-либо нулевой формы. Последующая дискуссия подробно об этом говорит.
^ В статье « Пространство покрытия» содержится дополнительная информация о математике функций, которые четко определены только локально.

Цитаты [ править ]

^ Warner 1983 , стр. 155–156.
^ Уорнер 1983 , с. 162–207

Ссылки [ править ]

Фландерс, Харли (1989) [1963]. Дифференциальные формы с приложениями к физическим наукам . Нью-Йорк: Dover Publications . ISBN 978-0-486-66169-8 . .
Уорнер, Фрэнк В. (1983), Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли , Тексты для аспирантов по математике, том. 94, Спрингер, ISBN 0-387-90894-3
Нэпьер, Терренс; Рамачандран, Мохан (2011), Введение в римановы поверхности , Биркхойзер, ISBN 978-0-8176-4693-6
Сингер, И.М .; Торп, Дж. А. (1976), Конспект лекций по элементарной топологии и геометрии , University of Bangalore Press, ISBN 0721114784

[1] Это злоупотребление обозначениями. Аргумент $\theta$ не является четко определенной функцией и $d\theta$ не является дифференциалом какой-либо нулевой формы. Последующая дискуссия подробно об этом говорит.

[2] В статье « Пространство покрытия» содержится дополнительная информация о математике функций, которые четко определены только локально.

[3] Warner 1983 , стр. 155–156.

[4] Уорнер 1983 , с. 162–207

[примечание 1]

[заметка 2]

[1]

[2]