Форма объёма

В математике или форма объема форма верхнего измерения — это дифференциальная форма степени, равной размерности дифференцируемого многообразия . Таким образом, на многообразии $M$ размера $n$, форма объема – это $n$-форма. Это элемент пространства участков линейного пучка. $\textstyle {\bigwedge }^{n}(T^{*}M)$, обозначенный как $\Omega ^{n}(M)$. Многообразие допускает никуда не исчезающую форму объема тогда и только тогда, когда оно ориентируемо. Ориентируемое многообразие имеет бесконечно много форм объема, поскольку умножение формы объема на никуда не исчезающую вещественную функцию дает другую форму объема. На неориентируемых многообразиях вместо этого можно определить более слабое понятие плотности .

Форма объема предоставляет средства для определения на дифференцируемом интеграла функции многообразии. Другими словами, форма объема порождает меру , по которой функции могут быть проинтегрированы соответствующим интегралом Лебега . Абсолютным значением формы объема является элемент объема , который также известен как скрученная форма объема или форма псевдообъема . Оно также определяет меру, но существует на любом дифференцируемом многообразии, ориентируемом или нет.

Кэлеровы многообразия , будучи комплексными многообразиями , естественно ориентированы и поэтому обладают формой объема. В более общем смысле, $n$Внешняя степень симплектической формы на симплектическом многообразии является объемной формой. Многие классы многообразий имеют канонические формы объема: они имеют дополнительную структуру, позволяющую выбрать предпочтительную форму объема. Ориентированным псевдоримановым многообразиям соответствует каноническая форма объема.

Ориентация

Далее речь пойдет только об ориентируемости дифференцируемых многообразий (это более общее понятие, определенное на любом топологическом многообразии).

Многообразие называется ориентируемым, если оно имеет координатный атлас, все функции перехода которого имеют положительные определители Якобиана . Выбор максимального такого атласа есть ориентация на $M.$ Объемная форма $\omega$ на $M$ порождает ориентацию естественным образом, как атлас координатных карт на $M$ которые отправляют $\omega$ к положительному кратному евклидовой форме объема $dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}.$

Форма тома также позволяет указать предпочтительный класс кадров на $M.$ Вызвать базис касательных векторов $(X_{1},\ldots ,X_{n})$ правша, если

$$\omega \left(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}\right)>0.$$

Сбором всех правосторонних занимается группа кадров $\mathrm {GL} ^{+}(n)$ общих линейных отображений в $n$размерности с положительным определителем. Они образуют принципиальную $\mathrm {GL} ^{+}(n)$ подпучок фрейма линейного ​ $M,$ и поэтому ориентация, связанная с формой объема, дает каноническую редукцию набора фреймов $M$ в подпакет со структурной группой $\mathrm {GL} ^{+}(n).$ То есть, объемная форма порождает $\mathrm {GL} ^{+}(n)$-структура на $M.$ Очевидно, что большее сокращение возможно при рассмотрении кадров, которые имеют

$\omega \left(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}\right)=1.$ ( 1 )

Таким образом, объемная форма порождает $\mathrm {SL} (n)$- структура тоже. И наоборот, учитывая $\mathrm {SL} (n)$-структуру, можно восстановить объемную форму, наложив ( 1 ) на специальные линейные рамки и затем решив требуемую $n$-форма $\omega$ требуя однородности в своих аргументах.

Многообразие ориентируемо тогда и только тогда, когда оно имеет никуда не исчезающую форму объема. Действительно, $\mathrm {SL} (n)\to \mathrm {GL} ^{+}(n)$ является ретрактом деформации, поскольку $\mathrm {GL} ^{+}=\mathrm {SL} \times \mathbb {R} ^{+},$где положительные действительные числа встроены в виде скалярных матриц. Таким образом, каждый $\mathrm {GL} ^{+}(n)$-структура сводится к $\mathrm {SL} (n)$-структура и $\mathrm {GL} ^{+}(n)$-структуры совпадают с ориентациями на $M.$ Более конкретно, тривиальность детерминантного расслоения $\Omega ^{n}(M)$эквивалентно ориентируемости, а линейное расслоение тривиально тогда и только тогда, когда оно имеет никуда не исчезающее сечение. Таким образом, существование объемной формы эквивалентно ориентируемости.

Связь с мерами

См. Также: Плотность на коллекторе.

Учитывая объемную форму $\omega$ на ориентированном многообразии плотность $|\omega |$— псевдоформа объема на неориентированном многообразии, полученная забыванием ориентации. Плотности также могут быть определены в более общем смысле на неориентируемых многообразиях.

Любая объемная псевдоформа $\omega$ (а, следовательно, и любая форма объема) определяет меру на борелевских множествах формулой

$$\mu _{\omega }(U)=\int _{U}\omega .$$

Разница в том, что меру можно интегрировать по (борелевскому) подмножеству , а форму объема можно интегрировать только по ориентированной ячейке. одной переменной В исчислении записываем ${\textstyle \int _{b}^{a}f\,dx=-\int _{a}^{b}f\,dx}$ считает $dx$ как форму объема, а не просто меру, и ${\textstyle \int _{b}^{a}}$ указывает «интегрировать по ячейке $[a,b]$ с противоположной ориентацией, иногда обозначаемой ${\overline {[a,b]}}$".

Кроме того, общие меры не обязательно должны быть непрерывными или гладкими: они не обязательно должны определяться формой объема, или, более формально, их производная Радона – Никодима относительно данной формы объема не обязательно должна быть абсолютно непрерывной .

Дивергенция

Учитывая объемную форму $\omega$ на $M,$ можно определить дивергенцию векторного поля $X$ как уникальную скалярную функцию, обозначаемую $\operatorname {div} X,$ удовлетворяющий

$$(\operatorname {div} X)\omega =L_{X}\omega =d(X\mathbin {\!\rfloor } \omega ),$$

где $L_{X}$ обозначает производную Ли вдоль $X$ и $X\mathbin {\!\rfloor } \omega$ обозначает внутренний продукт левое сокращение или $\omega$ вдоль $X.$ Если $X$ представляет собой компактное векторное поле и $M$ является многообразием с краем , то из теоремы Стокса следует

$$\int _{M}(\operatorname {div} X)\omega =\int _{\partial M}X\mathbin {\!\rfloor } \omega ,$$

что является обобщением теоремы о расходимости .

Соленоидальные векторные поля – это поля с $\operatorname {div} X=0.$Из определения производной Ли следует, что форма объема сохраняется при течении соленоидального векторного поля. Таким образом, соленоидальные векторные поля — это именно те поля, которые имеют потоки, сохраняющие объем. Этот факт хорошо известен, например, в механике жидкости , где дивергенция поля скорости измеряет сжимаемость жидкости, которая, в свою очередь, представляет собой степень сохранения объема вдоль потоков жидкости.

Особые случаи

Группы лжи

Для любой группы Ли естественная форма объема может быть определена путем перевода. То есть, если $\omega _{e}$ является элементом ${\textstyle \bigwedge }^{n}T_{e}^{*}G,$ тогда левоинвариантная форма может быть определена формулой $\omega _{g}=L_{g^{-1}}^{*}\omega _{e},$ где $L_{g}$является левым переводом. Как следствие, каждая группа Ли ориентируема. Эта форма объема уникальна с точностью до скаляра, и соответствующая мера известна как мера Хаара .

Симплектические многообразия

Любое симплектическое многообразие (или даже любое почти симплектическое многообразие ) имеет естественную форму объема. Если $M$ это $2n$-мерное многообразие с симплектической формой $\omega ,$ затем $\omega ^{n}$нигде не равна нулю вследствие невырожденности симплектической формы. Как следствие, любое симплектическое многообразие ориентируемо (более того, ориентировано). Если многообразие одновременно является симплектическим и римановым, то две формы объема согласуются, если многообразие кэлерово .

Форма риманового объема

Любое ориентированное псевдориманово (в том числе и риманово ) многообразие имеет естественную форму объема. В местных координатах это можно выразить как

$$\omega ={\sqrt {|g|}}dx^{1}\wedge \dots \wedge dx^{n}$$

где $dx^{i}$являются 1-формами , образующими положительно ориентированный базис кокасательного расслоения многообразия. Здесь, $|g|$ – абсолютное значение определителя матричного представления метрического тензора на многообразии.

Форма объема обозначается по-разному

$$\omega =\mathrm {vol} _{n}=\varepsilon ={\star }(1).$$

Здесь ${\star }$ это звезда Ходжа , следовательно, последняя форма, ${\star }(1),$ подчеркивает, что форма объема является двойственным по Ходжу постоянному отображению на многообразии, что соответствует Леви-Чивиты. тензору $\varepsilon .$

Хотя греческая буква $\omega$часто используется для обозначения формы объема, это обозначение не является универсальным; символ $\omega$ часто имеет много других значений в дифференциальной геометрии (например, симплектическая форма).

Инварианты объемной формы

Объемные формы не уникальны; они образуют торсор над ненулевыми функциями на многообразии следующим образом. Учитывая неисчезающую функцию $f$ на $M,$ и объемная форма $\omega ,$ $f\omega$ представляет собой форму тома на $M.$ Обратно, учитывая две формы объема $\omega ,\omega ',$ их отношение является неисчезающей функцией (положительной, если они определяют одну и ту же ориентацию, отрицательной, если они определяют противоположные ориентации).

В координатах они оба представляют собой просто ненулевую функцию, умноженную на меру Лебега , а их отношение представляет собой отношение функций, которое не зависит от выбора координат. По сути, это Радона–Никодима производная $\omega '$ относительно $\omega .$ На ориентированном многообразии пропорциональность любых двух форм объема можно рассматривать как геометрическую форму теоремы Радона–Никодима .

Нет локальной структуры

Форма объема на многообразии не имеет локальной структуры в том смысле, что на малых открытых множествах невозможно отличить данную форму объема от формы объема в евклидовом пространстве ( Кобаяши 1972 ). То есть для каждой точки $p$ в $M,$ есть открытый район $U$ из $p$ и диффеоморфизм $\varphi$ из $U$ на открытую площадку в $\mathbb {R} ^{n}$ такая, что форма объема на $U$ это откат ​ $dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}$ вдоль $\varphi .$

Как следствие, если $M$ и $N$ представляют собой два многообразия, каждое из которых имеет форму объема $\omega _{M},\omega _{N},$ тогда для любых точек $m\in M,n\in N,$ есть открытые кварталы $U$ из $m$ и $V$ из $n$ и карта $f:U\to V$ такая, что форма объема на $N$ ограничено районом $V$ возвращается к форме тома $M$ ограничено районом $U$: $f^{*}\omega _{N}\vert _{V}=\omega _{M}\vert _{U}.$

В одном измерении это можно доказать так: придана объемная форма $\omega$ на $\mathbb {R} ,$ определять

$$f(x):=\int _{0}^{x}\omega .$$

Тогда стандартная мера Лебега $dx$ тянется обратно к $\omega$ под $f$: $\omega =f^{*}dx.$ Конкретно, $\omega =f'\,dx.$ В более высоких измерениях, учитывая любую точку $m\in M,$ у него есть окрестность, локально гомеоморфная $\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n-1},$ и можно применить ту же процедуру.

Глобальная структура: том

Форма объёма на связном многообразии $M$ имеет единственный глобальный инвариант, а именно (общий) объем, обозначаемый $\mu (M),$который инвариантен относительно отображений, сохраняющих форму объема; это может быть бесконечно, например, для меры Лебега на $\mathbb {R} ^{n}.$ На несвязном многообразии объем каждого связного компонента является инвариантом.

В символах, если $f:M\to N$ является гомеоморфизмом многообразий, который возвращает назад $\omega _{N}$ к $\omega _{M},$ затем

$$\mu (N)=\int _{N}\omega _{N}=\int _{f(M)}\omega _{N}=\int _{M}f^{*}\omega _{N}=\int _{M}\omega _{M}=\mu (M)\,$$

и коллекторы имеют одинаковый объем.

Формы объёма также можно подтягивать под карты покрытия , и в этом случае они умножают объём на мощность волокна (формально — путём интегрирования по волокну). В случае бесконечного листового покрытия (например, $\mathbb {R} \to S^{1}$), форма объема на многообразии конечного объема возвращается к форме объема на многообразии бесконечного объема.

См. также

• Цилиндрическая система координат § Линейные и объемные элементы
• Мера (математика) - Обобщение массы, длины, площади и объема.
• Метрика Пуанкаре обеспечивает обзор формы объема на комплексной плоскости.
• Сферическая система координат § Интегрирование и дифференцирование в сферических координатах

Ссылки

• Кобаяши, С. (1972), Группы преобразований в дифференциальной геометрии , Классика математики, Springer, ISBN  3-540-58659-8 , OCLC   31374337 .
• Спивак, Майкл (1965), Исчисление на многообразиях , Ридинг, Массачусетс: WA Benjamin, Inc., ISBN  0-8053-9021-9 .