Ретракция (топология)

В топологии , разделе математики , ретракция — это непрерывное отображение топологического пространства в подпространство , которое сохраняет положение всех точек в этом подпространстве. Подпространство тогда называется ретрактом исходного пространства. — Ретракция деформации это отображение, которое отражает идею непрерывного сжатия пространства в подпространство.

Абсолютный ретракт соседства ( ANR ) — это с особенно хорошим поведением тип топологического пространства . Например, каждое топологическое многообразие является ANR. Каждое ANR имеет гомотопический тип очень простого топологического пространства, CW-комплекса .

Определения

Втягивание

Пусть X — топологическое пространство, а A — подпространство X . Тогда непрерывное отображение

$r\colon X\to A$

является ретракцией если ограничение r , на A является тождественным отображением на A ; то есть, ${\textstyle r(a)=a}$ для a в A. всех Эквивалентно, обозначив через

$\iota \colon A\hookrightarrow X$

включение r , ретракция — это непрерывное отображение что такое,

$r\circ \iota =\operatorname {id} _{A},$

то есть композиция r с включением есть тождество A . что по определению ретракция отображает X на A. Обратите внимание , Подпространство A называется ретрактом X , если такой ретракция существует. Например, любое непустое пространство очевидным образом стягивается в точку (любое постоянное отображение дает стягивание). Если X хаусдорфово , то A быть замкнутым подмножеством X. должно

Если ${\textstyle r:X\to A}$ является ретракцией, то композиция ι∘ r является идемпотентным непрерывным отображением X в X . Обратно, для любого идемпотентного непрерывного отображения ${\textstyle s:X\to X,}$ мы получаем ретракцию на образ s путем ограничения кодомена .

Втягивание деформации и втягивание сильной деформации

Непрерывная карта

$F\colon X\times [0,1]\to X$

является деформационной ретракцией пространства X на подпространство A , если для каждого x в X и a в A ,

$F(x,0)=x,\quad F(x,1)\in A,\quad {\mbox{and}}\quad F(a,1)=a.$

Другими словами, деформационная ретракция — это гомотопия ретракции и тождественного отображения X. на Подпространство A называется ретрактом X . деформационным Деформационная ретракция является частным случаем гомотопической эквивалентности .

Ретракт не обязательно должен быть деформационным ретрактом. Например, наличие единственной точки в качестве деформационного ретракта пространства X будет означать, что X является связным (и фактически, что сжимаемо ) X .

Примечание. Эквивалентное определение сокращения деформации следующее. Непрерывная карта ${\textstyle r:X\to A}$ является деформационной ретракцией, если она является ретракцией и ее композиция с включением гомотопна тождественному отображению на X . В этой формулировке ретракция деформации несет в себе гомотопию между тождественным отображением X и самим собой.

Если в определение ретракции деформации добавить требование, что

$F(a,t)=a$

для всех t в [0, 1] и a в A , то F называется сильной деформационной ретракцией . Другими словами, сильная деформационная ретракция оставляет точки в A фиксированными по всей гомотопии. (Некоторые авторы, такие как Хэтчер , принимают это за определение ретракции деформации.)

Например, n -сфера ${\textstyle S^{n}}$ представляет собой сильный деформационный ретракт ${\textstyle \mathbb {R} ^{n+1}\backslash \{0\};}$ в качестве сильной ретракции деформации можно выбрать карту

$F(x,t)=(1-t)x+t{x \over \|x\|}.$

Обратите внимание, что условие сильного ретракта деформации строго сильнее , чем условие ретракта деформации. Например, пусть X — подпространство $\mathbb {R} ^{2}$ состоящий из замкнутых отрезков, соединяющих начало координат и точку $(1/n,1)$ для n положительное целое число вместе с замкнутым отрезком, соединяющим начало координат с $(0,1)$. Пусть X имеет топологию подпространства, унаследованную от евклидовой топологии на $\mathbb {R} ^{2}$. Теперь пусть A — подпространство X, состоящее из отрезка, соединяющего начало координат с $(0,1)$. Тогда A является ретрактом деформации X , но не ретрактом сильной деформации X .

Кофибрация и деформация окрестности сокращаются

Отображение f : A → X топологических пространств является ( Гуревича ) корасслоением , если оно обладает свойством гомотопического расширения для отображений в любое пространство. Это одно из центральных понятий теории гомотопий . Корасслоение f всегда инъективно и фактически является гомеоморфизмом своего образа. Если X хаусдорфово (или порожденное слабое хаусдорфово пространство ), то образ корасслоения f замкнут в X. компактно

Среди всех закрытых включений корасслоения можно охарактеризовать следующим образом. Включение замкнутого подпространства A в пространство X является корасслоением тогда и только тогда, когда A является ретрактом деформации окрестности , X что означает, что существует непрерывное отображение. $u:X\rightarrow [0,1]$ с ${\textstyle A=u^{-1}\!\left(0\right)}$ и гомотопия ${\textstyle H:X\times [0,1]\rightarrow X}$ такой, что ${\textstyle H(x,0)=x}$ для всех $x\in X,$ $H(a,t)=a$ для всех $a\in A$ и $t\in [0,1],$ и ${\textstyle H\left(x,1\right)\in A}$ если $u(x)<1$.

Например, включение подкомплекса в комплекс CW является кофибрацией.

Характеристики

• Одно основное свойство ретракта A из X (с ретракцией ${\textstyle r:X\to A}$) заключается в том, что каждое непрерывное отображение ${\textstyle f:A\rightarrow Y}$ имеет хотя бы одно расширение ${\textstyle g:X\rightarrow Y,}$ а именно ${\textstyle g=f\circ r}$.
• Если подпространство является ретрактом пространства, то включение вызывает инъекцию между фундаментальными группами.
• Ретракция деформации — частный случай гомотопической эквивалентности. Фактически, два пространства гомотопически эквивалентны тогда и только тогда, когда они оба гомеоморфны деформационным ретрактам одного большего пространства.
• Любое топологическое пространство, деформация которого стягивается в точку, сжимаемо, и наоборот. Однако существуют сжимаемые пространства, которые не сильно деформируются, стягиваются в точку.

Теорема об отсутствии ретракции

Граница −1)-сфера, не является , n -мерного шара то есть ( n втягиванием шара. (См. теорему Брауэра о неподвижной точке § Доказательство с использованием гомологии или когомологии .)

Абсолютный ретракт соседства (ANR)

Закрытое подмножество ${\textstyle X}$ топологического пространства ${\textstyle Y}$ называется окрестностей ретрактом ${\textstyle Y}$ если ${\textstyle X}$ является ретрактом некоторого открытого подмножества ${\textstyle Y}$ который содержит ${\textstyle X}$.

Позволять ${\mathcal {C}}$ — класс топологических пространств, замкнутых относительно гомеоморфизмов и перехода к замкнутым подмножествам. Вслед за Борсуком (начиная с 1931 г.) пространство ${\textstyle X}$ называется абсолютным ретрактом для класса ${\mathcal {C}}$, написано ${\textstyle \operatorname {AR} \left({\mathcal {C}}\right),}$ если ${\textstyle X}$ находится в ${\mathcal {C}}$ и всякий раз, когда ${\textstyle X}$ является замкнутым подмножеством пространства ${\textstyle Y}$ в ${\mathcal {C}}$, ${\textstyle X}$ является отказом от ${\textstyle Y}$. Пространство ${\textstyle X}$ является абсолютным ретрактом окрестности для класса ${\mathcal {C}}$, написано ${\textstyle \operatorname {ANR} \left({\mathcal {C}}\right),}$ если ${\textstyle X}$ находится в ${\mathcal {C}}$ и всякий раз, когда ${\textstyle X}$ является замкнутым подмножеством пространства ${\textstyle Y}$ в ${\mathcal {C}}$, ${\textstyle X}$ является ретрактом окрестности ${\textstyle Y}$.

Различные классы ${\mathcal {C}}$ такие как нормальные пространства, были рассмотрены в этом определении, но класс ${\mathcal {M}}$ теорию . Было обнаружено, что метризуемых пространств дают наиболее удовлетворительную По этой причине обозначения AR и ANR сами по себе используются в этой статье для обозначения $\operatorname {AR} \left({\mathcal {M}}\right)$ и $\operatorname {ANR} \left({\mathcal {M}}\right)$.

Метризуемое пространство является AR тогда и только тогда, когда оно сжимаемо и ANR. По Дугунджи , каждое локально выпуклое метризуемое топологическое векторное пространство ${\textstyle V}$ является АР; в более общем смысле, каждое непустое выпуклое подмножество такого векторного пространства ${\textstyle V}$ это АР. Например, любое нормированное векторное пространство ( полное или нет) является AR. Точнее, евклидово пространство. ${\textstyle \mathbb {R} ^{n},}$ единичный куб ${\textstyle I^{n},}$и куб Гильберта ${\textstyle I^{\omega }}$ являются АР.

ANR образуют замечательный класс « хороших » топологических пространств. Среди их свойств:

• Каждое открытое подмножество ANR является ANR.
• По Ханнеру , метризуемое пространство, имеющее открытое покрытие ANR, является ANR. (То есть быть ANR — это локальное свойство метризуемых пространств.) Отсюда следует, что каждое топологическое многообразие является ANR. Например, сфера ${\textstyle S^{n}}$ является ANR, но не AR (поскольку он не сжимаем). В бесконечных измерениях из теоремы Ханнера следует, что каждое гильбертово кубическое многообразие, а также (достаточно разные, например, не локально компактные ) гильбертово многообразие и банахово многообразие являются ANR.
• Каждый локально конечный комплекс CW является ANR. Произвольный комплекс CW не обязательно должен быть метризуемым, но каждый комплекс CW имеет гомотопический тип ANR (который метризуем по определению).
• Каждое ANR X в локально стягиваемо том смысле, что для любой открытой окрестности ${\textstyle U}$ точки ${\textstyle x}$ в ${\textstyle X}$, есть открытое окружение ${\textstyle V}$ из ${\textstyle x}$ содержится в ${\textstyle U}$ такое, что включение ${\textstyle V\hookrightarrow U}$ гомотопно постоянному отображению . Конечномерное . метризуемое пространство является ANR тогда и только тогда, когда оно локально стягиваемо в этом смысле Например, множество Кантора — это компактное подмножество реальной линии, которое не является ANR, поскольку оно даже не локально связно .
• Контрпримеры: Борсук нашел компактное подмножество ${\textstyle \mathbb {R} ^{3}}$ это ANR, но не сжимаемый строго локально. (Пространство строго локально сжимаемо, если каждая открытая окрестность ${\textstyle U}$ каждой точки ${\textstyle x}$ содержит сжимаемую открытую окрестность ${\textstyle x}$.) Борсук также нашел компактное подмножество гильбертова куба, которое является локально стягиваемым (как определено выше), но не является ANR.
• Каждый ANR имеет гомотопический тип комплекса CW по Уайтхеду и Милнору . Более того, локально компактный ANR имеет гомотопический тип локально конечного комплекса CW; и, по мнению Уэста, компактный ANR имеет гомотопический тип конечного комплекса CW. В этом смысле ANR избегают всех гомотопических патологий произвольных топологических пространств. Например, для ANR справедлива теорема Уайтхеда : отображение ANR, которое индуцирует изоморфизм гомотопических групп (для любого выбора базовой точки), является гомотопической эквивалентностью. Поскольку ANR включают топологические многообразия, гильбертовы кубические многообразия, банаховы многообразия и т. д., эти результаты применимы к большому классу пространств.
• Многие пространства отображения являются ANR. В частности, пусть Y — ANR с замкнутым подпространством A которое является ANR, и пусть X — любое компактное метризуемое пространство с замкнутым подпространством B. , Тогда пространство ${\textstyle \left(Y,A\right)^{\left(X,B\right)}}$ карт пар ${\textstyle \left(X,B\right)\rightarrow \left(Y,A\right)}$ (с компактно-открытой топологией в пространстве отображений ) является ANR. Отсюда следует, например, что пространство петель любого комплекса CW имеет гомотопический тип комплекса CW.
• По Коти, метризуемое пространство ${\textstyle X}$ является ANR тогда и только тогда, когда каждое открытое подмножество ${\textstyle X}$ имеет гомотопический тип комплекса CW.
• По Коти существует метрическое линейное пространство ${\textstyle V}$ (имеется в виду топологическое векторное пространство с трансляционно-инвариантной метрикой), которое не является AR. можно взять ${\textstyle V}$ быть сепарабельным и F-пространством (т. е. полным метрическим линейным пространством). (По приведенной выше теореме Дугунджи ${\textstyle V}$ не может быть локально выпуклым.) Поскольку ${\textstyle V}$ является сжимаемым и не является AR, это также не ANR. По теореме Коти, приведенной выше, ${\textstyle V}$ имеет открытое подмножество ${\textstyle U}$ это не гомотопически эквивалентно комплексу CW. Таким образом, существует метризуемое пространство ${\textstyle U}$ который строго локально сжимаем, но не гомотопически эквивалентен комплексу CW. Неизвестно, должно ли компактное (или локально компактное) метризуемое пространство, строго локально стягиваемое, быть ANR.

Ссылки

• Борсук, Кароль (1931), «Sur les retractes» , Fundamenta Mathematicae , 17 : 152–170, doi : 10.4064/fm-17-1-152-170 , Zbl   0003.02701
• Борсук, Кароль (1967), Теория ретрактов , Варшава: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, MR   0216473
• Коти, Роберт (1994), «Характеристика абсолютных ретрактов окрестностей» , Fundamenta Mathematicae , 144 : 11–22, doi : 10.4064/fm-144-1-11-22 , MR   1271475
• Коти, Роберт (1994), «Линейное метрическое пространство, которое не является абсолютным ретрактом» , Fundamenta Mathematicae , 146 : 85–99, doi : 10.4064/fm-146-1-85-99 , MR   1305261
• Фрич, Рудольф; Пиччинини, Ренцо (1990), Клеточные структуры в топологии , издательство Кембриджского университета , ISBN  0-521-32784-9 , МР   1074175
• Хэтчер, Аллен (2002), Алгебраическая топология , издательство Кембриджского университета , ISBN  0-521-79540-0 , МР   1867354
• Ху, Сзе-Цен (1965), Теория ретрактов , издательство Wayne State University Press, MR   0181977
• Мардешич, Сибе (1999), «Абсолютные ретракты окрестностей и теория формы», Джеймс, И.М. (редактор), История топологии , Амстердам: Северная Голландия , стр. 241–269, ISBN  0-444-82375-1 , МР   1674915
• Мэй, Дж. Питер (1999), Краткий курс алгебраической топологии (PDF) , University of Chicago Press , ISBN  0-226-51182-0 , МР   1702278
• Милнор, Джон (1959), «О пространствах, имеющих гомотопический тип CW-комплекса», Transactions of the American Mathematical Society , 90 (2): 272–280, doi : 10.2307/1993204 , JSTOR   1993204 , MR   0100267
• Пуппе, Дитер (1967), «Замечания о расширении гомотопий», Archives of Mathematics , 18 : 81–88, doi : 10.1007/BF01899475 , MR   0206954 , S2CID   120021003
• Уэст, Джеймс (2004), «Абсолютные ретракты», в Харт, КП (редактор), Энциклопедия общей топологии , Амстердам: Elsevier , ISBN  0-444-50355-2 , МР   2049453

Внешние ссылки

• В эту статью включены материалы из отзыва Neighborhood на сайте PlanetMath , который доступен под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .