Размер покрытия Лебега

В математике или размерность покрытия Лебега топологическая размерность топологического пространства — это один из нескольких различных способов определения размерности пространства в топологически инвариантным способом.

Неформальное обсуждение

Для обычных евклидовых пространств размерность покрытия Лебега — это обычная евклидова размерность: ноль для точек, один для линий, два для плоскостей и так далее. Однако не все топологические пространства имеют такую ​​«очевидную» размерность , поэтому в таких случаях необходимо точное определение. Определение продолжается с рассмотрения того, что происходит, когда пространство покрывается открытыми множествами .

В общем, топологическое пространство X может быть покрыто открытыми множествами , поскольку можно найти набор открытых множеств, такой что X лежит внутри их объединения . Размерность покрытия — это наименьшее число n такое, что для каждого покрытия существует уточнение , при котором каждая точка из X лежит на пересечении не более чем n + 1 покрывающего множества. В этом суть формального определения, приведенного ниже. Целью определения является предоставление числа ( целого числа ), которое описывает пространство и не меняется, поскольку пространство постоянно деформируется; то есть число, инвариантное относительно гомеоморфизмов .

Общая идея проиллюстрирована на схемах ниже, на которых изображена крышка и уточнения круга и квадрата.

Доработка покрытия круга

На первом изображении показана доработка (внизу) цветной крышки (вверху) черной круговой линии. Обратите внимание, что в уточнении ни одна точка окружности не содержится более чем в двух множествах, а также то, как множества связываются друг с другом, образуя «цепочку».

Доработка обложки квадрата

В верхней половине второго изображения показана обложка (цветная) плоской фигуры (темная), где все точки фигуры содержатся в любом месте от одного до всех четырех наборов обложки. Внизу показано, что любая попытка уточнить указанное покрытие так, чтобы ни одна точка не содержалась более чем в двух множествах, в конечном итоге терпит неудачу на пересечении границ множества. Таким образом, плоская форма не является «паутинкой»: она не может быть покрыта «цепями» как таковыми. оказывается толще Вместо этого он в некотором смысле . Строго говоря, его топологическая размерность должна быть больше 1.

Формальное определение

Анри Лебег использовал закрытые «кирпичи» для изучения размеров покрытия в 1921 году.

Первое формальное определение размерности покрытия было дано Эдуардом Чехом на основе более раннего результата Анри Лебега .

Современное определение следующее. Открытое покрытие топологического пространства X — это семейство открытых множеств U _α, объединение которых представляет собой все пространство. $\cup _{\alpha }$ U _α знак равно Икс . Порядок или открытой слой крышки ${\mathfrak {A}}$ = { U _α } — наименьшее число m (если оно существует), для которого каждая точка пространства принадлежит не более чем m открытым множествам покрытия: другими словами, U _{α 1} ∩ ⋅⋅⋅ ∩ U _{α m +1} = $\emptyset$ для α ₁ , ..., α _{m +1} различны. Доработка открытой крышки ${\mathfrak {A}}$ = { U _α } — еще одно открытое покрытие ${\mathfrak {B}}$ = { V _β }, такой что каждый V _β содержится в некотором U _α . Размерность покрытия топологического пространства X определяется как минимальное значение n такое, что каждое конечное открытое покрытие ${\mathfrak {A}}$ из X имеет открытое уточнение ${\mathfrak {B}}$ порядка n + 1. Уточнение ${\mathfrak {B}}$ всегда можно выбрать конечным. Таким образом, если n конечно, V _{β 1} ∩ ⋅⋅⋅ ∩ V _{β n +2} = $\emptyset$ для β ₁ , ..., β _{n +2} различны. Если такого минимального n не существует, говорят, что пространство имеет бесконечную размерность покрытия.

В частном случае непустое топологическое пространство является нульмерным относительно покрывающей размерности, если каждое открытое покрытие пространства имеет уточнение, состоящее из непересекающихся открытых множеств, то есть любая точка пространства содержится ровно в одном открытом множестве. этой доработки.

Примеры

Пустое множество имеет размерность покрытия -1: для любого открытого покрытия пустого множества каждая точка пустого множества не содержится ни в одном элементе покрытия, поэтому порядок любого открытого покрытия равен 0.

Любое открытое покрытие единичной окружности будет иметь уточнение, состоящее из набора открытых дуг. Согласно этому определению, круг имеет размерность один, потому что любое такое покрытие может быть дополнительно уточнено до такой степени, что данная точка x круга содержится не более чем в двух открытых дугах. То есть, с какой бы коллекции дуг мы ни начали, некоторые из них можно отбросить или сжать, так что оставшаяся часть по-прежнему будет покрывать круг, но с простым перекрытием.

Аналогично любое открытое покрытие единичного круга в двумерной плоскости можно уточнить так, чтобы любая точка диска содержалась не более чем в трех открытых множествах, тогда как двух, вообще говоря, недостаточно. Таким образом, покрывающий размер диска равен двум.

В более общем смысле, n -мерное евклидово пространство $\mathbb {E} ^{n}$ имеет размерность покрытия n .

Свойства

• Гомеоморфные пространства имеют одинаковую накрывающую размерность. То есть покрывающая размерность является топологическим инвариантом .
• Накрывающая размерность нормального пространства X равна $\leq n$ тогда и только тогда, когда для любого замкнутого подмножества A в X , если $f:A\rightarrow S^{n}$ непрерывна, то имеет место продолжение $f$ к $g:X\rightarrow S^{n}$. Здесь, $S^{n}$ представляет собой n -мерную сферу .
• Теорема Остранда о цветной размерности. Если X — нормальное топологическое пространство и ${\mathfrak {A}}$ = { U _α } — локально конечное покрытие X порядка ⩽ n + 1, то для каждого 1 ⩽ i ⩽ n + 1 существует семейство попарно непересекающихся открытых множеств ${\mathfrak {B}}$_я знак равно { V _{я , α} } сокращение ${\mathfrak {A}}$, т.е. , _{Vi α ⊆} U α _, и вместе покрывающие X .

измерения

• Для паракомпакта X размерность покрытия может быть эквивалентным образом определена как минимальное значение n , такое, что каждое открытое покрытие ${\mathfrak {A}}$ из X (любого размера) имеет открытое уточнение ${\mathfrak {B}}$ с порядком n + 1. В частности, это справедливо для всех метрических пространств.
• Теорема Лебега о покрытии. Размерность накрытия Лебега совпадает с аффинной размерностью конечного симплициального комплекса .
• Покрывающая размерность нормального пространства меньше или равна большой индуктивной размерности .
• Накрывающая размерность паракомпактного хаусдорфова пространства. $X$ больше или равно своей когомологической размерности (в смысле пучков ), то есть у человека есть $H^{i}(X,A)=0$ за каждый сноп $A$ абелевых групп на $X$ и каждый $i$ больше, чем размер покрытия $X$.
• В метрическом пространстве можно усилить понятие кратности покрытия: покрытие имеет r -кратность n + 1 , если каждый r -шар пересекается не более чем с n + 1 множествами в покрытии. Эта идея приводит к определениям асимптотической размерности и размерности Ассуада-Нагаты пространства: пространство с асимптотической размерностью n является n -мерным «в больших масштабах», а пространство с размерностью Ассуада-Нагаты n является n -мерным «в любой масштаб».

См. также

• Теорема Каратеодори о продолжении
• Задача о покрытии геометрического множества
• Теория размерности
• Метакомпактное пространство
• Точечно-конечная коллекция

Ссылки

• Эдгар, Джеральд А. (2008). «Топологическое измерение». Мера, топология и фрактальная геометрия . Тексты для студентов по математике (второе изд.). Спрингер-Верлаг . стр. 85–114. ISBN  978-0-387-74748-4 . МР   2356043 .
• Энгелькинг, Рышард (1978). Теория размерности (PDF) . Математическая библиотека Северной Голландии. Том. 19. Амстердам-Оксфорд-Нью-Йорк: Северная Голландия. ISBN  0-444-85176-3 . МР   0482697 .
• Годемент, Роджер (1958). Алгебраическая топология и теория пучков . Публикации Института математики Страсбургского университета (на французском языке). Полет. III. Париж: Германн. МР   0102797 .
• Гуревич, Витольд; Уоллман, Генри (1941). Теория размерности . Принстонская математическая серия. Том. 4. Издательство Принстонского университета . МР   0006493 .
• Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (2-е изд.). Прентис-Холл. ISBN  0-13-181629-2 . МР   3728284 .
• Остранд, Филипп А. (1971). «Охватывающее измерение в общих пространствах». Общая топология и прил . 1 (3): 209–221. МР   0288741 .

Дальнейшее чтение

Исторический

• Карл Менгер , Общие пространства и декартовы пространства , (1926) Сообщения Амстердамской академии наук. Английский перевод перепечатан в журнале Classics on Fractals , Джеральд А.Эдгар, редактор, Addison-Wesley (1993). ISBN   0-201-58701-7
• Карл Менгер , Теория размерностей , (1928) Издательство BG Teubner, Лейпциг.

Современный

• Груши, Алан Р. (1975). Теория размерности общих пространств . Издательство Кембриджского университета . ISBN  0-521-20515-8 . МР   0394604 .
• В. В. Федорчук, « Основы теории размерности» , опубликованные в Энциклопедии математических наук, том 17, «Общая топология I» , (1993) А. В. Архангельский и Л. С. Понтрягин (ред.), Springer-Verlag, Берлин ISBN   3-540-18178-4 .

Внешние ссылки

• «Лебеговское измерение» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]