Четырехмерное пространство

Анимация трансформирующегося тессеракта или 4-куба — Четырехмерный эквивалент куба известен как тессеракт , который здесь вращается в четырехмерном пространстве, но проецируется в двух измерениях для отображения.

Четырехмерное пространство ( 4D ) — это математическое расширение понятия трехмерного пространства (3D). Трехмерное пространство — это простейшая возможная абстракция наблюдения о том, что нужны всего три числа, называемые измерениями для описания размеров или расположения объектов в повседневном мире . Например, объем прямоугольной коробки можно найти путем измерения и умножения ее длины, ширины и высоты (часто обозначаемых $x$ , $y$ и $z$ ). Эта концепция обычного пространства называется евклидовым пространством, поскольку она соответствует геометрии Евклида , которая изначально была абстрагирована от пространственного опыта повседневной жизни.

Идея добавления четвертого измерения появляется в книге Жана ле Рона Даламбера «Измерения», опубликованной в 1754 году. ^[1]но математика более чем трех измерений появилась только в 19 веке . Общая концепция евклидова пространства с любым числом измерений была полностью разработана швейцарским математиком Людвигом Шлефли до 1853 года. Работа Шлефли при его жизни не привлекла особого внимания и была опубликована только посмертно, в 1901 году. ^[2]но тем временем четвертое евклидово измерение было заново открыто другими. В 1880 году Чарльз Говард Хинтон популяризировал его в эссе « Что такое четвертое измерение? », в котором он объяснил концепцию « четырехмерного куба » с помощью пошагового обобщения свойств линий, квадратов, и кубики. Самая простая форма метода Хинтона — нарисовать два обычных 3D-куба в 2D-пространстве, один охватывающий другой, разделенные «невидимым» расстоянием, а затем нарисовать линии между их эквивалентными вершинами. Это можно увидеть в сопровождающей анимации, когда она показывает меньший внутренний куб внутри большего внешнего куба. Восемь линий, соединяющих вершины двух кубов, в данном случае представляют собой одно направление в «невидимом» четвёртом измерении.

Пространства более высокой размерности (более трех) с тех пор стали одной из основ формального выражения современной математики и физики. Большая часть этих тем не могла бы существовать в их нынешнем виде без использования таких пространств. Эйнштейна . Теория относительности сформулирована в четырехмерном пространстве, хотя и не в евклидовом четырехмерном пространстве Эйнштейна Концепция пространства-времени имеет структуру Минковского, основанную на неевклидовой геометрии с тремя пространственными измерениями и одним временным измерением, а не четырьмя симметричными пространственными измерениями евклидова 4D пространства Шлефли .

Отдельные местоположения в евклидовом 4D-пространстве могут быть заданы как векторы или кортежи из 4 элементов , то есть как упорядоченные списки чисел, такие как $(x, y, z, w)$ . Только когда такие места объединяются в более сложные формы, проявляется полное богатство и геометрическая сложность пространств более высоких измерений. Намек на эту сложность можно увидеть в сопровождающей 2D-анимации одного из простейших обычных 4D-объектов , тессеракта , который аналогичен 3D- кубу .

История [ править ]

Лагранж писал в своей «Аналитической механике» (опубликованной в 1788 году на основе работы, выполненной около 1755 года), что механику можно рассматривать как действующую в четырехмерном пространстве — трех измерениях пространства и одном измерении времени. ^[3] Еще в 1827 году Мёбиус понял, что четвертое пространственное измерение позволит поворачивать трехмерную форму в ее зеркальное изображение. ^[4] Общая концепция евклидова пространства с любым числом измерений была полностью развита швейцарским математиком Людвигом Шлефли в середине XIX века, в то время, когда Кэли , Грассман и Мёбиус были единственными людьми, которые когда-либо предполагали возможность геометрии в более трех измерений. ^[5] К 1853 году Шлефли открыл все правильные многогранники , существующие в более высоких измерениях, включая четырехмерные аналоги Платоновых тел .

Арифметика четырех пространственных измерений, называемая кватернионами , была определена Уильямом Роуэном Гамильтоном в 1843 году. Эта ассоциативная алгебра была источником науки векторного анализа в трех измерениях, как описано Майклом Дж. Кроу в «Истории векторного анализа» . Вскоре после этого и кокватернионы были введены как другие четырехмерные алгебры над R. тессарины В 1886 году Виктор Шлегель описал ^[6] его метод визуализации четырехмерных объектов с помощью диаграмм Шлегеля .

Одним из первых популярных исследователей четвертого измерения был Чарльз Говард Хинтон , начавший в 1880 году со своего эссе « Что такое четвертое измерение?» , опубликованное в журнале Дублинского университета . ^[7] Он ввел термины тессеракт , ана и ката в своей книге «Новая эра мысли» и представил метод визуализации четвертого измерения с помощью кубов в книге «Четвертое измерение» . ^[8]^[9] на создание фантазии о «Церкви четвертого измерения», опубликованной Идеи Хинтона вдохновили Мартина Гарднера в январе 1962 года в его колонке «Математические игры » в журнале Scientific American .

Неевклидовы пространства более высоких размерностей были поставлены на прочную основу Бернхарда Римана 1854 года диссертацией « Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grundeliegen» , в которой он рассматривал «точку» как любую последовательность координат $(x 1, .. ., х н)$ . В 1908 году Герман Минковский представил доклад. ^[10] закрепление роли времени как четвертого измерения пространства-времени , основы относительности Эйнштейна теории специальной и общей . ^[11]Но геометрия пространства-времени, будучи неевклидовой , глубоко отличается от той, которую исследовал Шлефли и популяризировал Хинтон. Изучение пространства Минковского потребовало математики Римана, которая совершенно отличается от математики четырехмерного евклидова пространства и поэтому развивалась по совершенно другим направлениям. В народном воображении это разделение было менее четким, поскольку художественные и философские произведения стирали это различие, поэтому в 1973 году Х. С. М. Коксетер почувствовал себя обязанным написать:

Мало что можно получить, если представить четвертое евклидово измерение как время . Фактически, эта идея, столь привлекательно развитая Гербертом Уэллсом в «Машине времени» , привела таких авторов, как Джон Уильям Данн ( «Эксперимент со временем »), к серьезному заблуждению в отношении теории относительности. Геометрия пространства-времени Минковского не является евклидовой и, следовательно, не имеет никакого отношения к настоящему исследованию.
— HSM Коксетер , Правильные многогранники ^[12]

Векторы [ править ]

Математически четырехмерное пространство — это пространство требуется четыре параметра , которому для определения точки в нем . Например, общая точка может иметь вектор $положения a$ , равный

\mathbf {a} ={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\a_{4}\end{pmatrix}}.

терминах четырех базисных векторов $(e1 стандартных, e2 заданных, e3,, e4 формулой)$ Это можно записать в

\mathbf {e} _{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}};\mathbf {e} _{2}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}};\mathbf {e} _{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}};\mathbf {e} _{4}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}},

поэтому общий вектор $a$ равен

\mathbf {a} =a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+a_{3}\mathbf {e} _{3}+a_{4}\mathbf {e} _{4}.

Векторы складывают, вычитают и масштабируют как в трех измерениях.

Скалярное произведение евклидова трехмерного пространства обобщается на четыре измерения как

\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}+a_{4}b_{4}.

Его можно использовать для вычисления нормы или длины вектора.

\left|\mathbf {a} \right|={\sqrt {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}={\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2}}},

и вычислить или определить угол между двумя ненулевыми векторами как

\theta =\arccos {\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {b} \right|}}.

Пространство-время Минковского — это четырехмерное пространство с геометрией, определяемой невырожденной парой , отличной от скалярного произведения:

\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4}.

Например, квадрат расстояния между точками $(0,0,0,0)$ и $(1,1,1,0)$ равен 3 как в евклидовом, так и в 4-пространстве Минковского, а квадрат расстояния между $(0,0 ,0,0)$ и $(1,1,1,1)$ равно 4 в евклидовом пространстве и 2 в пространстве Минковского; увеличение $b 4$ уменьшает метрическое расстояние. Это приводит ко многим хорошо известным очевидным «парадоксам» теории относительности.

Перекрестное произведение не определено в четырех измерениях. Вместо этого для некоторых приложений используется внешний продукт и определяется следующим образом:

{\begin{aligned}\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} =(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\mathbf {e} _{12}+(a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1})\mathbf {e} _{13}+(a_{1}b_{4}-a_{4}b_{1})\mathbf {e} _{14}+(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\mathbf {e} _{23}\\+(a_{2}b_{4}-a_{4}b_{2})\mathbf {e} _{24}+(a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3})\mathbf {e} _{34}.\end{aligned}}

Это значение бивектора : бивекторы в четырех измерениях образуют шестимерное линейное пространство с базисом $(e 12, e 13, e 14, e 23, e 24, e 34)$ . Их можно использовать для создания вращения в четырех измерениях.

и запас словарный Ортогональность

В знакомом трехмерном пространстве повседневной жизни есть три оси координат , обычно обозначаемые $x$ , $y$ и $z$ , каждая из которых ортогональна (т. е. перпендикулярна) двум другим. Шесть основных направлений в этом пространстве можно назвать вверх , вниз , восток , запад , север и юг . Позиции вдоль этих осей можно назвать высотой , долготой и широтой . Длины, измеренные по этим осям, можно назвать высотой , шириной и глубиной .

Для сравнения, четырехмерное пространство имеет дополнительную ось координат, ортогональную остальным трем, которая обычно обозначается $w$ . Чтобы описать два дополнительных основных направления, Чарльз Говард Хинтон ввёл термины ана и ката , от греческих слов, означающих «вверх к» и «вниз» соответственно. ^[8]^: 160

Как упоминалось выше, Герман Минковский использовал идею четырех измерений для обсуждения космологии, включая конечную скорость света . Добавляя измерение времени к трехмерному пространству, он определил альтернативную перпендикулярность — гиперболическую ортогональность . Это понятие придает его четырехмерному пространству модифицированную одновременность , соответствующую электромагнитным отношениям в его космосе. Мир Минковского преодолел проблемы, связанные с традиционной космологией абсолютного пространства и времени , ранее использовавшейся во Вселенной с тремя пространственными измерениями и одним временным измерением.

Геометрия [ править ]

Геометрия четырехмерного пространства намного сложнее, чем геометрия трехмерного пространства, из-за дополнительной степени свободы.

Подобно тому, как в трёх измерениях существуют многогранники , состоящие из двумерных многоугольников , в четырёх измерениях существуют многогранники, состоящие из многогранников. В трёх измерениях существует пять правильных многогранников, известных как Платоновы тела . В четырех измерениях существует 6 выпуклых правильных 4-многогранников , аналогов Платоновых тел. Ослабление условий регулярности приводит к появлению еще 58 выпуклых однородных 4-многогранников , аналогичных 13 полуправильным архимедовым телам в трех измерениях. Ослабление условий выпуклости порождает еще 10 невыпуклых правильных 4-многогранников.

Правильные многогранники в четырех измерениях
(Отображается в виде ортогональных проекций в каждой плоскости симметрии Кокстера)
A ₄, [3,3,3]	Б ₄ , [4,3,3]		Ф ₄ , [3,4,3]	Ч ₄ , [5,3,3]
5-клеточный {3,3,3}	тессеракт {4,3,3}	16-ячеечный {3,3,4}	24-ячеечный {3,4,3}	600-ячеечный {3,3,5}	120-ячеечный {5,3,3}

В трех измерениях круг можно выдавить , чтобы сформировать цилиндр . В четырех измерениях существует несколько различных цилиндрических объектов. Сферу можно выдавить, чтобы получить сферический цилиндр (цилиндр со сферическими «колпачками», известный как сфериндер ), а цилиндр можно выдавить, чтобы получить цилиндрическую призму (кубиндер). ^{[ нужна цитата ]}Декартово произведение двух кругов можно использовать для получения дуоцилиндра . Все трое могут «катиться» в четырехмерном пространстве, каждый со своими свойствами.

В трех измерениях кривые могут образовывать узлы , а поверхности – нет (если только они не являются самопересекающимися). Однако в четырех измерениях узлы, созданные с помощью кривых, можно тривиально развязать, переместив их в четвертом направлении, а двумерные поверхности могут образовывать нетривиальные, несамопересекающиеся узлы в четырехмерном пространстве. ^[13]^{[ нужна страница ]}Поскольку эти поверхности двумерны, они могут образовывать гораздо более сложные узлы, чем струны в трехмерном пространстве. Бутылка Клейна является примером такой узловатой поверхности. ^{[ нужна цитата ]} Другая такая поверхность — реальная проективная плоскость . ^{[ нужна цитата ]}

Гиперсфера [ править ]

Стереографическая проекция тора Клиффорда : набор точек $(cos(a), sin(a), cos(b), sin(b))$ , который является подмножеством 3-сферы .

Набор точек в евклидовом 4-пространстве , находящихся на одинаковом расстоянии $R$ от фиксированной точки $P 0,$ образует гиперповерхность , известную как 3-сфера . Гиперобъем закрытого помещения равен:

\mathbf {V} ={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\pi ^{2}R^{4}

Это часть метрики Фридмана-Леметра-Робертсона-Уокера в общей теории относительности , где $R$ заменяется функцией $R (t)$ , где $t$ означает космологический возраст Вселенной. Рост или уменьшение $R$ со временем означает расширение или сжатие Вселенной, в зависимости от плотности массы внутри. ^[14]

Четырехмерное восприятие у человека [ править ]

Исследования с использованием виртуальной реальности показывают, что люди, несмотря на то, что живут в трехмерном мире, могут без специальной практики делать пространственные суждения об сегментах линий, встроенных в четырехмерное пространство, на основе их длины (одномерный) и угла (двухмерный). -мерное) между ними. ^[15] Исследователи отметили, что «участники нашего исследования имели минимальную практику в решении этих задач, и остается открытым вопрос, можно ли получить более устойчивые, четкие и богатые 4D-представления с повышенным опытом восприятия в виртуальных 4D-средах». ^[15] В другом исследовании ^[16]Была проверена способность человека ориентироваться в 2D, 3D и 4D лабиринтах. Каждый лабиринт состоял из четырех отрезков пути произвольной длины, соединенных ортогональными случайными изгибами, но без ответвлений и петель (т.е. фактически лабиринтов ). Графический интерфейс был основан на бесплатной игре 4D Maze Джона Макинтоша. ^[17]Участники должны были пройти путь и, наконец, оценить линейное направление обратно к исходной точке. Исследователи обнаружили, что некоторые участники смогли мысленно интегрировать свой путь после некоторой практики в 4D (случаи нижнего измерения предназначались для сравнения и для участников, чтобы изучить метод).

Однако обзор 2020 года подчеркнул, что эти исследования состоят из небольшой выборки субъектов и в основном из студентов колледжей. Он также указал на другие проблемы, которые должны решить будущие исследования: устранение артефактов ( они могут быть вызваны, например, стратегиями решения требуемой задачи, которые не используют четырехмерное представление/четырехмерное рассуждение и обратную связь, предоставляемую исследователями для ускорения процесса). процесс адаптации) и анализ межсубъектной изменчивости (если 4D-восприятие возможно, его приобретение может быть ограничено подгруппой людей, конкретным критическим периодом или вниманием или мотивацией людей). Кроме того, неизвестно, существует ли более подходящий способ проецирования 4-мерного измерения (поскольку нет никаких ограничений на то, как можно проецировать 4-мерное измерение). Исследователи также предположили, что приобретение человеком четырехмерного восприятия может привести к активации зрительных областей мозга и энторинальной коры . Если это так, они предполагают, что это можно использовать в качестве сильного индикатора приобретения восприятия четырехмерного пространства. Авторы также предложили использовать множество различных архитектуры нейронных сетей (с разными априорными предположениями), чтобы понять, какие из них способны или не способны обучаться. ^[18]

Размерная аналогия [ править ]

Чтобы понять природу четырехмерного пространства, метод, называемый размерной аналогией обычно используется . Размерная аналогия — это исследование того, как ( $n - 1$ ) измерений соотносятся с $n$ измерениями, а затем вывод о том, как $n$ измерений будут соотноситься с ( $n + 1$ ) измерениями. ^[19]

Пространственную аналогию использовал Эдвин Эбботт Эбботт в книге «Флатландия» , повествующей историю о квадрате, живущем в двумерном мире, подобно поверхности листа бумаги. С точки зрения этого квадрата трехмерное существо обладает, казалось бы, богоподобными способностями, такими как способность вынимать предметы из сейфа, не взламывая его (путем перемещения их по третьему измерению), видеть все, что находится в двухмерном пространстве. пространственная перспектива заключена за стенами и оставаться совершенно невидимой, стоя на расстоянии нескольких дюймов в третьем измерении.

Применяя размерную аналогию, можно сделать вывод, что четырехмерное существо способно на аналогичные действия с трехмерной точки зрения. Руди Ракер иллюстрирует это в своем романе «Космическая страна» , в котором главный герой встречает четырехмерных существ, демонстрирующих такие способности.

Сечения [ править ]

Когда трехмерный объект проходит через двухмерную плоскость, двумерные существа в этой плоскости будут наблюдать только поперечное сечение трехмерного объекта внутри этой плоскости. Например, если сфера пройдет через лист бумаги, существа на бумаге сначала увидят одну точку. Круг постепенно увеличивается, пока не достигнет диаметра сферы, а затем снова уменьшается, пока не сожмется до точки и не исчезнет. 2D-существа не будут видеть круг так же, как трехмерные существа; скорее, они видят только одномерную проекцию круга на своей одномерной «сетчатке». Аналогично, если четырехмерный объект прошел через трехмерную (гипер) поверхность, можно было наблюдать трехмерное поперечное сечение четырехмерного объекта. Например, гиперсфера будет сначала выглядеть как точка, затем как растущая сфера (пока не достигнет «гипердиаметра» гиперсферы), затем сфера сожмется до одной точки, а затем исчезнет. ^[20] Этот способ визуализации аспектов четвертого измерения использовался в романе «Флатландия» , а также в нескольких произведениях Чарльза Говарда Хинтона . ^[8]^: 11–14 И точно так же трехмерные существа (например, люди с двухмерной сетчаткой) могут видеть все стороны и внутреннюю часть двухмерной формы одновременно, четырехмерное существо может видеть все лица и внутреннюю часть трехмерной формы одновременно. с их 3D сетчаткой.

Прогнозы [ править ]

Полезное применение размерной аналогии для визуализации более высоких измерений – это проекция . Проекция — это способ представления n -мерного объекта в $n -1$ измерениях. Например, экраны компьютеров двумерны, и все фотографии трехмерных людей, мест и вещей представляются в двух измерениях путем проецирования объектов на плоскую поверхность. При этом измерение, ортогональное экрану ( глубина ), удаляется и заменяется косвенной информацией. Сетчатка , глаза ракурса двумерный набор рецепторов также представляет собой но мозг может воспринимать природу трехмерных объектов на основании косвенной информации (например, затенения, , бинокулярного зрения и т. д.). Художники часто используют перспективу , чтобы придать двумерным изображениям иллюзию трехмерной глубины. Тень , отбрасываемая фиктивной сеточной моделью вращающегося тессеракта на плоскую поверхность, как показано на рисунках, также является результатом проекций.

Точно так же объекты четвертого измерения можно математически спроецировать на знакомые три измерения, где их будет удобнее исследовать. В этом случае «сетчатка» четырехмерного глаза представляет собой трехмерный массив рецепторов. Гипотетическое существо с таким глазом могло бы воспринимать природу четырехмерных объектов, делая вывод о четырехмерной глубине на основе косвенной информации в трехмерных изображениях на его сетчатке.

Перспективная проекция трехмерных объектов на сетчатку глаза вводит такие артефакты, как ракурс, который мозг интерпретирует как глубину в третьем измерении. Точно так же перспективная проекция из четырех измерений дает аналогичный эффект ракурса. Применяя размерную аналогию, можно сделать вывод о четырехмерной «глубине» этих эффектов.

В качестве иллюстрации этого принципа следующая последовательность изображений сравнивает различные виды трехмерного куба с аналогичными проекциями четырехмерного тессеракта в трехмерное пространство.

Куб	Тессеракт	Описание
		Изображение слева представляет собой куб, рассматриваемый лицом к лицу. Аналогичная точка зрения на тессеракт в 4 измерениях — это перспективная проекция «сначала ячейка» , показанная справа. Можно провести аналогию между ними: как куб проецируется в квадрат, так и тессеракт проецируется в куб. Обратите внимание, что остальные пять граней куба здесь не видны. Они скрыты видимым лицом. Аналогично, остальные 7 ячеек тессеракта здесь не видны, поскольку они скрыты видимой клеткой.
		На изображении слева показан тот же куб, видимый с ребра. Аналогичная точка зрения тессеракта — это перспективная проекция лицом вперед , показанная справа. Так же, как проекция куба, обращенная к ребру, состоит из двух трапеций , проекция тессеракта, обращенная к грани, состоит из двух усеченных трапеций . Ближайшее ребро куба с этой точки зрения находится между красной и зеленой гранями. Аналогично, ближайшая грань тессеракта находится между красной и зеленой клетками.
		Слева — куб, рассматриваемый углом вперед. Это аналогично перспективной проекции тессеракта с края, показанной справа. Так же, как проекция куба, ориентированная на вершину, состоит из трех дельтоидов, окружающих вершину, проекция тессеракта, ориентированная на ребро, состоит из трех шестигранных объемов, окружающих ребро. Подобно тому, как ближайшая вершина куба — это та, где встречаются три грани, ближайший край тессеракта — это тот, который находится в центре проекционного объема, где встречаются три ячейки.
		Можно провести другую аналогию между проекцией тессеракта, обращенной к ребру, и проекцией куба, обращенной к ребру. Проекция куба, ориентированная на ребро, имеет две трапеции, окружающие ребро, а тессеракт имеет три шестигранных объема, окружающих ребро.
		Слева — куб, рассматриваемый углом вперед. Перспективная проекция тессеракта по вершинам показана справа. Проекция куба, ведущая к вершине, имеет три тетрагона, окружающие вершину, но проекция тессеракта, ведущая к вершине, имеет четыре шестигранных объема, окружающих вершину. Как ближайший угол куба лежит в центре изображения, так и ближайшая вершина тессеракта лежит не на границе проецируемого объема, а в его центре внутри , где встречаются все четыре ячейки. Здесь можно увидеть только три из шести граней куба, потому что остальные три грани лежат за этими тремя гранями, на противоположной стороне куба. Точно так же здесь можно увидеть только четыре из восьми ячеек тессеракта; остальные четыре лежат позади этих четырех в четвертом направлении, на дальней стороне тессеракта.

Тени [ править ]

Концепция, тесно связанная с проекцией, — это отбрасывание теней.

Если свет падает на трехмерный объект, отбрасывается двухмерная тень. По аналогии с размерностями, свет, падающий на двумерный объект в двумерном мире, отбрасывал бы одномерную тень, а свет на одномерный объект в одномерном мире отбрасывал бы нульмерную тень, то есть , точка несвета. Идя другим путем, можно сделать вывод, что свет, падающий на четырехмерный объект в четырехмерном мире, отбрасывает трехмерную тень.

Если каркас куба освещен сверху, то результирующая тень на плоской двумерной поверхности представляет собой квадрат внутри квадрата с соединенными соответствующими углами. Точно так же, если бы каркас тессеракта был освещен «сверху» (в четвертом измерении), его тень была бы тенью трехмерного куба внутри другого трехмерного куба, подвешенного в воздухе («плоская» поверхность из четырехмерного пространства). -мерная перспектива). (Обратите внимание, что технически показанное здесь визуальное представление представляет собой двухмерное изображение трехмерной тени четырехмерной каркасной фигуры.)

Граничные регионы [ править ]

Аналогия с размерностями также помогает сделать вывод об основных свойствах объектов в более высоких измерениях, таких как ограничивающая область . Например, двумерные объекты ограничены одномерными границами: квадрат ограничен четырьмя ребрами. Трехмерные объекты ограничены двумерными поверхностями: куб ограничен шестью квадратными гранями.

Применяя размерную аналогию, можно сделать вывод, что четырехмерный куб, известный как тессеракт , ограничен трехмерными объемами. И действительно, это так: математика показывает, что тессеракт ограничен 8 кубами. Знание этого является ключом к пониманию того, как интерпретировать трехмерную проекцию тессеракта. Границы тессеракта проецируются на объемы изображения, а не просто на двумерные поверхности.

Гиперобъем [ править ]

или 4-объем гиперобъем в 4D можно рассчитать в замкнутой форме для простых геометрических фигур, таких как тессеракт ( s ⁴, для длины стороны s ) и 4-шара ( $\pi ^{2}r^{4}/2$ для радиуса r ).

Рассуждение по аналогии из знакомых низших измерений может быть отличным интуитивным руководством, но следует проявлять осторожность и не принимать результаты, которые не проверены более строго. Например, рассмотрим формулы площади, заключенной в круг в двух измерениях ( $A=\pi r^{2}$ ) и объем, заключенный в сфере в трех измерениях ( ${\textstyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$ ). Можно догадаться, что объем, заключенный сферой в четырехмерном пространстве, является рациональным кратным $\pi r^{4}$ , но правильный объем ${\frac {\pi ^{2}}{2}}r^{4}$ . ^[12] Объем n - шара в произвольном измерении n вычислим из рекуррентного соотношения, соединяющего измерение $n$ с измерением $n -2$ .

Визуальный охват [ править ]

У людей есть пространственное самовосприятие как существ в трехмерном пространстве, но они визуально ограничены одним измерением меньше: глаз видит мир как проекцию на два измерения на поверхности сетчатки . Если предположить, что четырехмерное существо способно видеть мир в проекциях на гиперповерхность, также всего на одно измерение меньше, т. е. в трех измерениях, оно сможет видеть, например, все шесть граней непрозрачного ящика одновременно, и в Фактически, то, что находится внутри коробки одновременно, подобно тому, как люди могут видеть на листе бумаги все четыре стороны и одновременно внутреннюю часть прямоугольника. ^{[ нужна цитата ]}Существо сможет одновременно различать все точки в трехмерном подпространстве, включая внутреннюю структуру твердых трехмерных объектов, вещи, скрытые с человеческой точки зрения в трех измерениях в двухмерных проекциях. Мозг получает изображения в двух измерениях и использует рассуждения, чтобы представить трехмерные объекты.

В культуре [ править ]

В искусстве [ править ]

Иллюстрация из « *Элементарного трактата о четырехмерной геометрии»* Жуффре . Книгу, оказавшую влияние на Пикассо, подарил ему Принсет.

Новые возможности, открытые концепцией четырехмерного пространства (и трудности, связанные с попытками его визуализировать), помогли вдохновить многих современных художников первой половины двадцатого века. Ранние кубисты , сюрреалисты , футуристы и художники -абстракционисты взяли идеи из многомерной математики и использовали их для радикального продвижения своей работы. ^[21]

В литературе [ править ]

В научно-фантастических текстах часто упоминается понятие «измерения», когда речь идет о параллельных или альтернативных вселенных или других воображаемых планах существования . Это использование происходит от идеи, что для путешествия в параллельные/альтернативные вселенные/планы существования нужно путешествовать в направлении/измерении, отличном от стандартных. По сути, другие вселенные/планы находятся всего лишь на небольшом расстоянии от нашего, но это расстояние находится в четвертом (или более высоком) пространственном (или непространственном) измерении, а не в стандартных.

Одной из самых известных научно-фантастических историй об истинной геометрической размерности, которую часто рекомендуют в качестве отправной точки для тех, кто только начинает исследовать подобные вопросы, является новелла «Флатландия» Эдвина А. Эбботта 1884 года. Айзек Азимов в своем предисловии к изданию Signet Classics 1984 года описал Флатландию как «лучшее введение в способ восприятия измерений», которое можно найти.

Идея других измерений была включена во многие ранние научно-фантастические рассказы, занимая видное место, например, в » Майлза Брейера ( «Аппендиксе и очках 1928) и » Мюррея Ленстера ( «Катапульта пятого измерения 1931); и к 1940-м годам нерегулярно появлялся в научной фантастике. Классические истории, связанные с другими измерениями, включают книгу Роберта А. Хайнлайна «И он построил кривой дом» (1941), в которой калифорнийский архитектор проектирует дом на основе трехмерной проекции тессеракта; Алана Э. Норса » «Тигр за хвостом и «Вселенная между» (оба 1951 г.); и «Если день богатства» (1957) Уолтера Тевиса . Другой отсылкой является Мадлен Л'Энгл « роман Трещина во времени » (1962), в котором пятое измерение используется как способ «тессерактирования вселенной» или «складывания» пространства для быстрого перемещения по нему. Четвертое и пятое измерения также являются ключевыми компонентами книги «Мальчик, который изменил себя» Уильяма Слитора .

В философии [ править ]

Иммануил Кант писал в 1783 году: «То, что везде пространство (которое само по себе не является границей другого пространства) имеет три измерения и что пространство вообще не может иметь больше измерений, основано на положении, что не более трёх линий могут пересекаться справа. углы в одной точке. Это положение вообще не может быть показано из понятий, но опирается непосредственно на интуицию, причем на чистую интуицию априорно, поскольку оно аподиктически (доказательно) достоверно». ^[22]

«Пространство имеет четыре измерения» — рассказ, опубликованный в 1846 году немецким философом и психологом-экспериментатором Густавом Фехнером под псевдонимом «Доктор Мизес». Главный герой сказки — тень, которая знает и способна общаться с другими тенями, но заперта на двумерной поверхности. По словам Фехнера, этот «человек-тень» представлял себе третье измерение как измерение времени. ^[23] Эта история очень похожа на « Аллегорию пещеры », представленную в Платона » « Государстве ( ок. 380 г. до н. э.).

статью Саймон Ньюкомб написал в 1898 году для Бюллетеня Американского математического общества под названием «Философия гиперпространства». ^[24] Линда Дэлримпл Хендерсон ввела термин «философия гиперпространства», используемый для описания письма, использующего высшие измерения для исследования метафизических тем, в своей диссертации 1983 года о четвертом измерении в искусстве начала двадцатого века. ^[25] Примеры «философов гиперпространства» включают Чарльза Говарда Хинтона , первого писателя, который в 1888 году использовал слово «тессеракт»; ^[26] и русский эзотерик П. Д. Успенский .

См. также [ править ]

Цитаты [ править ]

^ Каджори, Флориан (1926). «Истоки концепций четвертого измерения» . Американский математический ежемесячник . 33 (8) (опубликовано 6 марта 2018 г.): 397–406. дои : 10.1080/00029890.1926.11986607 . ISSN 0002-9890 . Проверено 10 октября 2022 г.
^ Шлефли 1901 .
^ Белл, ET (1965). Люди математики (1-е изд.). Нью-Йорк: Саймон и Шустер . п. 154. ИСБН 978-0-671-62818-5 .
^ Коксетер 1973 , с. 141, §7.x. Исторические замечания; « Еще в 1827 году Мёбиус понял, что для совмещения двух энантиоморфных твердых тел потребуется четырехмерное вращение. Эту идею аккуратно развил Герберт Уэллс в «Истории Платтнера ».
^ Коксетер 1973 , стр. 141–144, §7. Обыкновенные многогранники в высшем пространстве; §7.x. Исторические замечания; «Практически все идеи в этой главе... принадлежат Шлефли, который открыл их до 1853 года — времени, когда Кэли, Грассман и Мёбиус были единственными людьми, которые когда-либо осознавали возможность геометрии более чем в трех измерениях».
^ Шлегель, Виктор ; Товары (1886). О проекционных моделях ( правильных четырехмерных тел на немецком языке).
^ Хинтон, Чарльз Ховард (1980). Ракер, Рудольф против Б. (ред.). Размышления о четвертом измерении: избранные сочинения Чарльза Х. Хинтона . Нью-Йорк: Издательство Dover Publishing . п. VII. ISBN 978-0-486-23916-3 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Хинтон, Чарльз Ховард (1993) [1904]. Четвертое измерение . Помрой, Вашингтон: Исследования в области здравоохранения. п. 14. ISBN 978-0-7873-0410-2 . Проверено 17 февраля 2017 г. .
^ Гарднер, Мартин (1975). Математический карнавал: Из пенни-пазлов. Перетасовка карт и хитрости молниеносных калькуляторов для путешествия на американских горках в четвертое измерение (1-е изд.). Нью-Йорк: Кнопф . стр. 42, 52–53. ISBN 978-0-394-49406-7 .
^ Минковский, Герман (1909). «Пространство и время» [Пространство и время]. Физический журнал (на немецком языке). 10 :75–88 . Проверено 27 октября 2022 г. - из Wikisource.
^ Мюллер, К. (1972). Теория относительности (2-е изд.). Оксфорд: Кларендон Пресс. п. 93 . ISBN 978-0-19-851256-1 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Коксетер 1973 , с. 119
^ Картер, Дж. Скотт; Сайто, Масахико. Узловатые поверхности и их схемы . Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-7491-2 .
^ Д'Инверно, Рэй (1998). Знакомство с теорией относительности Эйнштейна (переиздание). Оксфорд: Кларендон Пресс. п. 319. ИСБН 978-0-19-859653-0 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Амбиндер, Майкл С.; Ван, Рансяо Фрэнсис; и другие. (октябрь 2009 г.). «Четырёхмерная пространственная интуиция человека в виртуальной реальности» . Психономический бюллетень и обзор . 16 (5): 818–823. дои : 10.3758/PBR.16.5.818 . ПМИД 19815783 .
^ Афлало, Теннесси; Грациано, MSA (2008). «Четырехмерное пространственное мышление человека» (PDF) . Журнал экспериментальной психологии: человеческое восприятие и деятельность . 34 (5): 1066–1077. CiteSeerX 10.1.1.505.5736 . дои : 10.1037/0096-1523.34.5.1066 . ПМИД 18823195 . Проверено 20 августа 2020 г.
^ Макинтош, Джон (ноябрь 2002 г.). «Игра 4D-лабиринт» . urticator.net . Проверено 16 декабря 2016 г.
^ Огмен, Халук; Сибата, Казухиса; Язданбахш, Араш (22 января 2020 г.). «Восприятие, познание и действие в гиперпространстве: влияние на пластичность мозга, обучение и познание» . Границы в психологии . 10 . Frontiers Media : 3000. doi : 10.3389/fpsyg.2019.03000 . ПМК 6987450 . ПМИД 32038384 .
^ Каку, Мичио (1995). Гиперпространство: научная одиссея через параллельные вселенные, деформации времени и десятое измерение (переизданное издание). Оксфорд: Издательство Оксфордского университета . стр. Часть I, Глава 3. ISBN. 978-0-19-286189-4 .
^ Ракер, Руди (1996). Четвертое измерение: экскурсия по высшей Вселенной . Бостон: Хоутон Миффлин . п. 18. ISBN 978-0-395-39388-8 .
^ Хендерсон, Линда Дэлримпл . «Обзор четвертого измерения и неевклидовой геометрии в современном искусстве, исправленное издание » . МТИ Пресс . Архивировано из оригинала 20 марта 2013 года . Проверено 24 марта 2013 г.
^ Пролегомены , § 12
^ Банчофф, Томас Ф. (1990). «От флэтландии к гиперграфике: взаимодействие с высшими измерениями» . Междисциплинарные научные обзоры . 15 (4): 364. Бибкод : 1990ISRv...15..364B . дои : 10.1179/030801890789797239 . Архивировано из оригинала 14 апреля 2013 г.
^ Ньюкомб, Саймон (1898). «Философия гиперпространства» . Бюллетень Американского математического общества . 4 (5): 187. дои : 10.1090/S0002-9904-1898-00478-0 .
^ Крюгер, Рунет (2007). «Искусство в четвертом измерении: придание формы форме – абстрактные картины Пита Мондриана» (PDF) . Пространства утопии: Электронный журнал (5): 11. Архивировано (PDF) из оригинала 29 сентября 2011 г.
^ Пиковер, Клиффорд А. (2009), «Тессеракт» , Книга математики: от Пифагора до 57-го измерения, 250 вех в истории математики , Sterling Publishing, стр. 282, ISBN 978-1-4027-5796-9 , заархивировано из оригинала 30 марта 2017 г.

Ссылки [ править ]

Шлефли, Людвиг (1901) [1852], Граф, Дж. Х. (ред.), Теория множественной непрерывности , переизданные историческими математическими монографиями библиотеки Корнелльского университета, 2010 г. (на немецком языке), Цюрих, Базель: Georg & Co., ISBN 978-1-4297-0481-6
Коксетер, HSM (1973) [1948]. Правильные многогранники (3-е изд.). Нью-Йорк: Дувр.

Дальнейшее чтение [ править ]

Арчибальд, Р.К. (1914). «Время как четвертое измерение» (PDF) . Бюллетень Американского математического общества : 409–412.
Эндрю Форсайт (1930) Геометрия четырех измерений , ссылка из Интернет-архива .
Гамов, Георгий (1988). Один два три . . . Бесконечность: факты и предположения науки (3-е изд.). Публикации Courier Dover. п. 68. ИСБН 978-0-486-25664-1 . Выдержка со страницы 68
Э. Х. Невилл (1921) «Четвертое измерение» , издательство Кембриджского университета , ссылка из Мичиганского университета . коллекции исторической математики

Внешние ссылки [ править ]

[1] Каджори, Флориан (1926). «Истоки концепций четвертого измерения» . Американский математический ежемесячник . 33 (8) (опубликовано 6 марта 2018 г.): 397–406. дои : 10.1080/00029890.1926.11986607 . ISSN 0002-9890 . Проверено 10 октября 2022 г.

[FOOTNOTESchläfli1901-2] Шлефли 1901 .

[3] Белл, ET (1965). Люди математики (1-е изд.). Нью-Йорк: Саймон и Шустер . п. 154. ИСБН 978-0-671-62818-5 .

[FOOTNOTECoxeter1973141§7.x._Historical_remarks-4] Коксетер 1973 , с. 141, §7.x. Исторические замечания; « Еще в 1827 году Мёбиус понял, что для совмещения двух энантиоморфных твердых тел потребуется четырехмерное вращение. Эту идею аккуратно развил Герберт Уэллс в «Истории Платтнера ».

[FOOTNOTECoxeter1973141–144§7._Ordinary_Polytopes_in_Higher_Space;_§7.x._Historical_remarks-5] Коксетер 1973 , стр. 141–144, §7. Обыкновенные многогранники в высшем пространстве; §7.x. Исторические замечания; «Практически все идеи в этой главе... принадлежат Шлефли, который открыл их до 1853 года — времени, когда Кэли, Грассман и Мёбиус были единственными людьми, которые когда-либо осознавали возможность геометрии более чем в трех измерениях».

[6] Шлегель, Виктор ; Товары (1886). О проекционных моделях ( правильных четырехмерных тел на немецком языке).

[7] Хинтон, Чарльз Ховард (1980). Ракер, Рудольф против Б. (ред.). Размышления о четвертом измерении: избранные сочинения Чарльза Х. Хинтона . Нью-Йорк: Издательство Dover Publishing . п. VII. ISBN 978-0-486-23916-3 .

[Hinton-8] Перейти обратно: ^а ^б ^с Хинтон, Чарльз Ховард (1993) [1904]. Четвертое измерение . Помрой, Вашингтон: Исследования в области здравоохранения. п. 14. ISBN 978-0-7873-0410-2 . Проверено 17 февраля 2017 г. .

[9] Гарднер, Мартин (1975). Математический карнавал: Из пенни-пазлов. Перетасовка карт и хитрости молниеносных калькуляторов для путешествия на американских горках в четвертое измерение (1-е изд.). Нью-Йорк: Кнопф . стр. 42, 52–53. ISBN 978-0-394-49406-7 .

[10] Минковский, Герман (1909). «Пространство и время» [Пространство и время]. Физический журнал (на немецком языке). 10 :75–88 . Проверено 27 октября 2022 г. - из Wikisource.

[Møller-11] Мюллер, К. (1972). Теория относительности (2-е изд.). Оксфорд: Кларендон Пресс. п. 93 . ISBN 978-0-19-851256-1 .

[FOOTNOTECoxeter1973119-12] Перейти обратно: ^а ^б Коксетер 1973 , с. 119

[13] Картер, Дж. Скотт; Сайто, Масахико. Узловатые поверхности и их схемы . Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-7491-2 .

[14] Д'Инверно, Рэй (1998). Знакомство с теорией относительности Эйнштейна (переиздание). Оксфорд: Кларендон Пресс. п. 319. ИСБН 978-0-19-859653-0 .

[Ambinder-15] Перейти обратно: ^а ^б Амбиндер, Майкл С.; Ван, Рансяо Фрэнсис; и другие. (октябрь 2009 г.). «Четырёхмерная пространственная интуиция человека в виртуальной реальности» . Психономический бюллетень и обзор . 16 (5): 818–823. дои : 10.3758/PBR.16.5.818 . ПМИД 19815783 .

[Aflalo-16] Афлало, Теннесси; Грациано, MSA (2008). «Четырехмерное пространственное мышление человека» (PDF) . Журнал экспериментальной психологии: человеческое восприятие и деятельность . 34 (5): 1066–1077. CiteSeerX 10.1.1.505.5736 . дои : 10.1037/0096-1523.34.5.1066 . ПМИД 18823195 . Проверено 20 августа 2020 г.

[McIntosh-17] Макинтош, Джон (ноябрь 2002 г.). «Игра 4D-лабиринт» . urticator.net . Проверено 16 декабря 2016 г.

[Ogmen-18] Огмен, Халук; Сибата, Казухиса; Язданбахш, Араш (22 января 2020 г.). «Восприятие, познание и действие в гиперпространстве: влияние на пластичность мозга, обучение и познание» . Границы в психологии . 10 . Frontiers Media : 3000. doi : 10.3389/fpsyg.2019.03000 . ПМК 6987450 . ПМИД 32038384 .

[19] Каку, Мичио (1995). Гиперпространство: научная одиссея через параллельные вселенные, деформации времени и десятое измерение (переизданное издание). Оксфорд: Издательство Оксфордского университета . стр. Часть I, Глава 3. ISBN. 978-0-19-286189-4 .

[20] Ракер, Руди (1996). Четвертое измерение: экскурсия по высшей Вселенной . Бостон: Хоутон Миффлин . п. 18. ISBN 978-0-395-39388-8 .

[21] Хендерсон, Линда Дэлримпл . «Обзор четвертого измерения и неевклидовой геометрии в современном искусстве, исправленное издание » . МТИ Пресс . Архивировано из оригинала 20 марта 2013 года . Проверено 24 марта 2013 г.

[22] Пролегомены , § 12

[23] Банчофф, Томас Ф. (1990). «От флэтландии к гиперграфике: взаимодействие с высшими измерениями» . Междисциплинарные научные обзоры . 15 (4): 364. Бибкод : 1990ISRv...15..364B . дои : 10.1179/030801890789797239 . Архивировано из оригинала 14 апреля 2013 г.

[24] Ньюкомб, Саймон (1898). «Философия гиперпространства» . Бюллетень Американского математического общества . 4 (5): 187. дои : 10.1090/S0002-9904-1898-00478-0 .

[25] Крюгер, Рунет (2007). «Искусство в четвертом измерении: придание формы форме – абстрактные картины Пита Мондриана» (PDF) . Пространства утопии: Электронный журнал (5): 11. Архивировано (PDF) из оригинала 29 сентября 2011 г.

[26] Пиковер, Клиффорд А. (2009), «Тессеракт» , Книга математики: от Пифагора до 57-го измерения, 250 вех в истории математики , Sterling Publishing, стр. 282, ISBN 978-1-4027-5796-9 , заархивировано из оригинала 30 марта 2017 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

v т Это Измерение
Габаритные пространства	Векторное пространство Евклидово пространство Аффинное пространство Проективное пространство Бесплатный модуль Многообразие Алгебраическое разнообразие Пространство-время
Другие размеры	Крулл Лебеговое покрытие Индуктивный Хаусдорф Минковский фрактал Степени свободы
Многогранники и фигуры	Гиперплоскость Гиперповерхность Гиперкуб Гиперпрямоугольник Демигиперкуб Гиперсфера Кросс-многогранник Симплекс Гиперпирамида
Размеры по номеру	Нуль Один Два Три Четыре Пять Шесть Семь Восемь n -размеры
Смотрите также	Гиперпространство Коразмерность
Категория