Точка (геометрия)

Конечный набор точек (красным) на евклидовой плоскости .

В геометрии точка — это абстрактная идеализация точного положения без размера в физическом пространстве . или его обобщение на другие виды математических пространств . В качестве нульмерных объектов точки обычно рассматриваются как фундаментальные неделимые элементы, составляющие пространство, из которого состоят одномерные кривые , двумерные поверхности и многомерные объекты; и наоборот, точка может быть определена пересечением двух кривых или трех поверхностей, называемых вершиной или углом .

В классической евклидовой геометрии точка — это примитивное понятие , определяемое как «то, что не имеет частей». Точки и другие примитивные понятия не определяются в терминах других понятий, а лишь посредством определенных формальных свойств, называемых аксиомами , которым они должны удовлетворять; например, «есть ровно одна прямая , проходящая через две различные точки» . Как физические диаграммы, геометрические фигуры создаются с помощью таких инструментов, как циркуль , чертилка или ручка, заостренный кончик которой может отметить небольшую точку или проколоть небольшое отверстие, обозначающее точку, или может быть проведен по поверхности, изображая кривую.

С появлением аналитической геометрии точки часто определяются или представляются в терминах числовых координат . В современной математике пространство точек обычно рассматривается как множество , множество точек .

Изолированная точка — это элемент некоторого подмножества точек, имеющий некоторую окрестность , не содержащую других точек этого подмножества.

Точки в евклидовой геометрии

Точки, рассматриваемые в рамках евклидовой геометрии , являются одними из наиболее фундаментальных объектов. Евклид первоначально определил точку как «то, что не имеет частей». В двумерной евклидовой плоскости точка представлена ​​упорядоченной парой ( x , y чисел ), где первое число условно представляет горизонталь и часто обозначается x , а второе число условно представляет вертикаль и часто обозначается обозначается y . Эту идею легко обобщить на трехмерное евклидово пространство , где точка представлена ​​упорядоченной тройкой ( x , y , z ) с дополнительным третьим числом, представляющим глубину и часто обозначаемым z . Дальнейшие обобщения представлены упорядоченным набором из n терминов ( a ₁ , a ₂ , … , an _n ) , где n — размерность пространства, в котором находится точка.

Многие конструкции евклидовой геометрии состоят из бесконечного набора точек, соответствующих определенным аксиомам. Обычно это обозначается набором точек ; Например, линия — это бесконечное множество точек вида

$$L=\lbrace (a_{1},a_{2},...a_{n})\mid a_{1}c_{1}+a_{2}c_{2}+...a_{n}c_{n}=d\rbrace ,$$

где от c ₁ до c _n и d — константы, а n — размерность пространства. Существуют подобные конструкции, определяющие плоскость , отрезок прямой и другие связанные понятия. Отрезок, состоящий только из одной точки, называется вырожденным отрезком.

Помимо определения точек и конструкций, связанных с точками, Евклид также постулировал ключевую идею о точках: любые две точки можно соединить прямой линией. Это легко подтверждается в современных расширениях евклидовой геометрии и имело долгосрочные последствия при ее введении, позволив построить почти все геометрические концепции, известные в то время. Однако постулирование Евклидом точек не было ни полным, ни окончательным, и иногда он предполагал факты о точках, которые не следовали непосредственно из его аксиом, такие как порядок точек на прямой или существование определенных точек. Несмотря на это, современные расширения системы позволяют устранить эти предположения.

Размер точки

В математике существует несколько неэквивалентных определений размерности . Во всех распространенных определениях точка является 0-мерной.

Размерность векторного пространства

Основная статья: Измерение (векторное пространство)

Размерность векторного пространства — это максимальный размер линейно независимого подмножества. В векторном пространстве, состоящем из одной точки (которая должна быть нулевым вектором 0 ), не существует линейно независимого подмножества. Нулевой вектор сам по себе не является линейно независимым, поскольку существует нетривиальная линейная комбинация, делающая его нулевым: $1\cdot \mathbf {0} =\mathbf {0}$.

измерение

Основная статья: Размер покрытия Лебега

Топологическое измерение топологического пространства $X$ определяется как минимальное значение n , такое, что каждое конечное открытое покрытие ${\mathcal {A}}$ из $X$ допускает конечное открытое покрытие ${\mathcal {B}}$ из $X$ который уточняет ${\mathcal {A}}$ в котором ни одна точка не входит более чем в n +1 элемент. Если такого минимального n не существует, говорят, что пространство имеет бесконечную накрывающую размерность.

Точка нульмерна относительно размерности покрытия, поскольку каждое открытое покрытие пространства имеет уточнение, состоящее из одного открытого множества.

Размерность Хаусдорфа

Пусть X — метрическое пространство . Если S ⊂ X и d ∈ [0, ∞) , d -мерное хаусдорфово содержимое S является нижней гранью множества чисел δ ≥ 0 таких, что существует некоторый (индексированный) набор шаров $\{B(x_{i},r_{i}):i\in I\}$ покрывающее S с r _i > 0 для каждого i ∈ I, удовлетворяющее условию

$$\sum _{i\in I}r_{i}^{d}<\delta .$$

Хаусдорфова размерность X формулой определяется

$$\operatorname {dim} _{\operatorname {H} }(X):=\inf\{d\geq 0:C_{H}^{d}(X)=0\}.$$

Точка имеет размерность Хаусдорфа 0, поскольку ее можно покрыть одним шаром сколь угодно малого радиуса.

Геометрия без точек

Хотя понятие точки обычно считается фундаментальным в основной геометрии и топологии, существуют некоторые системы, которые его игнорируют, например, некоммутативная геометрия и бессмысленная топология . «Бессмысленное» или «бесточечное» пространство определяется не как множество , а через некоторую структуру ( алгебраическую или логическую соответственно), которая выглядит как известное функциональное пространство на множестве: алгебра непрерывных функций или алгебра множеств соответственно. . Точнее, такие структуры обобщают известные пространства функций таким образом, что операцию «принять значение в этой точке» можно не определять. Дальнейшая традиция берет свое начало в некоторых книгах А. Н. Уайтхеда , в которых понятие региона рассматривается как примитивное вместе с понятием включения или связи .

Точечные массы и дельта

Основная статья: дельта-функция Дирака

Часто в физике и математике полезно думать о точке как о точке, имеющей ненулевую массу или заряд (это особенно распространено в классическом электромагнетизме , где электроны идеализируются как точки с ненулевым зарядом). Дельта -функция Дирака , или δ- функция , представляет собой (неформально) обобщенную функцию на прямой вещественной линии, которая равна нулю везде, кроме нуля, с интегралом , равным единице по всей действительной прямой. Дельта-функцию иногда представляют как бесконечно высокий и бесконечно тонкий пик в начале координат с общей площадью единица под шипом, физически представляющий собой идеализированную точечную массу или точечный заряд . Его ввел физик-теоретик Поль Дирак . В контексте обработки сигналов его часто называют символом (или функцией) единичного импульса . Ее дискретным аналогом является дельта-функция Кронекера , которая обычно определяется на конечной области и принимает значения 0 и 1.

См. также

• Точка накопления
• Аффинное пространство
• Граничная точка
• Критическая точка
• Куспид
• Основы геометрии
• Позиция (геометрия)
• Точка в бесконечности
• Облако точек
• Точечный процесс
• Регистрация набора точек
• Поточечно
• Особая точка кривой
• Бесточечная геометрия Уайтхеда

Ссылки

• Арфкен, Джордж Б .; Вебер, Ханс Дж. (2005). Международное студенческое издание «Математические методы для физиков» (6-е изд.). Академическая пресса.
• Брейсвелл, Рональд Н. (1986). Преобразование Фурье и его приложения (3-е изд.). Нью-Йорк: Серия МакГроу-Хилл. ISBN  0-07-007015-6 .
• Кларк, Боуман (1985). «Люди и очки» . Журнал формальной логики Нотр-Дама . 26 (1): 61–75.
• де Лагуна, Т. (1922). «Точка, линия и поверхность как наборы твердых тел». Журнал философии . 19 (17): 449–461. дои : 10.2307/2939504 . JSTOR   2939504 .
• Дирак, Поль (1958). Принципы квантовой механики (4-е изд.). Издательство Оксфордского университета.
• Гельфанд, Израиль ; Шилов, Георгий (1964). Обобщенные функции: свойства и операции . Том. 1. Академическая пресса. ISBN  0-12-279501-6 .
• Герла, Г (1995). «Бессмысленные геометрии» (PDF) . В Букенхауте, Ф.; Кантор, В. (ред.). Справочник по геометрии падения: Здания и фундаменты . Северная Голландия. п. 1015–1031.
• Хит, Томас Л. (1956). Тринадцать книг «Начал» Евклида . Том. 1 (2-е изд.). Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  0-486-60088-2 .
• Омер, Мерлин М. (1969). Элементарная геометрия для учителей . Чтение: Аддисон-Уэсли. OCLC   00218666 .
• Шварц, Лоран (1950). Теория распределения (на французском языке). Полет. 1.
• Сильверман, Ричард А. (1969). Современное исчисление и аналитическая геометрия . Макмиллан.
• Уайтхед, А.Н. (1919). Исследование относительно принципов естественного познания . Кембридж: Университетское издательство.
• Уайтхед, А.Н. (1920). Концепция природы . Кембридж: Университетское издательство. . Мягкая обложка, 2004 г., Prometheus Books. в 1919 году Лекции Тарнера, прочитанные в Тринити-колледже .
• Уайтхед, А.Н. (1929). Процесс и реальность: Очерк космологии . Свободная пресса.

Внешние ссылки

• "Точка" . ПланетаМатематика .
• Вайсштейн, Эрик В. «Точка» . Математический мир .