Точка (геометрия)

Конечный набор точек (красным) на евклидовой плоскости .

В геометрии точка — это абстрактная идеализация точного положения без размера в физическом пространстве . или его обобщение на другие виды математических пространств . В качестве нульмерных объектов точки обычно рассматриваются как фундаментальные неделимые элементы, составляющие пространство, из которого состоят одномерные кривые , двумерные поверхности и многомерные объекты; и наоборот, точка может быть определена пересечением двух кривых или трех поверхностей, называемых вершиной или углом .

В классической евклидовой геометрии точка — это примитивное понятие , определяемое как «то, что не имеет частей». Точки и другие примитивные понятия не определяются в терминах других понятий, а лишь определенными формальными свойствами, называемыми аксиомами , которым они должны удовлетворять; например, «есть ровно одна прямая , проходящая через две различные точки» . Как физические диаграммы, геометрические фигуры создаются с помощью таких инструментов, как циркуль , чертилка или ручка, заостренный кончик которой может отметить небольшую точку или проколоть небольшое отверстие, обозначающее точку, или может быть проведен по поверхности, изображая кривую.

С появлением аналитической геометрии точки часто определяются или представляются в терминах числовых координат . В современной математике пространство точек обычно рассматривается как множество , множество точек .

Изолированная точка — это элемент некоторого подмножества точек, имеющий некоторую окрестность , не содержащую других точек этого подмножества.

Точки в евклидовой геометрии

Точки, рассматриваемые в рамках евклидовой геометрии , являются одними из наиболее фундаментальных объектов. Евклид первоначально определил точку как «то, что не имеет частей». В двумерной евклидовой плоскости точка представлена ​​упорядоченной парой ( x , y чисел ), где первое число условно представляет горизонталь и часто обозначается x , а второе число условно представляет вертикаль и часто обозначается обозначается y . Эту идею легко обобщить на трехмерное евклидово пространство , где точка представлена ​​упорядоченной тройкой ( x , y , z ) с дополнительным третьим числом, представляющим глубину и часто обозначаемым z . Дальнейшие обобщения представлены упорядоченным набором из n терминов ( a ₁ , a ₂ , … , an _n ) , где n — размерность пространства, в котором находится точка.

Многие конструкции евклидовой геометрии состоят из бесконечного набора точек, соответствующих определенным аксиомам. Обычно это обозначается набором точек ; Например, линия — это бесконечное множество точек вида

$$L=\lbrace (a_{1},a_{2},...a_{n})\mid a_{1}c_{1}+a_{2}c_{2}+...a_{n}c_{n}=d\rbrace ,$$

где от c ₁ до c _n и d — константы, а n — размерность пространства. Существуют подобные конструкции, определяющие плоскость , отрезок прямой и другие связанные понятия. Отрезок, состоящий только из одной точки, называется вырожденным отрезком.

Помимо определения точек и конструкций, связанных с точками, Евклид также постулировал ключевую идею о точках: любые две точки можно соединить прямой линией. Это легко подтверждается в современных расширениях евклидовой геометрии и имело долгосрочные последствия при ее введении, позволив построить почти все геометрические концепции, известные в то время. Однако постулирование Евклидом точек не было ни полным, ни окончательным, и иногда он предполагал факты о точках, которые не следовали непосредственно из его аксиом, такие как порядок точек на прямой или существование определенных точек. Несмотря на это, современные расширения системы позволяют устранить эти предположения.

Размер точки

существует несколько неэквивалентных определений размерности В математике . Во всех распространенных определениях точка является 0-мерной.

Размерность векторного пространства

Основная статья: Измерение (векторное пространство)

Размерность векторного пространства — это максимальный размер линейно независимого подмножества. В векторном пространстве, состоящем из одной точки (которая должна быть нулевым вектором 0 ), не существует линейно независимого подмножества. Нулевой вектор сам по себе не является линейно независимым, поскольку существует нетривиальная линейная комбинация, делающая его нулевым: $1\cdot \mathbf {0} =\mathbf {0}$.

Топологическое

Основная статья: Размер покрытия Лебега

Топологическое измерение топологического пространства $X$ определяется как минимальное значение n , такое, что каждое конечное открытое покрытие ${\mathcal {A}}$ из $X$ допускает конечное открытое покрытие ${\mathcal {B}}$ из $X$ который уточняет ${\mathcal {A}}$в котором ни одна точка не входит более чем в n +1 элемент. Если такого минимального n не существует, говорят, что пространство имеет бесконечную накрывающую размерность.

Точка нульмерна относительно размерности покрытия, поскольку каждое открытое покрытие пространства имеет уточнение, состоящее из одного открытого множества.

Размерность Хаусдорфа

Пусть X — метрическое пространство . Если S ⊂ X и d ∈ [0, ∞) , d -мерное хаусдорфово содержимое S таких , является нижней гранью множества чисел δ ≥ 0 что существует некоторый (индексированный) набор шаров $\{B(x_{i},r_{i}):i\in I\}$ покрывающее S с r _i > 0 для каждого i ∈ I , удовлетворяющее условию

$$\sum _{i\in I}r_{i}^{d}<\delta .$$

Хаусдорфова размерность X формулой определяется

$$\operatorname {dim} _{\operatorname {H} }(X):=\inf\{d\geq 0:C_{H}^{d}(X)=0\}.$$

Точка имеет размерность Хаусдорфа 0, поскольку ее можно покрыть одним шаром сколь угодно малого радиуса.

Геометрия без точек

Хотя понятие точки обычно считается фундаментальным в основной геометрии и топологии, существуют некоторые системы, которые его игнорируют, например, некоммутативная геометрия и бессмысленная топология . «Бессмысленное» или «бесточечное» пространство определяется не как множество , а через некоторую структуру ( алгебраическую или логическую соответственно), которая выглядит как известное функциональное пространство на множестве: алгебра непрерывных функций или алгебра множеств соответственно. . Точнее, такие структуры обобщают известные пространства функций таким образом, что операцию «принять значение в этой точке» можно не определять. Дальнейшая традиция берет свое начало в некоторых книгах А. Н. Уайтхеда, в которых понятие региона рассматривается как примитивное вместе с понятием включения или связи .

дельта-

Основная статья: дельта-функция Дирака

Часто в физике и математике полезно думать о точке как о точке, имеющей ненулевую массу или заряд (особенно это распространено в классическом электромагнетизме , где электроны идеализируются как точки с ненулевым зарядом). , Дельта-функция Дирака или δ- функция , представляет собой (неформально) обобщенную функцию на прямой вещественной линии, которая равна нулю везде, кроме нуля, с интегралом, равным единице по всей действительной прямой. Дельта-функцию иногда представляют как бесконечно высокий и бесконечно тонкий пик в начале координат с общей площадью единица под шипом, физически представляющий собой идеализированную точечную массу или точечный заряд . Его ввел физик-теоретик Поль Дирак . В контексте обработки сигналов его часто называют единичного импульса . символом (или функцией) Ее дискретным аналогом является дельта-функция Кронекера , которая обычно определяется на конечной области и принимает значения 0 и 1.

См. также

• Точка накопления
• Аффинное пространство
• Граничная точка
• Критическая точка
• Куспид
• Основы геометрии
• Позиция (геометрия)
• Точка в бесконечности
• Облако точек
• Точечный процесс
• Регистрация набора точек
• Поточечно
• Особая точка кривой
• Бесточечная геометрия Уайтхеда

Ссылки

• Арфкен, Джордж Б .; Вебер, Ханс Дж. (2005). Международное студенческое издание «Математические методы для физиков» (6-е изд.). Академическая пресса.
• Брейсвелл, Рональд Н. (1986). Преобразование Фурье и его приложения (3-е изд.). Нью-Йорк: Серия МакГроу-Хилл. ISBN  0-07-007015-6 .
• Кларк, Боуман (1985). «Люди и очки» . Журнал формальной логики Нотр-Дама . 26 (1): 61–75.
• де Лагуна, Т. (1922). «Точка, линия и поверхность как наборы твердых тел». Журнал философии . 19 (17): 449–461. дои : 10.2307/2939504 . JSTOR   2939504 .
• Дирак, Поль (1958). Принципы квантовой механики (4-е изд.). Издательство Оксфордского университета.
• Гельфанд, Израиль ; Шилов, Георгий (1964). Обобщенные функции: свойства и операции . Том. 1. Академическая пресса. ISBN  0-12-279501-6 .
• Герла, Г (1995). «Бессмысленные геометрии» (PDF) . В Букенхауте, Ф.; Кантор, В. (ред.). Справочник по геометрии падения: Здания и фундаменты . Северная Голландия. п. 1015–1031.
• Хит, Томас Л. (1956). Тринадцать книг «Начал» Евклида . Том. 1 (2-е изд.). Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  0-486-60088-2 .
• Омер, Мерлин М. (1969). Элементарная геометрия для учителей . Чтение: Аддисон-Уэсли. OCLC   00218666 .
• Шварц, Лоран (1950). Теория распределения (на французском языке). Полет. 1.
• Сильверман, Ричард А. (1969). Современное исчисление и аналитическая геометрия . Макмиллан.
• Уайтхед, А.Н. (1919). Исследование относительно принципов естественного познания . Кембридж: Университетское издательство.
• Уайтхед, А.Н. (1920). Концепция природы . Кембридж: Университетское издательство. . Мягкая обложка, 2004 г., Prometheus Books. Лекции Тарнера, прочитанные в Тринити-колледже в 1919 году .
• Уайтхед, А.Н. (1929). Процесс и реальность: Очерк космологии . Свободная пресса.

Внешние ссылки

• "Точка" . ПланетаМатематика .
• Вайсштейн, Эрик В. «Точка» . Математический мир .