Бесточечная геометрия Уайтхеда

В математике , бесточечная геометрия — это геометрия , примитивным онтологическим понятием которой является область а не точка . две аксиоматические системы Ниже изложены : одна основана на мереологии , другая — на мереотопологии и известна как теория связи .

Бесточечная геометрия была впервые сформулирована Альфредом Нортом Уайтхедом . не как теория геометрии или пространства-времени , а как теория «событий» и « отношения расширения » между событиями. Цели Уайтхеда были как философскими, так и научными и математическими.

Формализации

Уайтхед не изложил свои теории таким образом, чтобы удовлетворить современным канонам формальности. Две формальные теории первого порядка, описанные в этой статье, были разработаны другими, чтобы прояснить и уточнить теории Уайтхеда. Область дискурса обеих теорий состоит из «регионов». Все неквантованные переменные в этой статье должны рассматриваться как неявно универсальные количественные ; следовательно, все аксиомы следует рассматривать как универсальные замыкания . Ни одна аксиома не требует более трех количественных переменных; перевод теорий первого порядка в алгебру отношений следовательно, возможен . Каждый набор аксиом имеет только четыре квантора существования .

Бесточечная геометрия, основанная на включениях (мереология)

Фундаментальным примитивным бинарным отношением является включение , обозначаемое инфиксным оператором «≤», которое соответствует бинарному отношению Пархуда , которое является стандартной функцией мереологических теорий. Интуитивное значение x ≤ y таково: « x является частью y ». Предполагая, что равенство, обозначаемое инфиксным оператором «=", является частью фоновой логики, бинарное отношение Proper Part , обозначаемое инфиксным оператором «<», определяется как:

$x<y\leftrightarrow (x\leq y\land x\not =y).$

Аксиомы:

• Включение частично домен упорядочивает .

Г1. $x\leq x.$ ( рефлексивный )

Г2. $(x\leq z\land z\leq y)\rightarrow x\leq y.$ ( переходный ) WP4 .

Г3. $(x\leq y\land y\leq x)\rightarrow x=y.$ ( антисимметричный )

• Учитывая любые два региона, существует регион, включающий оба из них. WP6 .

Г4. $\exists z[x\leq z\land y\leq z].$

• Собственная Часть плотно домен упорядочивает . WP5 .

Г5. $x<y\rightarrow \exists z[x<z<y].$

• Ни атомных регионов , ни универсального региона не существует. Следовательно, область определения не имеет ни верхней, ни нижней границы. WP2 .

Г6. $\exists y\exists z[y<x\land x<z].$

• Принцип правильных частей. Если все правильные части x являются собственными частями y , то x включен в y . WP3 .

G7. $\forall z[z<x\rightarrow z<y]\rightarrow x\leq y.$

Модель пространство G1 –G7 представляет собой включения .

Определение . Для некоторого пространства включения S абстрактным классом является класс G областей, таких что S\G по полностью упорядочено включению. входящего во все регионы, входящие в G. Более того, не существует региона ,

Интуитивно понятно, что абстрактный класс определяет геометрическую сущность, размерность которой меньше размерности пространства включения. Например, если пространством включения является евклидова плоскость , то соответствующими абстрактными классами являются точки и линии .

Бесточечная геометрия, основанная на включениях (далее «бесточечная геометрия»), по сути, является аксиоматизацией системы Саймонса W. В свою очередь, W формализует теорию Уайтхеда чьи аксиомы не сформулированы явно. Бесточечная геометрия — это W с исправленным дефектом. Саймонс не исправил этот дефект, а вместо этого предложил в сноске читателю сделать это в качестве упражнения. Примитивным отношением W является Собственная Часть, строгий частичный порядок . Теория Уайтхеда (1919) имеет единственное примитивное бинарное отношение K, определенное как xKy ↔ y < x . Следовательно, K является обратной Собственной Частью. Саймонса WP1 утверждает, что собственная часть иррефлексивна и поэтому соответствует G1 . G3 устанавливает, что включение, в отличие от Собственной Части, антисимметрично .

Бесточечная геометрия тесно связана с плотным линейным порядком D , аксиомами которого являются G1-3 , G5 и аксиома совокупности $x\leq y\lor y\leq x.$ Следовательно, бесточечная геометрия, основанная на включении, была бы собственным расширением D (а именно D ∪ { G4 , G6 , G7 }), если бы не то, что отношение D «≤» является полным порядком .

Теория связи (мереотопология)

Другой подход был предложен Уайтхедом (1929), вдохновленным Де Лагуной (1922). Уайтхед считал примитивным топологическое понятие «контакта» между двумя регионами, приводящее к примитивному «отношению связи» между событиями. Теория связи C — это теория первого порядка , которая выделяет первые 12 из 31 предположения Уайтхеда. на 6 аксиом, C1-C6 . C — это правильный фрагмент теорий, предложенных Кларком, который отметил их мереологический характер. Теории, которые, как и C , содержат как включение, так и топологические примитивы, называются мереотопологиями .

C имеет одно примитивное отношение , бинарную «связь», обозначаемую префиксной буквой C. предиката То, что x включен в y, теперь можно определить как x ≤ y ↔ ∀z[ Czx → Czy ]. В отличие от случая с пространствами включения, теория связности позволяет определить «некасательное» включение, полный порядок, позволяющий создавать абстрактные классы. Герла и Миранда (2008) утверждают, что только таким образом мереотопология может однозначно определить точку .

• C является рефлексивным . С.1.

С1. $\ Cxx.$

• C симметричен ​ . С.2.

С2. $Cxy\rightarrow Cyx.$

• C является экстенсиональным . С.11.

С3. $\forall z[Czx\leftrightarrow Czy]\rightarrow x=y.$

• Все области имеют собственные части, так что C — безатомная теория. П.9.

С4. $\exists y[y<x].$

• Учитывая любые два региона, существует регион, связанный с ними обоими.

С5. $\exists z[Czx\land Czy].$

• Все регионы имеют как минимум две несвязанные части. С.14.

С6. $\exists y\exists z[(y\leq x)\land (z\leq x)\land \neg Cyz].$

Модель C представляет собой пространство соединений .

После словесного описания каждой аксиомы идет идентификатор соответствующей аксиомы у Казати и Варци (1999). Их система SMT ( сильная мереотопология ) состоит из C1-C3 и по существу принадлежит Кларку (1981). Любую мереотопологию можно сделать безатомной, используя C4 , без риска парадокса или тривиальности. Следовательно, C расширяет безатомный вариант SMT посредством аксиом C5 и C6 , предложенных в главе 2 части 4 книги «Процесс и реальность» .

Биачино и Герла (1991) показали, что каждая модель теории Кларка является булевой алгеброй , и модели таких алгебр не могут отличить соединение от перекрытия. Сомнительно, что любой из этих фактов соответствует намерениям Уайтхеда.

См. также

• Мереология
• Мереотопология
• Бессмысленная топология

Библиография

• Биачино Л. и Герла Г., 1991, « Структуры связи », Notre Dame Journal of Formal Logic 32: 242–47.
• Казати Р. и Варци А.С., 1999. Части и места: структуры пространственного представления . МТИ Пресс.
• Кларк, Боуман, 1981, « Исчисление индивидов, основанное на «связи» ,» Notre Dame Journal of Formal Logic 22 : 204–18.
• ------, 1985, « Особи и точки », Notre Dame Journal of Formal Logic 26 : 61–75.
• Де Лагуна Т., 1922, «Точка, линия и поверхность как совокупность твердых тел», The Journal of Philosophy 19 : 449–61.
• Герла, Г., 1995, « Бессмысленные геометрии » в ред. Букенхаута Ф., Кантора В., Справочник по геометрии падения: здания и фундаменты . Северная Голландия: 1015-31.
• -------- и Миранда А., 2008, « Включение и связь в бесточечной геометрии Уайтхеда », в книге Мишеля Вебера и Уилла Десмонда (ред.), « Справочник по процессуальной мысли Уайтхеда» , Франкфурт / Ланкастер, ontos verlag, Процесс мышления X1 и X2.
• Грущинский Р. и Петрущак А., 2008, « Полное развитие геометрии твердых тел Тарского », Бюллетень символической логики 14:481-540. В статье представлена ​​бесточечная система геометрии, основанная на идеях Уайтхеда и основанная на мереологии Лесневского. Также кратко обсуждается связь между бесточечными и точечными системами геометрии. Приведены основные свойства мереологических структур.
• Гжегорчик А., 1960, «Аксиоматизируемость геометрии без точек», Synthese 12 : 228–235.
• Нибоун, Г., 1963. Математическая логика и основы математики . Переиздание Дувра, 2001 г.
• Лукас, младший , 2000. Концептуальные корни математики . Рутледж. Глава. 10, посвященный «прототопологии», обсуждает системы Уайтхеда и находится под сильным влиянием неопубликованных работ Дэвида Бостока .
• Ропер, П., 1997, «Региональная топология», Journal of Philosophical Logic 26 : 251–309.
• Саймонс, П., 1987. Части: исследование онтологии . Оксфордский университет. Нажимать.
• Уайтхед, AN , 1916, «La Theorie Relationiste de l'Espace», Revue de Metaphysique et de Morale 23 : 423-454. Переведено как Херли, П.Дж., 1979, «Реляционная теория пространства», Philosophy Research Archives 5 : 712-741.
• --------, 1919. Исследование относительно принципов естественного познания . Кембриджский университет. Нажимать. 2-е изд., 1925.
• --------, 1920. Понятие о природе . Кембриджский университет. Нажимать. Мягкая обложка, 2004 г., Prometheus Books. в 1919 году Лекции Тарнера, прочитанные в Тринити-колледже .
• --------, 1979 (1929). Процесс и реальность . Свободная пресса.