Мереотопология

В формальной онтологии , разделе метафизики , и в информатике онтологической мереотопология — это теория первого порядка , воплощающая мереологические и топологические концепции отношений между целыми, частями, частями частей и границ между частями.

и мотивация История

Мереотопология начинается в философии с теорий, сформулированных А. Н. Уайтхедом в нескольких книгах и статьях, опубликованных им в период с 1916 по 1929 год, частично опирающихся на мереогеометрию Де Лагуна (1922). Первым, кто предложил идею бесточечного определения понятия топологического пространства в математике, был Карл Менгер в своей книге «Теория измерений» (1928) — см. также его (1940). Ранние исторические предпосылки мереотопологии задокументированы в работах Беланжера и Маркиза (2013), а ранние работы Уайтхеда обсуждаются в Нибоне (1963: гл. 13.5) и Саймонсе (1987: 2.9.1). ^[1] Теория Уайтхеда «Процесс и реальность» 1929 года дополнила отношение части-целого топологическими понятиями, такими как смежность и связь . Несмотря на проницательность Уайтхеда как математика, его теории были недостаточно формальными и даже ошибочными. Показав, как теории Уайтхеда могут быть полностью формализованы и исправлены, Кларк (1981, 1985) основал современную мереотопологию. ^[2] Теории Кларка и Уайтхеда обсуждаются у Саймонса (1987: 2.10.2) и Лукаса (2000: гл. 10). Статья « Бесточечная геометрия Уайтхеда» включает две современные трактовки теорий Уайтхеда, предложенные Джанджакомо Герлой, каждая из которых отличается от теории, изложенной в следующем разделе.

Хотя мереотопология является математической теорией, ее последующим развитием мы обязаны логикам и ученым-теоретикам в области информатики . Лукас (2000: гл. 10) и Казати и Варци (1999: гл. 4,5) представляют собой введение в простотопологию, которое может прочитать любой, кто прошел курс логики первого порядка . Более продвинутые методы мереотопологии включают Кон и Варци (2003) и, для математически подкованных, Ропера (1997). Математическое описание бесточечной геометрии см. в Gerla (1995). Теоретико -решеточные ( алгебраические ) трактовки мереотопологии как контактных алгебр применялись для отделения топологической структуры от мереологической , см. Stell (2000), Düntsch and Winter (2004).

Приложения [ править ]

Барри Смит , ^[3] Энтони Кон, Ахилл Варци и их соавторы показали, что мереотопология может быть полезна в формальной онтологии и информатике , позволяя формализовать такие отношения, как контакт , соединение , границы , внутренности , дыры и так далее. Мереотопология также применялась как инструмент качественного пространственно-временного рассуждения с использованием исчислений ограничений, таких как исчисление связей регионов (RCC). Это обеспечивает отправную точку для теории установленных границ, разработанной Смитом и Варци. ^[4] который вырос из попытки провести формальное различие между

границы (в географии, геополитике и других областях), которые отражают более или менее произвольные человеческие разграничения и
границы, которые отражают настоящие физические разрывы (Smith 1995, ^[5] 2001 ^[6]).

Мереотопология применяется Салустри в области цифрового производства (Салюстри, 2002), а также Смитом и Варци для формализации основных понятий экологии и биологии окружающей среды (Смит и Варци, 1999, ^[7] 2002 ^[8]). Его также применяли для борьбы с расплывчатыми границами в географии (Смит и Марк, 2003). ^[9]), а также при изучении неопределенности и детализации (Smith and Brogaard, 2002, ^[10] Биттнер и Смит, 2001 г., ^[11] 2001а ^[12]).

Casati & Предпочтительный подход Varzi

Казати и Варци (1999: глава 4) изложили множество мереотопологических теорий в последовательных обозначениях. В этом разделе излагаются несколько вложенных друг в друга теорий, кульминацией которых является предпочитаемая ими теория GEMTC , и внимательно следует их изложение. Мерологической частью GEMTC является общепринятая теория GEM . Казати и Варци не говорят, включают ли какие - модели GEMTC либо традиционные топологические пространства .

Начнем с некоторой области дискурса , элементы которой называются индивидами ( синоним мереологии — « исчисление индивидов»). Казати и Варци предпочитают ограничивать онтологию физическими объектами, но другие свободно используют простотопологию для рассуждений о геометрических фигурах и событиях, а также для решения проблем, возникающих в результате исследований в области машинного интеллекта .

Заглавная латинская буква обозначает как отношение, так и букву- предикат , ссылающуюся на это отношение в логике первого порядка . Строчные буквы с конца алфавита обозначают переменные, находящиеся в пределах домена; буквы в начале алфавита — имена произвольных людей. Если формула начинается с атомарной формулы, за которой следует бикондиционал , подформула справа от бикондиционала является определением атомарной формулы, переменные которой не связаны . В противном случае переменные, не выраженные явно количественно, молчаливо оцениваются универсально . Приведенная ниже аксиома Cn соответствует аксиоме Cn в Casati и Varzi (1999: глава 4).

Начнем с топологического примитива, бинарного отношения, называемого соединением ; атомарная формула Cxy означает, что « x связан с y ». Связь регулируется, как минимум, аксиомами:

С1 . $\ Cxx.$ ( рефлексивный )

С2 . $Cxy\rightarrow Cyx.$ ( симметричный )

Пусть E , бинарное отношение вложенности , определяется как:

$Exy\leftrightarrow [Czx\rightarrow Czy].$

Exy читается как « y заключает в себе x » и также является топологическим по своей природе. Следствием C1-2 является то, что E рефлексивно является и транзитивно и, следовательно, предпорядком . Если E также предполагается экстенсиональным , так что:

$(Exa\leftrightarrow Exb)\leftrightarrow (a=b),$

тогда что E можно доказать, антисимметричен и, таким образом, становится частичным порядком . Вложение, обозначенное xKy , является единственным примитивным отношением теорий Уайтхеда (1919, 1920) , отправной точкой мереотопологии.

Пусть частичность будет определяющим примитивным бинарным отношением базовой мереологии , и пусть атомарная формула Pxy означает, что « x является частью y ». Мы предполагаем, что P — частичный порядок . Назовем полученную минималистскую мерологическую теорию M .

Если x является частью y , мы постулируем, что y включает в себя x :

С3 . $\ Pxy\rightarrow Exy.$

C3 прекрасно соединяет мереологическую часть с топологической замкнутостью.

Пусть O , бинарное отношение мереологического перекрытия , определяется как:

$Oxy\leftrightarrow \exists z[Pzx\land \ Pzy].$

Пусть Oxy обозначает, что « x и y перекрываются». С O в руке следствие C3 :

$Oxy\rightarrow Cxy.$

Заметим, что обратное не обязательно верно. Хотя перекрывающиеся вещи обязательно связаны, связанные вещи не обязательно перекрываются. Если бы это было не так, топология была бы просто моделью мереологии (в которой «перекрытие» всегда либо примитивно, либо определено).

Основная мереотопология ( MT ) — это теория, состоящая из примитивных C и P , определенных E и O , аксиом C1-3 и аксиом, гарантирующих, что P — частичный порядок . Замена М в MT на стандартную экстенсиональную мереологию GEM приводит к теории GEMT .

Пусть IPxy обозначает, что « x является внутренней частью y ». ИП определяется как:

$IPxy\leftrightarrow (Pxy\land (Czx\rightarrow Ozy)).$

Пусть σ x φ( x ) обозначает мереологическую сумму (слияние) всех индивидов в области, удовлетворяющих φ( x ). σ — привязки переменной оператор префикса . Аксиомы GEM гарантируют, что эта сумма существует, если φ( x ) является формулой первого порядка . Имея в виду σ и отношение IP , мы можем определить внутреннюю часть x , $\mathbf {i} x,$ как мереологическая сумма всех внутренних частей z x : , или

$\mathbf {i} x=$ _дф $\sigma z[IPzx].$

Два простых следствия из этого определения:

$\mathbf {i} W=W,$

где W — универсальный индивидуум, а

С5 . ^[13] $\ P(\mathbf {i} x)x.$ ( Включение )

Оператор i имеет еще два аксиоматических свойства:

С6 . $\mathbf {i} (\mathbf {i} x)=\mathbf {i} x.$ ( Идемпотентность )

С7 . $\mathbf {i} (x\times y)=\mathbf {i} x\times \mathbf {i} y,$

где a × b — мереологическое произведение a и b , не определенное, когда Oab ложно. Я распространяю продукт.

можно видеть, i изоморфно что внутреннему оператору топологии Теперь . Следовательно, двойственный к i оператор топологического замыкания c может быть определен в терминах i , а c аксиомы Куратовского для являются теоремами. Аналогично, учитывая аксиоматизацию c , аналогичную C5-7 , i можно определить в терминах c , и C5-7 станут теоремами. Добавление C5-7 к GEMT приводит к появлению предпочитаемой Казати и Варци мереотопологической теории, GEMTC .

x является самосвязным, если он удовлетворяет следующему предикату:

$SCx\leftrightarrow ((Owx\leftrightarrow (Owy\lor Owz))\rightarrow Cyz).$

Обратите внимание, что для этого определения достаточно только примитивных и определенных предикатов MT . Предикат SC позволяет формализовать необходимое условие : » Уайтхеда данное в «Процессе и реальности существования мереологической суммы двух индивидов, они должны быть связаны. Формально:

С8 . $Cxy\rightarrow \exists z[SCz\land Ozx\land (Pwz\rightarrow (Owx\lor Owy)).$

некоторую простотопологию X , добавление C8 к X приводит к тому, что Казати и Варци называют расширением Уайтхеда X Учитывая , обозначаемым WX . Следовательно, теория, аксиомы которой — C1-8, — это WGEMTC .

Обратное утверждение C8 — это теорема GEMTC . Следовательно, учитывая аксиомы GEMTC , C является определенным предикатом, если O и SC рассматриваются как примитивные предикаты.

Если лежащая в основе мереология безатомна и слабее, чем GEM , аксиома, гарантирующая отсутствие атомов ( P9 в Casati and Varzi 1999), может быть заменена на C9 , которая постулирует, что ни у одного индивидуума нет топологической границы :

С9 . $\forall x\exists y[Pyx\land (Czy\rightarrow Ozx)\land \lnot (Pxy\land (Czx\rightarrow Ozy))].$

Когда область состоит из геометрических фигур, границами могут быть точки, кривые и поверхности. Что могут означать границы с учетом других онтологий, это непростой вопрос, который обсуждается в Casati and Varzi (1999: ch. 5).

См. также [ править ]

Мереология
Бессмысленная топология
Топология набора точек
Топология
Топологическое пространство (со связями с T0 через T6 )
Бесточечная геометрия Уайтхеда

Примечания [ править ]

^ См. Питер Саймонс, «Уайтхед и мереология», в книге Гийома Дюрана и Мишеля Вебера (редакторы), Les principes de la connaissance naturalelle d'Alfred North Whitehead - Принципы естественного познания Альфреда Норта Уайтхеда , Франкфурт / Париж / Ланкастер, ontos verlag, 2007. См. также соответствующие статьи Мишеля Вебера и Уилла Десмонда (ред.), «Справочник по процессуальному мышлению Уайтхеда» , Франкфурт/Ланкастер, ontos verlag, Process Thought X1 & X2, 2008.
^ Casati & Varzi (1999: ch. 4) и Biacino & Gerla (1991) имеют оговорки по поводу некоторых аспектов формулировки Кларка.
^ Барри Смит, « Мереотопология: теория частей и границ », Data and Knowledge Engineering , 20 (1996), 287–303.
^ Барри Смит и Ахилле Варци, « Fiat и добросовестные границы », Философия и феноменологические исследования , 60: 2 (март 2000 г.), 401–420.
^ Барри Смит, « О рисовании линий на карте », в книге Эндрю У. Франка и Вернера Куна (ред.), Теория пространственной информации. Теоретическая основа ГИС (Конспекты лекций по информатике, 988), Берлин/Гейдельберг/Нью-Йорк и т. д.: Springer, 1995, 475–484.
^ Барри Смит, « Объекты Fiat », Topoi , 20:2 (сентябрь 2001 г.), 131–148.
↑ Барри Смит и Ахилле Варци, « Ниша », Nous , 33:2 (1999), 198–222.
^ Барри Смит и Ахилл Варци, « Окружающее пространство: онтология отношений организма и окружающей среды », Теория в биологических науках , 121 (2002), 139–162.
^ Барри Смит и Дэвид М. Марк, « Существуют ли горы?» К онтологии форм рельефа », Environment and Planning B (Planning and Design) , 30(3) (2003), 411–427.
^ Барри Смит и Берит Брогаард, « Квантовая мереотопология », Анналы математики и искусственного интеллекта , 35/1–2 (2002), 153–175.
^ Томас Биттнер и Барри Смит, « Единая теория детализации, неопределенности и аппроксимации », Труды семинара COSIT по пространственной неопределенности, неопределенности и детализации (2001).
^ Томас Биттнер и Барри Смит, « Дробленые разделения и неопределенность » в книге Кристофера Велти и Барри Смита (ред.), Формальная онтология в информационных системах , Нью-Йорк: ACM Press, 2001, 309–321.
^ Аксиома C4 Казати и Варци (1999) не имеет отношения к этой записи.

Ссылки [ править ]

Биачино Л. и Герла Г., 1991, « Структуры связи », Notre Dame Journal of Formal Logic 32: 242–47.
Казати, Роберто, и Варци, Ахилле, 1999. Части и места: структуры пространственного представления . МТИ Пресс.
Стелл Дж.Г., 2000, « Алгебры булевой связи: новый подход к исчислению связей регионов », Искусственный интеллект 122: 111–136.

Внешние ссылки [ править ]

Стэнфордская энциклопедия философии : Граница - Ахилл Варци. Со множеством ссылок.

[1] См. Питер Саймонс, «Уайтхед и мереология», в книге Гийома Дюрана и Мишеля Вебера (редакторы), Les principes de la connaissance naturalelle d'Alfred North Whitehead - Принципы естественного познания Альфреда Норта Уайтхеда , Франкфурт / Париж / Ланкастер, ontos verlag, 2007. См. также соответствующие статьи Мишеля Вебера и Уилла Десмонда (ред.), «Справочник по процессуальному мышлению Уайтхеда» , Франкфурт/Ланкастер, ontos verlag, Process Thought X1 & X2, 2008.

[2] Casati & Varzi (1999: ch. 4) и Biacino & Gerla (1991) имеют оговорки по поводу некоторых аспектов формулировки Кларка.

[3] Барри Смит, « Мереотопология: теория частей и границ », Data and Knowledge Engineering , 20 (1996), 287–303.

[4] Барри Смит и Ахилле Варци, « Fiat и добросовестные границы », Философия и феноменологические исследования , 60: 2 (март 2000 г.), 401–420.

[5] Барри Смит, « О рисовании линий на карте », в книге Эндрю У. Франка и Вернера Куна (ред.), Теория пространственной информации. Теоретическая основа ГИС (Конспекты лекций по информатике, 988), Берлин/Гейдельберг/Нью-Йорк и т. д.: Springer, 1995, 475–484.

[6] Барри Смит, « Объекты Fiat », Topoi , 20:2 (сентябрь 2001 г.), 131–148.

[7] Барри Смит и Ахилле Варци, « Ниша », Nous , 33:2 (1999), 198–222.

[8] Барри Смит и Ахилл Варци, « Окружающее пространство: онтология отношений организма и окружающей среды », Теория в биологических науках , 121 (2002), 139–162.

[9] Барри Смит и Дэвид М. Марк, « Существуют ли горы?» К онтологии форм рельефа », Environment and Planning B (Planning and Design) , 30(3) (2003), 411–427.

[10] Барри Смит и Берит Брогаард, « Квантовая мереотопология », Анналы математики и искусственного интеллекта , 35/1–2 (2002), 153–175.

[11] Томас Биттнер и Барри Смит, « Единая теория детализации, неопределенности и аппроксимации », Труды семинара COSIT по пространственной неопределенности, неопределенности и детализации (2001).

[12] Томас Биттнер и Барри Смит, « Дробленые разделения и неопределенность » в книге Кристофера Велти и Барри Смита (ред.), Формальная онтология в информационных системах , Нью-Йорк: ACM Press, 2001, 309–321.

[13] Аксиома C4 Казати и Варци (1999) не имеет отношения к этой записи.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

и мотивация История ​