Логическое двуусловие

Венна Диаграмма $P\leftrightarrow Q$
(истинная часть выделена красным)

В логике и математике логическое бикондиционал , также известное как материальное бикондиционал , или эквивалентность , или би-импликация , или двунаправленность , представляет собой логическую связку , используемую для соединения двух утверждений. $P$ и $Q$ составить заявление" $P$ если и только если $Q$" (часто сокращается как " $P$ если только $Q$" ), где $P$ известен как антецедент , и $Q$ следствие ​ .

В настоящее время обозначения для представления эквивалентности включают в себя $\leftrightarrow ,\Leftrightarrow ,\equiv$.

$P\leftrightarrow Q$ логически эквивалентен обоим $(P\rightarrow Q)\land (Q\rightarrow P)$ и $(P\land Q)\lor (\neg P\land \neg Q)$и XNOR (исключающее ни) логический оператор , что означает «оба или ничего».

С семантической точки зрения единственный случай, когда логическое бикондиционал отличается от материального кондиционала, — это случай, когда гипотеза (антецедент) ложна, но вывод (следствие) истинен. В этом случае результат истинен для условного выражения, но ложен для двуусловного.

В концептуальной интерпретации P = Q означает «Все P являются Q и все Q являются P ». Другими словами, множества P и Q совпадают: они идентичны. Однако это не означает, что P и Q должны иметь одно и то же значение (например, P может быть «равноугольным трехсторонним», а Q может быть «равносторонним треугольником»). При формулировке предложения антецедент является подлежащим, а консеквент — предикатом универсального утвердительного суждения (например, во фразе «все люди смертны», «люди» — это подлежащее, а «смертный» — предикат).

В пропозициональной интерпретации $P\leftrightarrow Q$означает, что P подразумевает Q , а Q подразумевает P ; другими словами, предложения логически эквивалентны в том смысле, что оба либо совместно истинны, либо совместно ложны. Опять же, это не означает, что они должны иметь одинаковое значение, поскольку P может означать «треугольник ABC имеет две равные стороны», а Q может быть «треугольник ABC имеет два равных угла». В общем, антецедент — это предпосылка или причина , а следствие — это следствие . Когда импликация переводится посредством гипотетического (или условного ) суждения, антецедент называется гипотезой (или условием ), а консеквент называется тезисом .

Распространенный способ демонстрации бикондиционала формы $P\leftrightarrow Q$ заключается в том, чтобы продемонстрировать, что $P\rightarrow Q$ и $Q\rightarrow P$ отдельно (ввиду его эквивалентности соединению двух обратных кондиционалов ). Еще один способ продемонстрировать то же самое бикондиционал — продемонстрировать, что $P\rightarrow Q$ и $\neg P\rightarrow \neg Q$.

Когда оба члена бикондиционала являются предложениями, его можно разделить на два кондиционала, один из которых называется теоремой , а другой — обратным ему . Таким образом, всякий раз, когда теорема и обратное ей утверждение истинны, мы имеем биусловие. Простая теорема порождает импликацию, антецедентом которой является гипотеза , а следствием — тезис теоремы.

Часто говорят, что гипотеза является достаточным условием тезиса, а тезис — необходимым условием гипотезы. То есть достаточно, чтобы гипотеза была верной, чтобы тезис был истинным, в то время как необходимо, чтобы тезис был истинным, если бы гипотеза была верной. Когда теорема и обратное ей утверждение истинны, ее гипотеза называется необходимым и достаточным условием тезиса. То есть гипотеза является одновременно и причиной, и следствием тезиса.

Обозначения

Обозначения для обозначения эквивалентности, используемые в истории, включают:

• $=$ у Джорджа Буля в 1847 году. Хотя Буль использовал $=$ главным образом на занятиях, он также рассматривал случай, что $x,y$ это предложения в $x=y$, и в то время $=$ является эквивалентностью.
• $\equiv$ во Фреге в 1879 году;
• $\sim$ в Бернейсе в 1918 году;
• $\rightleftarrows$ у Гильберта в 1927 году (пока он использовал $\sim$ как главный символ в статье);
• $\leftrightarrow$ у Гильберта и Аккермана в 1928 году (они также представили $\rightleftarrows ,\sim$ пока они используют $\sim$ как главный символ всей книги; $\leftrightarrow$ принят многими последователями, такими как Беккер в 1933 году. );
• $E$ (префикс) в Лукасевиче в 1929 г. и $Q$ (префикс) в Лукасевиче в 1951 г.;
• $\supset \subset$ в Хейтинге в 1930 году;
• $\Leftrightarrow$ в Бурбаки в 1954 году;
• $\subset \supset$ в Чазале в 1996 году;

и так далее. Кто-то еще также использует $\operatorname {EQ}$ или $\operatorname {EQV}$ изредка.

Определение

Логическое равенство (также известное как двуусловное) — это операция над двумя логическими значениями , обычно значениями двух высказываний , которая дает значение true тогда и только тогда, когда оба операнда ложны или оба операнда истинны.

Таблица истинности

Ниже представлена ​​таблица истинности для $A\leftrightarrow B$:

$A$	$B$	$A\leftrightarrow B$
Ф	Ф	Т
Ф	Т	Ф
Т	Ф	Ф
Т	Т	Т

Если задействовано более двух операторов, их объединение с $\leftrightarrow$может быть неоднозначным. Например, утверждение

$x_{1}\leftrightarrow x_{2}\leftrightarrow x_{3}\leftrightarrow \cdots \leftrightarrow x_{n}$

может быть истолковано как

$(((x_{1}\leftrightarrow x_{2})\leftrightarrow x_{3})\leftrightarrow \cdots )\leftrightarrow x_{n}$,

или может быть истолковано как утверждение, что все x _i совместно истинны или совместно ложны :

$(x_{1}\land \cdots \land x_{n})\lor (\neg x_{1}\land \cdots \land \neg x_{n})$

Как выяснилось, эти два утверждения одинаковы только тогда, когда задействовано ноль или два аргумента. Фактически, следующие таблицы истинности показывают один и тот же битовый шаблон только в строке без аргумента и в строках с двумя аргументами:

$~x_{1}\leftrightarrow \cdots \leftrightarrow x_{n}$
означает эквивалент
$\neg ~(\neg x_{1}\oplus \cdots \oplus \neg x_{n})$

Центральная диаграмма Венна ниже:
и линия (ABC) в этой матрице
представляют собой одну и ту же операцию.

$~x_{1}\leftrightarrow \cdots \leftrightarrow x_{n}$
имелось в виду как сокращение для
$(~x_{1}\land \cdots \land x_{n}~)$
$\lor ~(\neg x_{1}\land \cdots \land \neg x_{n})$

Диаграмма Венна прямо ниже,
и линия (ABC) в этой матрице
представляют собой одну и ту же операцию.

Левая диаграмма Венна ниже и линии (AB) в этих матрицах представляют одну и ту же операцию.

Диаграммы Венна

Красные области означают истину (как в для и ).

Бикондиционал двух утверждений является отрицанием исключительного или : $~A\leftrightarrow B~~\Leftrightarrow ~~\neg (A\oplus B)$ $\Leftrightarrow \neg$

Двуусловное и исключительный или из трех утверждений дать тот же результат: $~A\leftrightarrow B\leftrightarrow C~~\Leftrightarrow$ $~A\oplus B\oplus C$ $\leftrightarrow$ $~~\Leftrightarrow ~~$ $\oplus$ $~~\Leftrightarrow ~~$

Но $~A\leftrightarrow B\leftrightarrow C$ также может использоваться как сокращение для $(A\leftrightarrow B)\land (B\leftrightarrow C)$ $\land$ $~~\Leftrightarrow ~~$

Свойства

Коммутативность : Да

$A\leftrightarrow B$	$\Leftrightarrow$	$B\leftrightarrow A$
	$\Leftrightarrow$

Ассоциативность : Да

$~A$	$~~~\leftrightarrow ~~~$	$(B\leftrightarrow C)$	$\Leftrightarrow$			$(A\leftrightarrow B)$	$~~~\leftrightarrow ~~~$	$~C$
	$~~~\leftrightarrow ~~~$		$\Leftrightarrow$		$\Leftrightarrow$		$~~~\leftrightarrow ~~~$

Дистрибутивность : биусловное выражение не распространяется ни на одну двоичную функцию (даже на себя), но логическая дизъюнкция распространяется на биусловное выражение.

Идемпотентность : Нет

$~A~$	$~\leftrightarrow ~$	$~A~$	$\Leftrightarrow$	$~1~$	$\nLeftrightarrow$	$~A~$
	$~\leftrightarrow ~$		$\Leftrightarrow$		$\nLeftrightarrow$

Монотонность : Нет

$A\rightarrow B$	$\nRightarrow$			$(A\leftrightarrow C)$	$\rightarrow$	$(B\leftrightarrow C)$
	$\nRightarrow$		$\Leftrightarrow$		$\rightarrow$

Сохранение истины: Да
Когда все входные данные верны, выходные данные верны.

$A\land B$	$\Rightarrow$	$A\leftrightarrow B$
	$\Rightarrow$

Сохранение ложности: Нет
Когда все входные данные ложны, выходные данные не являются ложными.

$A\leftrightarrow B$	$\nRightarrow$	$A\lor B$
	$\nRightarrow$

Спектр Уолша : (2,0,0,2)

Нелинейность : 0 (функция линейна)

Правила вывода

Основная статья: Правила вывода

Как и все связки в логике первого порядка, бикондиционал имеет правила вывода, которые управляют его использованием в формальных доказательствах.

Двуусловное введение

Основная статья: Двуусловное введение

Двуусловное введение позволяет сделать вывод, что если B следует из A, а A следует из B, то A тогда и только тогда, когда B.

Например, из утверждений «если я дышу, то я жив» и «если я жив, то я дышу» можно сделать вывод, что «я дышу тогда и только тогда, когда я Я жив» или, что то же самое, «Я жив тогда и только тогда, когда я дышу». Или более схематично:

Б → А  
    А → Б 
   ∴ А ↔ Б 
 

Б → А  
    А → Б 
   ∴ Б ↔ А 
 

Двуусловное исключение

Двуусловное исключение позволяет вывести условное выражение из двуусловного: если A ↔ B истинно, то можно сделать вывод либо A → B, либо B → A.

Например, если верно, что я дышу тогда и только тогда, когда я жив, то верно и то, что если я дышу, то я жив; точно так же верно и то, что если я жив, то я дышу. Или более схематично:

 А ↔ Б 
   ∴ А → Б 
 

 А ↔ Б 
   ∴ Б → А 
 

Разговорное употребление

Один однозначный способ выразить бикондиционал на простом английском языке — это принять форму « b if a и a if b стандартная форма « a if and only if b » — если не используется ». Несколько более формально можно было бы также сказать, что « b подразумевает а , а а подразумевает b », или « а необходимо и достаточно для b ». Простое английское «если» иногда может использоваться как двустороннее условие (особенно в контексте математического определения). ). В этом случае при интерпретации этих слов необходимо учитывать окружающий контекст.

Например, утверждение «Я куплю вам новый кошелек, если он вам понадобится» может быть интерпретировано как двойное условие, поскольку говорящий не предполагает, что покупка кошелька будет действительным результатом независимо от того, нужен он или нет (поскольку в условном). Однако фраза «облачно, если идет дождь» обычно не подразумевается как двустороннее условие, поскольку облачно все равно может быть, даже если дождя нет.

См. также

• Если и только если
• Логическая эквивалентность
• Логическое равенство
• XNOR-ворота
• Двуусловное исключение
• Двуусловное введение

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с логическим бикондиционалом, на Викискладе?

Эта статья включает в себя материал из Biconditional на PlanetMath , который доступен под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .