Логическое равенство

Соответствующую концепцию комбинационной логики см. в разделе вентиль «ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ-НЕ» .

Логическое равенство

Эквалайзер, ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ-НЕ
Определение	$x=y$
Таблица истинности	$(1001)$
Логический вентиль
Нормальные формы
Дизъюнктивный	$x\cdot y+{\overline {x}}\cdot {\overline {y}}$
соединительный	$({\overline {x}}+y)\cdot (x+{\overline {y}})$
Полином Жегалкина	$1\oplus x\oplus y$
Решетки постовые
0-сохраняющий	нет
1-сохраняющий	да
монотонный	нет
Аффинный	да

Логическое равенство — это логический оператор , который соответствует равенству в булевой алгебре и логическому бикондиционалу в исчислении высказываний . Он дает функциональное значение true , если оба функциональных аргумента имеют одинаковое логическое значение , и false, если они разные.

В различных приложениях принято, хотя и не всегда технически точно, указывать операцию логического равенства логических операндов x и y в любой из следующих форм:

${\begin{aligned}x&\leftrightarrow y&x&\Leftrightarrow y&\mathrm {E} xy\\x&\mathrm {~EQ~} y&x&=y\end{aligned}}$

Некоторые логики, однако, проводят четкое различие между функциональной формой , подобной формам в левом столбце, которые они интерпретируют как применение функции к паре аргументов — и, таким образом, простое указание на то, что значение составного выражения зависит от значения выражений компонентов — и эквациональную форму , подобную той, что в правом столбце, которую они интерпретируют как утверждение о том, что аргументы имеют равные значения, другими словами, что функциональное значение составного выражения истинно .

Определение

Логическое равенство — это операция над двумя логическими значениями , обычно значениями двух высказываний , которая дает значение «истина» тогда и только тогда, когда оба операнда ложны или оба операнда истинны.

Таблица истинности ( p EQ q также записываемая как p = q , p ↔ q , Epq , p ≡ q или p == q ) выглядит следующим образом:

Диаграмма Венна A EQ B (красная часть верна)

Логическое равенство

п	д	р = q
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Альтернативные описания

Форма ( x = y ) эквивалентна форме ( x ∧ y ) ∨ (¬ x ∧ ¬ y ).

$(x=y)=\lnot (x\oplus y)=\lnot x\oplus y=x\oplus \lnot y=(x\land y)\lor (\lnot x\land \lnot y)=(\lnot x\lor y)\land (x\lor \lnot y)$

Для операндов x и y таблица истинности оператора логического равенства выглядит следующим образом:

$x\leftrightarrow y$		и
		Т	Ф
х	Т	Т	Ф
	Ф	Ф	Т

Неравенство

В математике знак плюс «+» почти всегда указывает на операцию, которая удовлетворяет аксиомам, присвоенным сложению в типе алгебраической структуры , известной как поле . Для булевой алгебры это означает, что логическая операция, обозначаемая «+», не то же самое, что инклюзивная дизъюнкция , обозначаемая «∨», но фактически эквивалентна оператору логического неравенства, обозначаемому «≠», или тому же самому. , исключительная дизъюнкция , обозначаемая «XOR» или «⊕». Естественно, эти различия в использовании на протяжении многих лет приводили к некоторым сбоям в общении между математиками и инженерами-коммутаторами. Во всяком случае, имеется следующий массив соответствующих форм символов, связанных с логическим неравенством:

${\begin{aligned}x&+y&x&\not \equiv y&Jxy\\x&\mathrm {~XOR~} y&x&\neq y\end{aligned}}$

Это объясняет, почему «EQ» часто называют « ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ » в комбинационной логике схемотехников, поскольку это отрицание операции «ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ» ; «NXOR» — менее распространенная альтернатива. Другая рационализация заведомо окольного названия «XNOR» заключается в том, что он начинается с оператора NOR «оба ложных», а затем добавляется eXception «или оба истинные».

См. также

• Булева функция
• Если и только если
• Логическая эквивалентность
• Логическое двуусловие
• Пропозициональное исчисление

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с логическим равенством, на Викискладе?
• Математический мир, XNOR