Основное выражение

В математической логике основным термином формальной системы является термин , который не содержит никаких переменных . Аналогично, основная формула — это формула , не содержащая переменных.

В логике первого порядка с тождеством с постоянными символами $a$ и $b$, предложение $Q(a)\lor P(b)$является основной формулой. Основное выражение — это основной термин или основная формула.

Примеры

Рассмотрим следующие выражения в логике первого порядка над сигнатурой, содержащей константные символы. $0$ и $1$ для чисел 0 и 1 соответственно унарный функциональный символ $s$ для функции-преемника и символа двоичной функции $+$ для дополнения.

• $s(0),s(s(0)),s(s(s(0))),\ldots$ являются основными условиями;
• $0+1,\;0+1+1,\ldots$ являются основными условиями;
• $0+s(0),\;s(0)+s(0),\;s(0)+s(s(0))+0$ являются основными условиями;
• $x+s(1)$ и $s(x)$ являются терминами, но не основными терминами;
• $s(0)=1$ и $0+0=0$ являются основными формулами.

Формальные определения

Далее следует формальное определение языков первого порядка . Пусть дан язык первого порядка, причем $C$ набор постоянных символов, $F$ набор функциональных операторов и $P$ совокупность символов-предикатов .

Основной термин

А Основной термин – это термин , который не содержит переменных. Основные термины могут быть определены с помощью логической рекурсии (формула-рекурсия):

1. Элементы $C$ являются основными условиями;
2. Если $f\in F$ является $n$-арный функциональный символ и $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}$ являются основными терминами, то $f\left(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}\right)$ является основным термином.
3. Каждый основной термин может быть задан путем конечного применения двух вышеуказанных правил (других основных терминов нет; в частности, предикаты не могут быть основными терминами).

Грубо говоря, вселенная Эрбрана представляет собой совокупность всех основных терминов.

Основной атом

А основной предикат , основной атом или Основной литерал — это атомарная формула , все аргументы которой являются основными терминами.

Если $p\in P$ является $n$-арный символ предиката и $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}$ являются основными терминами, то $p\left(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}\right)$ является основным предикатом или основным атомом.

Грубо говоря, основание Эрбрана — это совокупность всех основных атомов. в то время как интерпретация Эрбрана присваивает истинностное значение каждому основному атому основания.

Основная формула

А основная формула или Основное предложение — это формула без переменных.

Основные формулы могут быть определены с помощью синтаксической рекурсии следующим образом:

1. Основной атом – это основная формула.
2. Если $\varphi$ и $\psi$ являются основными формулами, то $\lnot \varphi$, $\varphi \lor \psi$, и $\varphi \land \psi$ являются основными формулами.

Основные формулы представляют собой особый вид замкнутых формул .

См. также

• Открытая формула – формула, содержащая хотя бы одну свободную переменную. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Предложение (математическая логика) - в математической логике правильно составленная формула без свободных переменных. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.

Ссылки

• Далал, М. (2000), «Парадигмы компьютерного программирования, основанные на логике», Розен, К.Х.; Майклс, Дж. Г. (ред.), Справочник по дискретной и комбинаторной математике , с. 68
• Ходжес, Уилфрид (1997), Более короткая теория модели , Cambridge University Press , ISBN  978-0-521-58713-6
• Логика первого порядка: синтаксис и семантика