Наследственный набор

В теории множеств ( наследственное множество или чистое множество ) — это множество , все элементы которого являются наследственными множествами. То есть все элементы множества сами по себе являются множествами, как и все элементы элементов и так далее.

Примеры

Например, совершенно неверно , что пустое множество является наследственным множеством, и, следовательно, множество $\{\varnothing \}$ содержащий только пустой набор $\varnothing$ является наследственным набором. Аналогично, набор $\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}$ содержащее два элемента: пустое множество и множество, содержащее только пустое множество, является наследственным множеством.

В формулировках теории множеств

В формулировках теории множеств, которые предназначены для интерпретации во вселенной фон Неймана или для выражения содержания теории множеств Цермело-Френкеля , все множества являются наследственными, поскольку единственный вид объектов, который даже может быть кандидатом на роль элемента набор - это другой набор. Таким образом, понятие наследственного множества интересно только в контексте, в котором могут существовать элементы .

Предположения

Индуктивное определение наследственных множеств предполагает, что членство в множестве хорошо обосновано (т. е. аксиома регулярности ), в противном случае повторение может не иметь единственного решения. Однако это можно переформулировать неиндуктивно следующим образом: множество является наследственным тогда и только тогда, когда его транзитивное замыкание содержит только множества. Таким образом, концепцию наследственных множеств можно распространить и на необоснованные теории множеств, в которых множества могут быть членами самих себя. Например, набор, содержащий только самого себя, является наследственным набором.

См. также

• Наследственно счетное множество
• Наследственно конечное множество
• Хорошо обоснованный набор

Ссылки

• Кунен, Кеннет (1980). Теория множеств: введение в доказательства независимости . Северная Голландия. ISBN  0-444-85401-0 .