Основы геометрии

Основой геометрии является изучение геометрии как аксиоматической системы . Существует несколько наборов аксиом, которые порождают евклидову геометрию или неевклидову геометрию . Они имеют основополагающее значение для изучения и имеют историческое значение, но существует очень много современных геометрий, не являющихся евклидовыми, которые можно изучать с этой точки зрения. Термин аксиоматическая геометрия может применяться к любой геометрии, разработанной на основе системы аксиом, но часто используется для обозначения евклидовой геометрии, изучаемой с этой точки зрения. Полнота и независимость общих аксиоматических систем являются важными математическими соображениями, но есть также проблемы, связанные с преподаванием геометрии, которые вступают в игру.

Аксиоматические системы

Основная статья: Аксиоматическая система

Основанная на древнегреческих методах, аксиоматическая система представляет собой формальное описание способа установления математической истины , вытекающей из фиксированного набора предположений. Хотя геометрия применима к любой области математики, она является разделом элементарной математики, в котором этот метод наиболее широко и успешно применяется.

Существует несколько компонентов аксиоматической системы.

1. Примитивы (неопределенные термины) — это самые основные идеи. Обычно они включают объекты и отношения. В геометрии объектами являются такие вещи, как точки , линии и плоскости , а фундаментальными отношениями являются отношения инцидентности – встречи или соединения одного объекта с другим. Сами термины не определены. Гильберт однажды заметил, что вместо точек, линий и плоскостей можно с таким же успехом говорить о столах, стульях и пивных кружках. Его точка зрения заключается в том, что примитивные термины — это всего лишь пустые оболочки, заполнители, если хотите, и не имеющие внутренних свойств.
2. Аксиомы (или постулаты) — это утверждения об этих примитивах; например, любые две точки вместе инцидентны только одной прямой (т. е. для любых двух точек существует только одна линия, проходящая через них обе). Аксиомы считаются истинными, а не доказанными. Они являются строительными блоками геометрических концепций, поскольку определяют свойства, которыми обладают примитивы.
3. Законы логики .
4. Теоремы ​ являются логическими следствиями аксиом, то есть утверждениями, которые можно получить из аксиом, используя законы дедуктивной логики.

Интерпретация аксиоматической системы — это некий особый способ придания конкретного значения примитивам этой системы. Если эта ассоциация значений делает аксиомы системы истинными утверждениями, то интерпретация называется моделью системы. В модели все теоремы системы автоматически являются истинными утверждениями.

Свойства аксиоматических систем

При обсуждении аксиоматических систем часто основное внимание уделяется нескольким свойствам:

• Аксиомы аксиоматической системы называются непротиворечивыми, если из них нельзя вывести никакого логического противоречия. За исключением простейших систем, непротиворечивость — это свойство, которое трудно установить в аксиоматической системе. С другой стороны, если существует модель аксиоматической системы, то любое противоречие, выводимое в системе, также выводится в модели, и аксиоматическая система столь же непротиворечива, как и любая система, к которой принадлежит модель. Это свойство (наличие модели) называется относительной согласованностью или согласованностью модели .
• Аксиома называется независимой , если ее нельзя доказать или опровергнуть с помощью других аксиом аксиоматической системы. Аксиоматическая система называется независимой, если каждая из ее аксиом независима. Если истинное утверждение является логическим следствием аксиоматической системы, то оно будет истинным утверждением в каждой модели этой системы. Чтобы доказать независимость аксиомы от остальных аксиом системы, достаточно найти две модели остальных аксиом, для которых аксиома является истинным утверждением в одной и ложным утверждением в другой. Независимость не всегда является желательным свойством с педагогической точки зрения.
• Аксиоматическая система называется полной, если каждое высказывание, выражаемое в терминах системы, либо доказуемо, либо имеет доказуемое отрицание. Другой способ сказать это состоит в том, что к полной аксиоматической системе не может быть добавлено ни одно независимое утверждение, согласующееся с аксиомами этой системы.
• Аксиоматическая система является категоричной, если любые две модели системы изоморфны (по сути, существует только одна модель системы). Категориальная система обязательно полна, но полнота не предполагает категоричности. В некоторых ситуациях категоричность не является желательным свойством, поскольку категориальные аксиоматические системы не могут быть обобщены. Например, ценность аксиоматической системы для теории групп состоит в том, что она не является категоричной, поэтому доказательство результата в теории групп означает, что этот результат действителен во всех различных моделях теории групп, и нет необходимости опровергать результат. в каждой из неизоморфных моделей.

Евклидова геометрия

Основная статья: Евклидова геометрия

Евклидова геометрия — математическая система, приписываемая александрийскому греческому математику Евклиду , которую он описал (хотя и не строго по современным стандартам) в своем учебнике по геометрии : «Начала» . Метод Евклида состоит в том, чтобы принять небольшой набор интуитивно привлекательных аксиом и вывести множество других предложений ( теорем из них ). Хотя многие результаты Евклида были сформулированы более ранними математиками, Евклид был первым, кто показал, как эти положения могут вписаться в комплексную дедуктивную и логическую систему . « Элементы » начинаются с плоской геометрии, которую до сих пор преподают в средней школе как первую аксиоматическую систему и первые примеры формального доказательства . Это переходит к твердой геометрии трех измерений . Большая часть «Элементов» содержит результаты того, что сейчас называется алгеброй и теорией чисел , объясненные на геометрическом языке.

На протяжении более двух тысяч лет прилагательное «евклидово» было ненужным, поскольку не было изобретено никакого другого вида геометрии. Аксиомы Евклида казались настолько интуитивно очевидными (за исключением, возможно, постулата о параллельности ), что любая доказанная на их основе теорема считалась истинной в абсолютном, часто метафизическом, смысле. Сегодня, однако, известно множество других геометрий, не являющихся евклидовыми, причем первые из них были открыты в начале 19 века.

Евклида Элементы

Основная статья: Элементы Евклида

Евклида» « Начала — математический и геометрический трактат , состоящий из 13 книг, написанных древнегреческим математиком Евклидом в Александрии ок. 300 г. до н. э. Это сборник определений, постулатов ( аксиом ), утверждений ( теорем и конструкций ) и математических доказательств утверждений. Тринадцать книг охватывают евклидову геометрию и древнегреческую версию элементарной теории чисел . За исключением » Автолика « О движущейся сфере , «Начала» являются одним из древнейших дошедших до нас греческих математических трактатов. и это старейшая из существующих аксиоматических дедуктивных трактовок математики . Оно сыграло важную роль в развитии логики и современной науки .

Евклида «Начала» называют наиболее успешным и влиятельный когда-либо написанный учебник. Впервые напечатанная в Венеции в 1482 году, это одна из самых ранних математических работ, напечатанных после изобретения печатного станка , и, по оценкам Карла Бенджамина Бойера, она уступает только Библии по количеству опубликованных изданий. их число превысило тысячу. На протяжении веков, когда квадривиум знание хотя бы части «Начал» был включен в учебную программу всех студентов университетов, от всех студентов требовалось Евклида. Лишь в 20 веке, когда его содержание стало повсеместно преподаваться с помощью других школьных учебников, оно перестало считаться чем-то, что читали все образованные люди.

« Элементы » представляют собой в основном систематизацию более ранних знаний по геометрии. Предполагается, что его превосходство над более ранними методами лечения было признано, в результате чего интерес к сохранению более ранних методов был незначительным, и теперь они почти все утеряны.

В книгах I–IV и VI обсуждается плоская геометрия. Доказаны многие результаты о плоских фигурах, например: если треугольник имеет два равных угла, то стороны, опирающиеся на эти углы, равны. Теорема Пифагора доказана.

Книги V и VII – X посвящены теории чисел, где числа рассматриваются геометрически через их представление в виде отрезков прямой различной длины. такие понятия, как простые числа , рациональные и иррациональные числа Вводятся . Доказана бесконечность простых чисел.

Книги XI–XIII посвящены твердотельной геометрии. Типичным результатом является соотношение 1:3 между объемом конуса и цилиндра с одинаковой высотой и основанием.

Постулат параллельности: если две линии пересекают третью таким образом, что сумма внутренних углов на одной стороне меньше двух прямых углов, то две линии неизбежно должны пересечься друг с другом на этой стороне, если они вытянуты достаточно далеко.

Ближе к началу первой книги « Элементов» Евклид дает пять постулатов (аксиом) плоской геометрии, изложенных в терминах конструкций (в переводе Томаса Хита):

«Пусть постулируется следующее»:

1. «Провести прямую линию из любой точки в любую точку».
2. «Производить [продлевать] конечную прямую линию непрерывно по прямой».
3. «Описать круг с любым центром и расстоянием [радиусом]».
4. «Что все прямые углы равны друг другу».
5. Постулат о параллельности : «Если прямая, падающая на две прямые, делает внутренние углы на одной и той же стороне меньшими двух прямых углов, то две прямые линии, если их производить бесконечно, встретятся на той стороне, на которой углы меньше два прямых угла».

Хотя изложение постулатов Евклидом лишь явно утверждает существование конструкций, предполагается, что они также создают уникальные объекты.

Успех «Начал» обусловлен прежде всего логическим изложением большей части математических знаний, доступных Евклиду. Большая часть материала ему не принадлежит, хотя многие доказательства предположительно принадлежат ему. Систематическое развитие Евклидом своего предмета, от небольшого набора аксиом до глубоких результатов, а также последовательность его подхода во всех «Началах» способствовали использованию его в качестве учебника на протяжении около 2000 лет. « Элементы » до сих пор влияют на современные книги по геометрии. Более того, ее логический аксиоматический подход и строгие доказательства остаются краеугольным камнем математики.

Критика Евклида

Стандарты математической строгости изменились с тех пор, как Евклид написал « Начала» . Современное отношение и точки зрения на аксиоматическую систему могут создать впечатление, что Евклид был в некотором роде небрежным или небрежным в своем подходе к предмету, но это внеисторическая иллюзия. И только после того, как основы были тщательно изучены в ответ на введение неевклидовой геометрии, то, что мы сейчас считаем недостатками начало проявляться . Математик и историк У. В. Роуз Болл рассмотрел эту критику в перспективе, отметив, что «тот факт, что в течение двух тысяч лет [ Начала ] был обычным учебником по этому предмету, вызывает сильное предположение, что он вполне пригоден для этой цели».

Некоторые из основных проблем презентации Евклида:

• Непризнание понятия примитивных терминов , объектов и понятий, которые необходимо оставить неопределенными при разработке аксиоматической системы.
• Использование суперпозиции в некоторых доказательствах без аксиоматического обоснования этого метода.
• Отсутствие понятия непрерывности, которое необходимо для доказательства существования некоторых точек и прямых, которые строит Евклид.
• Отсутствие ясности относительно того, является ли прямая бесконечной или безграничной во втором постулате.
• Отсутствие понятия посредничества , используемого, в том числе, для различения внутреннего и внешнего тех или иных фигур.

Список аксиом Евклида в «Началах» не был исчерпывающим, но представлял собой принципы, которые казались наиболее важными. Его доказательства часто используют аксиоматические понятия, которые изначально не были представлены в его списке аксиом. Из-за этого он не сбивается с пути и не доказывает ошибочные вещи, поскольку использует неявные предположения, справедливость которых, по-видимому, подтверждается диаграммами, сопровождающими его доказательства. Позже математики включили неявные аксиоматические предположения Евклида в список формальных аксиом, тем самым значительно расширив этот список.

Например, в первой конструкции Книги 1 Евклид использовал предпосылку, которая не постулировалась и не была доказана: что две окружности с центрами на расстоянии их радиуса пересекутся в двух точках. Позже, в четвертой конструкции, он использовал суперпозицию (перемещение треугольников друг на друга), чтобы доказать, что если две стороны и их углы равны, то они конгруэнтны; при этих рассуждениях он использует некоторые свойства суперпозиции, но эти свойства в трактате явно не описаны. Если бы суперпозицию считали действительным методом геометрического доказательства, вся геометрия была бы полна таких доказательств. Например, предложения I.1–I.3 можно доказать тривиально, используя суперпозицию.

Чтобы решить эти проблемы в творчестве Евклида, более поздние авторы пытались либо заполнить пробелы в изложении Евклида (наиболее примечательная из этих попыток принадлежит Д. Гильберту ), либо организовать систему аксиом вокруг § различных понятий , как это Г. Д. Биркгоф. сделал сделанный.

Паш и Пеано

Немецкий математик Мориц Паш (1843–1930) был первым, кто выполнил задачу поставить евклидову геометрию на прочную аксиоматическую основу. В своей книге « Vorlesungen über neuere Geometrie», опубликованной в 1882 году, Паш заложил основы современного аксиоматического метода. Он создал концепцию примитивного понятия (которую он назвал Кернбегрифом ) и вместе с аксиомами ( Kernsätzen ) конструирует формальную систему, свободную от каких-либо интуитивных влияний. По мнению Паша, единственное место, где интуиция должна играть роль, — это принятие решения о том, какими должны быть примитивные понятия и аксиомы. Таким образом, для Паша точка — это примитивное понятие, а линия (прямая линия) — нет, поскольку у нас есть хорошее представление о точках, но никто никогда не видел и не имел опыта работы с бесконечной линией. Примитивное понятие, которое Паш использует вместо этого, — это отрезок линии .

Паш заметил, что порядок точек на линии (или, что то же самое, свойства содержания отрезков линии) не решаются должным образом аксиомами Евклида; таким образом, теорема Паша , утверждающая, что если выполняются два отношения содержания отрезков прямой, то и третье также имеет место, не может быть доказана на основе аксиом Евклида. Соответствующая аксиома Паша касается свойств пересечения линий и треугольников.

Работа Паша над основами установила стандарт строгости не только в геометрии, но и в более широком контексте математики. Его революционные идеи сейчас настолько распространены, что трудно вспомнить, был ли у них один автор. Работы Паша оказали непосредственное влияние на многих других математиков, в частности на Д. Гильберта и итальянского математика Джузеппе Пеано (1858–1932). Работа Пеано по геометрии 1889 года, в основном перевод трактата Паша в обозначения символической логики (изобретённой Пеано), использует примитивные понятия точки и промежутка . Пеано разрывает эмпирическую связь в выборе примитивных понятий и аксиом, которых требовал Паш. Для Пеано вся система является чисто формальной, отделенной от каких-либо эмпирических данных.

и итальянская

Итальянский математик Марио Пьери (1860–1913) применил другой подход и рассмотрел систему, в которой существовало только два примитивных понятия: точка и движение . Паш использовал четыре примитива, а Пеано сократил их до трёх, но оба этих подхода опирались на некоторую концепцию промежуточного взаимодействия, которую Пьери заменил своей формулировкой движения . В 1905 году Пьери дал первую аксиоматическую трактовку сложной проективной геометрии , которая не начиналась с построения реальной проективной геометрии.

Пьери был членом группы итальянских геометров и логиков, которую Пеано собрал вокруг себя в Турине. Эта группа помощников, младших коллег и других посвятила себя реализации логико-геометрической программы Пеано, заключающейся в том, чтобы поставить основы геометрии на прочную аксиоматическую основу, основанную на логическом символизме Пеано. Помимо Пьери, Бурали-Форти , Падоа и Фано в эту группу входили . В 1900 году в Париже прошли две международные конференции: Международный философский конгресс и Второй международный конгресс математиков . Эта группа итальянских математиков активно присутствовала на этих конгрессах, продвигая свою аксиоматическую программу. Падоа выступил с хорошо зарекомендовавшей себя речью, а Пеано в период вопросов после Дэвида Гильберта знаменитого выступления о нерешенных проблемах заметил, что его коллеги уже решили вторую проблему Гильберта.

Аксиомы Гильберта

Основная статья: аксиомы Гильберта

Дэвид Хилберт

В Геттингенском университете во время зимнего семестра 1898–1899 гг. выдающийся немецкий математик Давид Гильберт (1862–1943) прочитал курс лекций по основам геометрии. По просьбе Феликса Кляйна профессору Гильберту было поручено написать конспекты лекций по этому курсу к лету 1899 года, к церемонии открытия памятника К. Ф. Гауссу и Вильгельму Веберу, которая должна была состояться в университете. Переработанные лекции были опубликованы в июне 1899 года под названием Grundlagen der Geometrie (Основы геометрии). Влияние книги было немедленным. По словам Ивса (1963 , стр. 384–5):

Разработав систему постулатов евклидовой геометрии, которая по духу не слишком отличается от постулатов Евклида, и используя минимум символизма, Гильберт сумел убедить математиков в гораздо большей степени, чем Паш и Пеано, в чисто гипотетико-дедуктивной теории. природа геометрии. Но влияние работ Гильберта вышло далеко за рамки этого, поскольку, опираясь на большой математический авторитет автора, они прочно внедрили постуляционный метод не только в области геометрии, но и, по существу, во всех других разделах математики. Стимул развитию основ математики, который дала книжка Гильберта, трудно переоценить. Из-за отсутствия странного символизма работ Паша и Пеано, работы Гильберта по большей части могут быть прочитаны любым умным студентом, изучающим геометрию средней школы.

Трудно указать аксиомы, используемые Гильбертом, не обращаясь к истории публикации Grundlagen, поскольку Гильберт несколько раз менял и модифицировал их. За оригинальной монографией вскоре последовал французский перевод, в который Гильберт добавил V.2, Аксиому полноты. Английский перевод, одобренный Гильбертом, был сделан Э. Дж. Таунсендом и защищен авторскими правами в 1902 году. В этот перевод вошли изменения, внесенные во французский перевод, и поэтому он считается переводом 2-го издания. Гильберт продолжал вносить изменения в текст, и несколько изданий вышло на немецком языке. 7-е издание было последним, вышедшим при жизни Гильберта. За 7-м последовали новые издания, но основной текст по существу не перерабатывался. Изменения в этих изданиях происходят в приложениях и дополнениях. Изменения в тексте были значительными по сравнению с оригиналом, и новый английский перевод был заказан издательством Open Court Publishers, опубликовавшим перевод Таунсенда. Итак, 2-е английское издание было переведено Лео Унгером с 10-го немецкого издания в 1971 году. Этот перевод включает в себя несколько исправлений и расширений более поздних немецких изданий Пола Бернейса. Различия между двумя английскими переводами обусловлены не только Гильбертом, но и разным выбором, сделанным двумя переводчиками. Дальнейшее будет основано на переводе Унгера.

Гильберта Система аксиом построена с использованием шести примитивных понятий : точка , линия , плоскость , промежуточность , лежит на (содержании) и конгруэнтность .

Все точки, линии и плоскости в следующих аксиомах различны, если не указано иное.

I. Заболеваемость

1. Для каждых двух точек A и B существует прямая a , содержащая их обе. Пишем AB = a или BA = a . Вместо «содержит» мы можем использовать и другие формы выражения; например, мы можем сказать: « А лежит на а », « А является точкой а », « а проходит через А и через В », « А а соединяет с В » и т. д. Если А лежит на а и в в то же время на другой прямой b мы употребляем также выражение: «Прямые а и b точку А » и т. д. имеют общую
2. Для каждых двух точек существует не более одной линии, содержащей их обе; следовательно, если AB = a и AC = a , где B ≠ C , то также BC = a .
3. На прямой существует как минимум две точки. Существуют по крайней мере три точки, не лежащие на прямой.
4. Для каждых трёх точек A , B , C , не лежащих на одной прямой, существует плоскость α, содержащая их все. Для каждой плоскости существует точка, лежащая на ней. Пишем ABC = α . Мы также используем выражения: « A , B , C лежат в α»; «A, B, C — точки α» и т. д.
5. Для каждых трёх точек A , B , C , не лежащих на одной прямой, существует не более одной плоскости, содержащей их все.
6. Если две точки A , B прямой a лежат в плоскости α, то каждая точка a лежит в α. В этом случае мы говорим: «Прямая а лежит в плоскости а» и т. д.
7. точку A Если две плоскости α, β имеют общую них есть хотя бы вторая общая точка B. , то у
8. Существует по крайней мере четыре точки, не лежащие в плоскости.

II. Заказ

1. Если точка B лежит между точками A и C , то B также находится между C и A , и существует линия, содержащая различные точки A,B,C .
2. Если A и C — две точки прямой, то существует хотя бы одна точка B лежащая между A и C. ,
3. Из любых трёх точек, расположенных на прямой, не более одной лежит между двумя другими.
4. Аксиома Паша : пусть A , B , C не лежащие на одной прямой, и пусть a — прямая, лежащая в плоскости ABC и не проходящая через ни одну из точек A , B , C. — три точки , Тогда, если прямая a проходит через точку отрезка AB , она также пройдет либо через точку отрезка BC , либо через точку отрезка AC .

III. Конгруэнтность

1. Если A , B — две точки на прямой a , и если A’ — точка на той же или другой прямой a’ , то на данной стороне A’ на прямой a’ всегда можно найти точку B′ так, что отрезок AB конгруэнтен отрезку A′B′ . Мы обозначаем это соотношение, записывая AB ≅ A′ B′ . Каждый сегмент конгруэнтен сам себе; то есть всегда AB ≅ AB .
   Мы можем кратко сформулировать приведенную выше аксиому, сказав, что каждый отрезок можно отложить с данной стороны от данной точки данной прямой хотя бы одним способом.
2. Если отрезок AB конгруэнтен отрезку A'B', а также сегменту A″B″ , то отрезок A’B’ конгруэнтен отрезку A″B″ ; то есть, если AB ≅ A′B′ и AB ≅ A″B″ , то A′B′ ≅ A″B″ .
3. Пусть AB и BC — два отрезка прямой a, не имеющие общих точек, кроме точки B , и, кроме того, пусть A’B’ и B’C’ — два отрезка одной и той же или другой прямой a’, имеющие точки, кроме B' , также нет общей . Тогда, если AB ≅ A′B′ и BC ≅ B′C′ , мы имеем AC ≅ A′C′ .
4. Пусть угол ∠ ( h , k ) задан в плоскости α, а прямая a′ задана в плоскости α′. определенная сторона прямой a′ Предположим также, что в плоскости α′ задана . Обозначим через h' луч прямой a', исходящий из точки O' этой прямой. Тогда в плоскости α′ существует один и только один луч k′ такой, что угол ∠( h , k ) или ∠( k , h ) конгруэнтен углу ∠( h′ , k′ ) и при в то же время все внутренние точки угла ∠ ( h′ , k′ ) лежат на данной стороне a′ . Выразим это соотношение посредством обозначения ∠ ( h , k ) ≅ ∠ ( h′ , k′ ).
5. Если угол ∠( h , k ) конгруэнтен углу ∠( h′ , k′ ) и углу ∠( h″ , k″ ), то угол ∠( h′ , k′ ) конгруэнтен угол ∠ ( h″ , k″ ); то есть, если ∠ ( h , k ) ≅ ∠ ( h′ , k′ ) и ∠ ( h , k ) ≅ ∠ ( h″ , k″ ), то ∠ ( h′ , k′ ) ≅ ∠ ( ч″ , к″ ).

IV. Параллели

1. (Аксиома Евклида): Пусть а — любая прямая, а А — точка, не лежащая на ней. Тогда существует не более одной прямой на плоскости, определяемой a и A , которая проходит через A и не пересекает a .

V. Преемственность

1. Аксиома Архимеда . Если AB и CD — какие-либо отрезки, то существует число n такое, что n отрезков CD , построенных смежно из A , вдоль луча от A через B , пройдут за B. точку
2. Аксиома полноты строки . Расширение множества точек на прямой с ее отношениями порядка и конгруэнтности, которое сохраняло бы отношения, существующие между исходными элементами, а также фундаментальные свойства порядка и конгруэнтности линий, следующие из аксиом I–III и из V-1, есть невозможный.

Гильберта

Когда монография 1899 года была переведена на французский язык, Гильберт добавил:

V.2 Аксиома полноты . К системе точек, прямых и плоскостей невозможно добавить другие элементы таким образом, чтобы обобщенная таким образом система образовала новую геометрию, подчиняющуюся всем пяти группам аксиом. Другими словами, элементы геометрии образуют систему, которая не подлежит расширению, если мы считаем действительными пять групп аксиом.

Эта аксиома не нужна для развития евклидовой геометрии, но необходима для установления биекции между действительными числами и точками на прямой. Это было важным компонентом доказательства Гильбертом непротиворечивости его системы аксиом.

К 7-му изданию Grundlagen эта аксиома была заменена аксиомой полноты линии, приведенной выше, а старая аксиома V.2 стала теоремой 32.

В монографии 1899 года (и в переводе Таунсенда) также можно найти:

II.4. Любые четыре точки A , B , C , D на прямой всегда можно пометить так, чтобы B лежало между A и C , а также между A и D , и, более того, что C должно лежать между A и D , а также между B и D. Д. ​

Однако Э. Х. Мур и Р. Л. Мур независимо друг от друга доказали, что эта аксиома избыточна, и первый опубликовал этот результат в статье, опубликованной в « Трудах Американского математического общества» в 1902 году. Гильберт перенес аксиому в теорему 5 и соответственно изменил нумерацию аксиом (старая аксиома II-5 (аксиома Паша) теперь стала II-4).

Хотя эти изменения и не столь драматичны, как эти изменения, большинство оставшихся аксиом также были изменены по форме и/или функциям в течение первых семи изданий.

Последовательность и независимость

Выходя за рамки установления удовлетворительного набора аксиом, Гильберт также доказал непротиворечивость своей системы относительно теории действительных чисел, построив модель своей системы аксиом на основе действительных чисел. Он доказал независимость некоторых своих аксиом, построив модели геометрии, которые удовлетворяют всем, кроме одной рассматриваемой аксиомы. Таким образом, существуют примеры геометрий, удовлетворяющих всем, кроме аксиомы Архимеда V.1 (неархимедова геометрия), всем, кроме аксиомы параллельности IV.1 (неевклидовы геометрии) и так далее. Используя ту же технику, он также показал, как некоторые важные теоремы зависят от одних аксиом и независимы от других. Некоторые из его моделей были очень сложными, и другие математики пытались их упростить. Например, модель Гильберта, показывающая независимость теоремы Дезарга от некоторых аксиом, в конечном итоге привела Рэя Моултона к открытию недезарговой плоскости Моултона . Эти исследования Гильберта фактически положили начало современному изучению абстрактной геометрии в двадцатом веке.

Аксиомы Биркгофа

Основная статья: аксиомы Биркгофа

Джордж Дэвид Биркгоф

В 1932 году Г. Д. Биркгоф создал комплекс из четырёх постулатов евклидовой геометрии, иногда называемый аксиомами Биркгофа . Все эти постулаты основаны на базовой геометрии , которую можно проверить экспериментально с помощью шкалы и транспортира . В радикальном отходе от синтетического подхода Гильберта Биркгоф первым построил основы геометрии на действительной системе счисления . Именно это мощное предположение обеспечивает небольшое количество аксиом в этой системе.

Постулаты

Биркгоф использует четыре неопределенных термина: точка , линия , расстояние и угол . Его постулаты таковы:

Постулат I: Постулат меры линии . Точкам A , B ,... любой прямой можно поставить в соответствие 1:1 действительным числам x так, что | Икс _В - Икс   _А | = d( A, B ) для всех точек A и B .

Постулат II: Постулат «точка-линия» . Существует одна и только одна прямая ℓ содержит любые две заданные различные точки P и Q. , которая

Постулат III: Постулат меры угла . Лучи { ℓ, m, n , ...}, проходящие через любую точку O, можно привести в соответствие 1:1 с действительными числами a (mod 2 π ), так что если A и B являются точками (не равными O ) ℓ и m соответственно, разность a _m − a _ℓ (mod 2π) чисел, связанных с линиями ℓ и m , равна $\angle$АОБ . Более того, если точка B на m непрерывно меняется на прямой r, не содержащей вершину O число am _{, то} также меняется непрерывно.

Постулат IV: Постулат подобия . Если в двух треугольниках ABC и A'B'C' и для некоторой постоянной k > 0 d ( A', B' ) = kd ( A, B ), d ( A', C' ) = kd ( A, C ) и $\angle$B'A'C' = ± $\angle$BAC , то d ( B', C' ) = kd ( B, C ), $\angle$ C'B'A' = ± $\angle$ЦБА и $\angle$A'C'B' = ± $\angle$АКБ .

Школьная геометрия

Джордж Брюс Холстед

Вопрос о том, разумно ли преподавать евклидову геометрию с аксиоматической точки зрения на уровне средней школы, является предметом споров. Попыток сделать это было много, и не все они увенчались успехом. В 1904 году Джордж Брюс Холстед опубликовал школьный учебник по геометрии, основанный на наборе аксиом Гильберта. Логическая критика этого текста привела к сильно переработанному второму изданию. В ответ на запуск российского спутника « Спутник» в США призвали пересмотреть школьную программу по математике. В результате этих усилий возникла программа «Новая математика» 1960-х годов. На этом фоне многие люди и группы приступили к предоставлению текстового материала для занятий по геометрии, основанного на аксиоматическом подходе.

Лейна

Сондерс Мак Лейн

Сондерс Мак Лейн (1909–2005), математик, написал в 1959 году статью, в которой предложил набор аксиом евклидовой геометрии в духе подхода Биркгофа, использующего функцию расстояния для связи действительных чисел с отрезками прямых. Это была не первая попытка основать лечение на уровне школы на системе Биркгофа, фактически Биркгоф и Ральф Битли написали учебник для средней школы в 1940 году. который разработал евклидову геометрию на основе пяти аксиом и способности измерять отрезки линий и углы. Однако, чтобы ориентировать изложение на аудиторию старшей школы, некоторые математические и логические аргументы были либо проигнорированы, либо невнятны.

В системе Мак Лейна есть четыре примитивных понятия (неопределенных термина): точка , расстояние , линия и мера угла . Существует также 14 аксиом, четыре из которых описывают свойства функции расстояния, четыре описывают свойства прямых, четыре обсуждают углы (которые в этой трактовке являются направленными углами), аксиому подобия (по сути ту же, что и аксиома Биркгофа) и аксиому непрерывности, которая может можно использовать для вывода теоремы Кроссбара и ее обратной. Увеличенное количество аксиом имеет педагогическое преимущество, поскольку облегчает отслеживание ранних доказательств в процессе разработки, а использование знакомой метрики позволяет быстро продвигаться по базовому материалу, так что можно быстрее перейти к более «интересным» аспектам предмета.

SMSG (Школьная группа по изучению

(SMSG) представила новый набор аксиом евклидовой геометрии, подходящий для курсов геометрии в американских средних школах, В 1960-х годах Школьная группа по изучению математики как часть новых программ по математике. Этот набор аксиом соответствует модели Биркгофа, в которой действительные числа используются для быстрого понимания основ геометрии. Однако, в то время как Биркгоф пытался свести к минимуму количество используемых аксиом, а большинство авторов были обеспокоены независимостью аксиом в своих трактовках, список аксиом SMSG был намеренно сделан большим и излишним по педагогическим причинам. SMSG создала только мимеографированный текст, используя эти аксиомы: но Эдвин Э. Мойс , член SMSG, написал учебник для средней школы, основанный на этой системе, и текст для колледжа, Moise (1974) , с удаленной некоторой избыточностью и модификациями аксиом для более искушенной аудитории.

Существует восемь неопределенных терминов: точка , линия , плоскость , лежит на , угол , расстояние , площадь и объем . 22 аксиомам этой системы для удобства присвоены отдельные названия. Среди них можно найти: Постулат линейки, Постулат размещения линейки, Постулат разделения плоскостей, Постулат сложения углов, Постулат стороны бокового угла (SAS), Постулат параллельности (в форме Плейфэра ) и принцип Кавальери .

UCSMP (Школьный математический проект Чикагского

Хотя большая часть новой учебной программы по математике была радикально изменена или заброшена, часть геометрии осталась относительно стабильной в Соединенных Штатах. В современных американских учебниках для средней школы используются системы аксиом, очень похожие на системы SMSG. Например, в текстах, созданных в рамках Школьного математического проекта Чикагского университета (UCSMP), используется система, которая, помимо некоторого обновления языка, отличается главным образом от системы SMSG тем, что включает некоторые концепции трансформации в свой «Постулат отражения».

Есть только три неопределенных термина: точка , линия и плоскость . Всего существует восемь «постулатов», но большинство из них состоят из нескольких частей (которые обычно называются предположениями в этой системе ). С учетом этих частей в этой системе 32 аксиомы. Среди постулатов можно найти постулат «точка-линия-плоскость» , постулат «неравенства треугольника» , постулаты о расстоянии, измерении углов, соответствующих углах, площади и объеме, а также постулат «Отражение». Постулат отражения используется в качестве замены постулата SAS системы SMSG.

Другие системы

Освальд Веблен (1880–1960) представил новую систему аксиом в 1904 году, заменив концепцию «между», используемую Гильбертом и Пашем, новым примитивным порядком . Это позволило нескольким примитивным терминам, использованным Гильбертом, стать определенными сущностями, сократив количество примитивных понятий до двух: точка и порядок .

За прошедшие годы было предложено множество других аксиоматических систем евклидовой геометрии. Сравнение многих из них можно найти в монографии Генри Джорджа Фордера 1927 года. Фордер также предлагает, комбинируя аксиомы разных систем, свою собственную трактовку, основанную на двух примитивных понятиях точки и порядка . Он также предлагает более абстрактную трактовку одной из систем Пьери (с 1909 года), основанную на примитивной точке и конгруэнтности .

Начиная с Пеано, среди логиков возникла параллельная нить интереса к аксиоматическим основаниям евклидовой геометрии. Частично это можно увидеть в обозначениях, используемых для описания аксиом. Пьери утверждал, что хотя он и писал на традиционном языке геометрии, он всегда мыслил в терминах логических обозначений, введенных Пеано, и использовал этот формализм, чтобы понять, как доказывать вещи. Типичный пример такого типа обозначений можно найти в работе Э. В. Хантингтона (1874 – 1952), который в 1913 г. создал аксиоматическую трактовку трехмерной евклидовой геометрии, основанную на примитивных представлениях о сфере и включении (одна сфера лежит внутри другой). Помимо обозначений, существует также интерес к логической структуре теории геометрии. Альфред Тарский доказал, что часть геометрии, которую он назвал элементарной геометрией, представляет собой логическую теорию первого порядка (см. Аксиомы Тарского ).

Современные текстовые трактовки аксиоматических оснований евклидовой геометрии следуют образцу Герберта Фордера и Гилберта де Б. Робинсона. которые смешивают и сопоставляют аксиомы из разных систем, чтобы добиться разных акцентов. Венема (2006) является современным примером такого подхода.

Неевклидова геометрия

Основная статья: Неевклидова геометрия

Принимая во внимание роль, которую математика играет в науке, и последствия научного знания для всех наших убеждений, революционные изменения в понимании человеком природы математики не могут не означать революционные изменения в его понимании науки, доктрин философии, религии и этики. верования и, по сути, все интеллектуальные дисциплины.

В первой половине девятнадцатого века в области геометрии произошла революция, которая была столь же важна с научной точки зрения, как революция Коперника в астрономии, и столь же философски глубока, как дарвиновская теория эволюции, в своем влиянии на образ нашего мышления. Это было следствием открытия неевклидовой геометрии. На протяжении более двух тысяч лет, начиная со времен Евклида, постулаты, лежащие в основе геометрии, считались самоочевидными истинами о физическом пространстве. Геометры думали, что выводят из них другие, более темные истины, без возможности ошибки. Эта точка зрения стала несостоятельной с развитием гиперболической геометрии. Теперь существовали две несовместимые геометрические системы (а позже появились и другие), которые были самосогласованными и совместимыми с наблюдаемым физическим миром. «С этого момента все обсуждение отношений между геометрией и физическим пространством велось в совершенно иных терминах» ( Moise 1974 , стр. 388).

Чтобы получить неевклидову геометрию, постулат параллельности (или его эквивалент) необходимо заменить его отрицанием . Отрицание формы аксиомы Playfair , поскольку это составное утверждение (... существует одно и только одно...), может быть выполнено двумя способами. Либо будет существовать более одной прямой, проходящей через точку, параллельную данной прямой, либо не будет существовать прямых, проходящих через точку, параллельную данной прямой. В первом случае, заменяя постулат параллельности (или его эквивалент) утверждением «В плоскости, для данной точки P и прямой ℓ , не проходящей через P, существуют две прямые, проходящие через P, которые не пересекаются с ℓ » и сохраняя все другие аксиомы дают гиперболическую геометрию . Со вторым случаем справиться не так просто. Простая замена постулата о параллельности утверждением: «В плоскости, для которой задана точка P и линия ℓ , не проходящая через P, все прямые, проходящие через P, пересекаются ℓ », не дает непротиворечивого набора аксиом. Это следует из того, что параллельные прямые существуют в абсолютной геометрии, но в этом утверждении говорилось бы, что параллельных линий не существует. Эта проблема была известна (в другом обличии) Хайяму, Саккери и Ламберту и послужила основанием для отказа от так называемого «случай тупого угла». Чтобы получить согласованный набор аксиом, включающий аксиому об отсутствии параллельных линий, необходимо изменить некоторые другие аксиомы. Корректировки, которые необходимо внести, зависят от используемой системы аксиом. Среди прочего, эти изменения приведут к изменению второго постулата Евклида с утверждения о том, что отрезки линий могут быть продлены до бесконечности, на утверждение о том, что линии неограничены. оказывается Римана Эллиптическая геометрия наиболее естественной геометрией, удовлетворяющей этой аксиоме.

Именно Гаусс ввел термин «неевклидова геометрия». Он имел в виду свою собственную, неопубликованную работу, которую сегодня мы называем гиперболической геометрией . Некоторые авторы до сих пор считают «неевклидову геометрию» и «гиперболическую геометрию» синонимами. В 1871 году Феликс Кляйн , адаптировав метрику, обсуждавшуюся Артуром Кэли в 1852 году, смог перенести свойства метрики в проективную среду и, таким образом, смог объединить методы лечения гиперболической, евклидовой и эллиптической геометрии под эгидой проективной геометрии . Кляйну принадлежат термины «гиперболический» и «эллиптический» (в своей системе он назвал евклидову геометрию «параболической», термин, который не выдержал испытания временем и используется сегодня лишь в нескольких дисциплинах). Его влияние привело к к обычному использованию термина «неевклидова геометрия» для обозначения «гиперболической» или «эллиптической» геометрии.

Есть математики, которые различными способами расширяют список геометрий, которые следует называть «неевклидовыми». В других дисциплинах, особенно в математической физике , где влияние Кляйна было не столь сильным, термин «неевклидово» часто понимается как неевклидово .

Постулат Евклида о параллельности

Основная статья: Постулат параллельности

На протяжении двух тысяч лет было предпринято множество попыток доказать постулат о параллельности, используя первые четыре постулата Евклида. Возможная причина того, что такое доказательство было так востребовано, заключалась в том, что, в отличие от первых четырех постулатов, постулат о параллельности не является самоочевидным. Если бы порядок постулатов, перечисленных в «Элементах», был значимым, это указывало бы на то, что Евклид включил этот постулат только тогда, когда понял, что не может доказать его или действовать без него. Было предпринято множество попыток доказать пятый постулат из четырех других, многие из них принимались в качестве доказательства в течение длительного периода времени, пока не была обнаружена ошибка. Ошибка неизменно заключалась в предположении какого-то «очевидного» свойства, которое оказывалось эквивалентным пятому постулату. В конце концов стало понятно, что этот постулат невозможно доказать на основе остальных четырех. По мнению Трюдо (1987 , стр. 154), это мнение о постулате параллельности (Постулат 5) действительно появляется в печати:

был Г.С. Клюгель (1739–1812), докторант Геттингенского университета, при поддержке своего учителя А.Г. кто сделал это , По-видимому, первым , Попытки демонстрации теории параллелей). В этой работе Клюгель рассмотрел 28 попыток доказать Постулат 5 (включая попытку Саккери), нашел их все недостаточными и высказал мнение, что Постулат 5 недоказуем и поддерживается исключительно суждениями наших чувств.

Начало XIX века, наконец, стало свидетелем решающих шагов в создании неевклидовой геометрии. Около 1813 года Карл Фридрих Гаусс и независимо около 1818 года немецкий профессор права Фердинанд Карл Швейкарт. разработали основные идеи неевклидовой геометрии, но не опубликовали никаких результатов. Затем, около 1830 года, венгерский математик Янош Бойяи и русский математик Николай Иванович Лобачевский по отдельности опубликовали трактаты о том, что мы сегодня называем гиперболической геометрией . Следовательно, гиперболическая геометрия получила название геометрии Бояи-Лобачевского, поскольку оба математика, независимо друг от друга, являются основными авторами неевклидовой геометрии. Гаусс упомянул отцу Бояи, когда ему показали работу младшего Бояи, что он разработал такую ​​геометрию несколько лет назад: хотя он не публиковался. В то время как Лобачевский создал неевклидову геометрию, отрицая постулат параллельности, Бояи разработал геометрию, в которой в зависимости от параметра k возможны как евклидова, так и гиперболическая геометрия . Бояи заканчивает свою работу упоминанием, что невозможно решить только с помощью математических рассуждений, является ли геометрия физической вселенной евклидовой или неевклидовой; это задача физических наук. Независимость Эухенио постулата параллельности от других аксиом Евклида была наконец продемонстрирована Бельтрами в 1868 году.

Различные попытки доказательства постулата параллельности привели к появлению длинного списка теорем, эквивалентных постулату параллельности. Эквивалентность здесь означает, что при наличии других аксиом геометрии каждую из этих теорем можно считать истинной и постулат о параллельности может быть доказан на основе этого измененного набора аксиом. Это не то же самое, что логическая эквивалентность . В различных наборах аксиом евклидовой геометрии любая из них может заменить постулат евклидовой параллельности. В следующем частичном списке указаны некоторые из этих теорем, представляющие исторический интерес.

1. Параллельные прямые равноудалены. (Посейдоний, I век до н. э.)
2. Все точки, равноудаленные от данной прямой, на данной ее стороне, составляют прямую. (Кристоф Клавиус, 1574 г.)
3. Аксиома Плейфэра . На плоскости существует не более одной прямой, которую можно провести параллельно другой заданной через внешнюю точку. (Прокл, V век, но популяризирован Джоном Плейфэром, конец 18 века)
4. Сумма углов в каждом треугольнике равна 180° (Джероламо Саккери, 1733; Адриен-Мари Лежандр, начало 19 века).
5. Существует треугольник, сумма углов которого равна 180°. (Джероламо Саккери, 1733; Адриен-Мари Лежандр, начало XIX века)
6. Существует пара подобных , но не равных треугольников. (Джероламо Саккери, 1733 г.)
7. Любой треугольник можно описать . (Адриан-Мари Лежандр, Фаркас Боляи, начало XIX века)
8. Если три угла четырёхугольника прямые , то четвёртый угол тоже прямой. (Алексис-Клод Клеро, 1741 г.; Иоганн Генрих Ламберт, 1766 г.)
9. Существует четырехугольник, у которого все углы прямые. (Джераламо Саккери, 1733 г.)
10. Постулат Уоллиса . По данной конечной прямой всегда можно построить треугольник, подобный данному треугольнику. (Джон Уоллис, 1663 г.; Лазар-Николя-Маргарита Карно, 1803 г.; Адриен-Мари Лежандр, 1824 г.)
11. не существует Верхнего предела площади треугольника . (Карл Фридрих Гаусс, 1799 г.)
12. Углы вершины четырехугольника Саккери составляют 90 °. (Жеральм Саккери, 1733 г.)
13. Прокла Аксиома . Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, обе из которых компланарны исходной прямой, то она пересекает и другую. (Прокл, V век)

Нейтральная (или абсолютная) геометрия

Основная статья: Абсолютная геометрия

Абсолютная геометрия — это геометрия , основанная на системе аксиом, состоящей из всех аксиом, дающих евклидову геометрию, за исключением постулата параллельности или любой из его альтернатив. Этот термин был введен Яношем Бояи в 1832 году. Иногда ее называют нейтральной геометрией . поскольку он нейтральен по отношению к постулату параллельности.

Связь с другими геометриями

В Евклида «Элементах» первые 28 предложений и предложение I.31 избегают использования постулата параллельности и, следовательно, являются действительными теоремами абсолютной геометрии. Предложение I.31 доказывает существование параллельных прямых (по построению). Также можно доказать теорему Саккери–Лежандра , утверждающую, что сумма углов в треугольнике не превосходит 180°.

Теоремы абсолютной геометрии справедливы как в гиперболической геометрии, так и в евклидовой геометрии .

Абсолютная геометрия несовместима с эллиптической геометрией : в эллиптической геометрии вообще нет параллельных линий, но в абсолютной геометрии параллельные линии существуют. Кроме того, в эллиптической геометрии сумма углов любого треугольника больше 180°.

Незавершенность

Логически аксиомы не образуют полной теории , поскольку можно добавить дополнительные независимые аксиомы, не делая систему аксиом несовместимой. Можно расширить абсолютную геометрию, добавив различные аксиомы о параллелизме, и получить несовместимые, но непротиворечивые системы аксиом, что приведет к евклидовой и гиперболической геометрии. Таким образом, каждая теорема абсолютной геометрии является теоремой гиперболической геометрии и евклидовой геометрии. Однако обратное неверно. Кроме того, абсолютная геометрия не является категориальной теорией , поскольку имеет неизоморфные модели.

Гиперболическая геометрия

Основная статья: Гиперболическая геометрия

В аксиоматическом подходе к гиперболической геометрии (также называемом геометрией Лобачевского или геометрией Бояи – Лобачевского) к аксиомам, дающим абсолютную геометрию, добавляется еще одна аксиома . Новой аксиомой является постулат параллельности Лобачевского (также известный как характерный постулат гиперболической геометрии ):

Через точку, не лежащую на данной прямой, существуют (в плоскости, определяемой этой точкой и прямой) по крайней мере две прямые, не пересекающиеся с данной прямой.

Благодаря этому дополнению система аксиом теперь завершена.

Хотя новая аксиома утверждает существование только двух прямых, легко установить, что через данную точку проходит бесконечное число прямых, не пересекающихся с данной прямой. Учитывая эту полноту, следует быть осторожным с терминологией в этой ситуации, поскольку термин « параллельная линия» больше не имеет того уникального значения, которое он имеет в евклидовой геометрии. В частности, пусть P — точка, не лежащая на данной прямой. $\ell$. Пусть PA — перпендикуляр, проведенный из P в $\ell$(встреча в точке А ). Линии, проходящие через P , делятся на два класса: те, которые соответствуют $\ell$и те, которые этого не делают. Характерный постулат гиперболической геометрии гласит, что существует по крайней мере две линии последнего типа. Из линий, которые не встречаются $\ell$, будет (с каждой стороны PA ) линия, составляющая наименьший угол с PA . Иногда эти строки называют первыми строками через P , которые не совпадают. $\ell$и называются по-разному предельными, асимптотическими или параллельными линиями (когда используется последний термин, это единственные параллельные линии). Все остальные линии через P , которые не соответствуют $\ell$ называются непересекающимися или ультрапараллельными прямыми.

Поскольку гиперболическая геометрия и евклидова геометрия построены на аксиомах абсолютной геометрии, у них много общих свойств и положений. Однако последствия замены постулата параллельности евклидовой геометрии характерным постулатом гиперболической геометрии могут быть драматичными. Упомянем некоторые из них:

Четырехугольник Ламберта в гиперболической геометрии

• Четырехугольник Ламберта – это четырёхугольник, у которого три прямых угла. Четвертый угол четырехугольника Ламберта острый, если геометрия гиперболическая, и прямой угол , если геометрия евклидова. Более того, прямоугольники могут существовать (утверждение, эквивалентное постулату параллельности) только в евклидовой геометрии.
• Четырехугольник Саккери — это четырехугольник, у которого две стороны одинаковой длины, обе перпендикулярны стороне, называемой основанием . Два других угла четырехугольника Саккери называются вершинными углами и имеют одинаковую меру. Верхние углы четырехугольника Саккери острые, если геометрия гиперболическая, и прямые углы, если геометрия евклидова.
• Сумма мер углов любого треугольника меньше 180°, если геометрия гиперболическая, и равна 180°, если геометрия евклидова. Дефект треугольника – это числовое значение (180° – сумма углов треугольника). Этот результат можно также сформулировать так: дефект треугольников в гиперболической геометрии положителен, а дефект треугольников в евклидовой геометрии равен нулю.
• Площадь треугольника в гиперболической геометрии ограничена, тогда как в евклидовой геометрии существуют треугольники с сколь угодно большой площадью.
• Набор точек, находящихся по одну и ту же сторону и одинаково удаленных от данной прямой, сами образуют линию в евклидовой геометрии, но не в гиперболической геометрии (они образуют гиперцикл ) .

Сторонники позиции, согласно которой евклидова геометрия является единственной «истинной» геометрией, потерпели неудачу, когда в опубликованных в 1868 году мемуарах «Фундаментальная теория пространств постоянной кривизны» Эухенио Бельтрами дал абстрактное доказательство эквисогласованности гиперболической и евклидовой геометрии для любого измерения. Он достиг этого, представив несколько моделей неевклидовой геометрии, которые теперь известны как модель Бельтрами-Клейна , модель диска Пуанкаре и модель полуплоскости Пуанкаре , а также преобразования, которые их связывают. Для модели полуплоскости Бельтрами процитировал заметку Лиувилля в трактате Монжа о дифференциальной геометрии . Бельтрами также показал, что n -мерная евклидова геометрия реализуется в орисфере ( n + 1)-мерного гиперболического пространства , поэтому логическое соотношение между непротиворечивостью евклидовой и неевклидовой геометрий симметрично.

Эллиптическая геометрия

Основная статья: Эллиптическая геометрия

Другой способ модифицировать постулат Евклида о параллельности — предположить, что на плоскости нет параллельных прямых. В отличие от ситуации с гиперболической геометрией , где мы просто добавляем одну новую аксиому, мы не можем получить непротиворечивую систему, добавив это утверждение в качестве новой аксиомы к аксиомам абсолютной геометрии . Это следует из того, что параллельные линии доказуемо существуют в абсолютной геометрии. Другие аксиомы должны быть изменены.

Начиная с аксиом Гильберта, необходимые изменения включают удаление четырех аксиом порядка Гильберта и замену их этими семью аксиомами разделения, связанными с новым неопределенным отношением.

существует неопределенное ( примитивное Между четырьмя точками A , B , C и D ) отношение , обозначаемое ( A , C | B , D ) и читаемое как « A и C разделяют B и D », удовлетворяющие этим аксиомам:

1. Если ( A , B | C , D ), то точки A , B , C и D лежат на одной прямой и различны.
2. Если ( A , B | C , D ), то ( C , D | A , B ) и ( B , A | D , C ).
3. Если ( A , B | C , D ), то не ( A , C | B , D ).
4. Если точки A , B , C и D лежат на одной прямой и различны, то ( A , B | C , D ) или ( A , C | B , D ) или ( A , D | B , C ).
5. Если точки A , B и C лежат на одной прямой и различны, то существует точка D такая, что ( A , B | C , D ).
6. Для любых пяти различных коллинеарных точек A , B , C , D и E , если ( A , B | D , E ), то либо ( A , B | C , D ), либо ( A , B | C , E ).
7. Перспективы сохраняют разделение.

Поскольку понятие Гильберта «между» было удалено, термины, которые были определены с использованием этого понятия, необходимо переопределить. Таким образом, отрезок AB, определенный как точки A и B и все точки между A и B в абсолютной геометрии, необходимо переформулировать. Сегмент линии в этой новой геометрии определяется тремя коллинеарными точками A , B и C и состоит из этих трех точек и всех точек, не отделенных B точками A и C. от Есть и другие последствия. Поскольку две точки не определяют отрезок однозначно, три неколлинеарные точки не определяют уникальный треугольник, и определение треугольника необходимо переформулировать.

Как только эти понятия будут переопределены, все остальные аксиомы абсолютной геометрии (инцидентность, конгруэнтность и непрерывность) обретут смысл и останутся в покое. Вместе с новой аксиомой несуществования параллельных прямых мы имеем непротиворечивую систему аксиом, дающую новую геометрию. Полученная в результате геометрия называется (плоской) эллиптической геометрией .

Четырехугольники Саккери в евклидовой, эллиптической и гиперболической геометрии.

Хотя эллиптическая геометрия не является расширением абсолютной геометрии (как евклидова и гиперболическая геометрия), в положениях трех геометрий существует определенная «симметрия», отражающая более глубокую связь, которую заметил Феликс Клейн. Вот некоторые из предложений, демонстрирующих это свойство:

• Четвертый угол четырехугольника Ламберта — тупой угол в эллиптической геометрии.
• Верхние углы четырехугольника Саккери в эллиптической геометрии тупые.
• Сумма углов любого треугольника больше 180°, если геометрия эллиптическая. То есть дефект треугольника отрицательный.
• Все линии, перпендикулярные данной прямой, встречаются в общей точке в эллиптической геометрии, называемой полюсом линии. В гиперболической геометрии эти прямые непересекающиеся, а в евклидовой геометрии они взаимно параллельны.

Другие результаты, такие как теорема о внешнем угле , ясно подчеркивают разницу между эллиптической геометрией и геометриями, которые являются расширением абсолютной геометрии.

Сферическая геометрия

Основная статья: Сферическая геометрия

Другая геометрия

Проективная геометрия

Основная статья: Проективная геометрия

Аффинная геометрия

Основная статья: Аффинная геометрия

Упорядоченная геометрия

Основная статья: Упорядоченная геометрия

Абсолютная геометрия является расширением упорядоченной геометрии , и, таким образом, все теоремы упорядоченной геометрии справедливы и для абсолютной геометрии. Обратное неверно. Абсолютная геометрия предполагает первые четыре аксиомы Евклида (или их эквиваленты), в отличие от аффинной геометрии , которая не предполагает третью и четвертую аксиомы Евклида. Упорядоченная геометрия является общей основой как абсолютной, так и аффинной геометрии.

Конечная геометрия

Основная статья: Конечная геометрия

См. также

• без координат
• Синтетическая геометрия

Ссылки

• Болл, У. В. Роуз (1960), Краткий обзор истории математики (4-е изд. [Перепечатка. Оригинальная публикация: Лондон: Macmillan & Co., 1908] изд.), Нью-Йорк: Dover Publications, стр. 50–62. , ISBN  0-486-20630-0
• Бойтельспехер, Альбрехт; Розенбаум, Юте (1998), Проективная геометрия: от основ к приложениям , Cambridge University Press , ISBN  978-0-521-48364-3 , МР   1629468
• Ивс, Ховард (1963), Обзор геометрии (первый том) , Бостон: Аллин и Бэкон
• Фабер, Ричард Л. (1983), Основы евклидовой и неевклидовой геометрии , Нью-Йорк: Marcel Dekker, Inc., ISBN  0-8247-1748-1
• Гринберг, Марвин Джей (2007) [1974], Евклидова и неевклидова геометрия / Развитие и история, 4-е издание , Сан-Франциско: WH Freeman, ISBN  978-0716799481
• Хит, Томас Л. (1956), Тринадцать книг элементов Евклида (2-е изд. [Факсимиле. Оригинальная публикация: Cambridge University Press, 1925] изд.), Нью-Йорк: Dover Publications

(3 тома): ISBN   0-486-60088-2 (т. 1), ISBN   0-486-60089-0 (т. 2), ISBN   0-486-60090-4 (т. 3).

• Гильберт, Дэвид (1950) [впервые опубликовано в 1902 году], « Основы геометрии» [Grundlagen der Geometrie] (PDF) , английский перевод Э. Дж. Таунсенда (2-е изд.), La Salle, IL: Open Court Publishing
• Гильберт, Дэвид (1990) [1971], Основы геометрии [Grundlagen der Geometrie] , перевод Лео Унгера из 10-го немецкого издания (2-е английское изд.), La Salle, IL: Open Court Publishing, ISBN  0-87548-164-7
• Мойс, Эдвин Э. (1974), Элементарная геометрия с продвинутой точки зрения (2-е изд.), Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли, ISBN  0-201-04793-4
• Пеано, Джузеппе (1889), Принципы геометрии: логическое объяснение , Турин: Fratres Bocca
• Рассел, Бертран (1897) Очерк об основах геометрии , через Интернет-архив.
• Трюдо, Ричард Дж. (1987), Неевклидова революция , Бостон: Биркхаузер, ISBN  0-8176-3311-1
• Венема, Джерард А. (2006), Основы геометрии , Аппер-Сэддл-Ривер, Нью-Джерси: Пирсон Прентис-Холл, ISBN  0-13-143700-3
• Уайли, Ч.Р. младший (1964), Основы геометрии , Нью-Йорк: МакГроу – Хилл

Внешние ссылки

• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Мориц Паш» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
• А. Зайденберг (2008), Паш, Мориц , Полный словарь научной биографии , получено 25 августа 2013 г.
• Мориц Паш в проекте «Математическая генеалогия»
• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Джузеппе Пеано» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
• Хьюберт Кеннеди (2002), Двенадцать статей о Джузеппе Пеано (PDF) , Сан-Франциско: Peremptory Publications , получено 8 апреля 2012 г. Сборник статей о жизни и математике Пеано (1960-1980-е).
• Джузеппе Пеано в проекте «Математическая генеалогия»
• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Марио Пьери» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
• Хьюберт Кеннеди, Пьери, Марио , Полный словарь научной биографии , получено 26 августа 2013 г.
• Аксиомы СМСГ