Горосфера
В гиперболической геометрии орисфера ) — это (или парасфера особая гиперповерхность в гиперболическом n -пространстве . Это граница оришара , предел последовательности возрастающих шаров, разделяющих (с одной стороны) касательную гиперплоскость и ее точку касания. При n = 2 орисферу называют орициклом .
Горосферу также можно описать как предел гиперсфер, которые имеют касательную гиперплоскость в данной точке, поскольку их радиусы стремятся к бесконечности. В евклидовой геометрии такая «гиперсфера бесконечного радиуса» была бы гиперплоскостью, но в гиперболической геометрии это орисфера (искривленная поверхность).
История [ править ]
Корни этой концепции лежат в представлении, высказанном Ф. Л. Вахтером в 1816 году в письме к своему учителю Гауссу . Отмечая, что в евклидовой геометрии пределом сферы при стремлении ее радиуса к бесконечности является плоскость, Вахтер утверждал, что даже если бы пятый постулат был ложным, на поверхности все равно существовала бы геометрия, идентичная геометрии обычной плоскости. [1] Термины орисфера и орицикл принадлежат Лобачевскому , который установил различные результаты, показывающие, что геометрия орициклов и орисферы в гиперболическом пространстве эквивалентна геометрии линий и плоскости в евклидовом пространстве. [2] Термин «горобол» принадлежит Уильяму Тёрстону , который использовал его в своей работе по гиперболическим 3-многообразиям . Термины орисфера и хоробалл часто используются в трехмерной гиперболической геометрии.
Модели [ править ]
В модели конформного шара орисфера представлена сферой, касающейся сферы горизонта. В модели верхнего полупространства орисфера может выглядеть либо как сфера, касающаяся плоскости горизонта, либо как плоскость, параллельная плоскости горизонта. В модели гиперболоида орисфера представлена плоскостью, нормаль которой лежит в асимптотическом конусе.
Кривизна [ править ]
Горосфера имеет критическую величину (изотропной) кривизны: если бы кривизна была больше, поверхность могла бы сомкнуться, образуя сферу, а если бы кривизна была меньше, поверхность была бы ( N - 1)- размерный гиперцикл .
Ссылки [ править ]
- ^ Роберто Бонола (1906), Неевклидова геометрия , перевод HS Carslaw , Дувр, 1955; п. 63
- ^ Роберто Бонола (1906), Неевклидова геометрия , перевод Х.С. Карслоу, Дувр, 1955; п. 88
- Приложение, теория космоса Янош Бойяи, 1987, стр.143