Дифференциальное исчисление над коммутативными алгебрами

В математике дифференциальное исчисление над коммутативными алгебрами является частью коммутативной алгебры , основанной на наблюдении, что большинство понятий, известных из классического дифференциального исчисления , могут быть сформулированы в чисто алгебраических терминах. Примерами этого являются:

Вся топологическая информация гладкого многообразия $M$ закодировано в алгебраических свойствах своего $\mathbb {R}$ - алгебра гладких функций $A=C^{\infty }(M),$ как в теореме Банаха–Стоуна .
Векторные расслоения закончились $M$ соответствуют проективным конечно порожденным модулям над $A,$ через функтор $\Gamma$ которое сопоставляет векторному расслоению его модуль сечений.
Векторные поля включены $M$ естественным образом отождествляются с дифференцированиями алгебры $A$ .
В более общем смысле, линейный дифференциальный оператор порядка k, отправляющий разделы векторного расслоения. $E\rightarrow M$ в разделы другого пакета $F\rightarrow M$ рассматривается как $\mathbb {R}$ -линейная карта $\Delta :\Gamma (E)\to \Gamma (F)$ между связанными модулями, так что для любого $k+1$ элементы $f_{0},\ldots ,f_{k}\in A$ :

\left[f_{k}\left[f_{k-1}\left[\cdots \left[f_{0},\Delta \right]\cdots \right]\right]\right]=0

где скобка

[f,\Delta ]:\Gamma (E)\to \Gamma (F)

определяется как коммутатор

[f,\Delta ](s)=\Delta (f\cdot s)-f\cdot \Delta (s).

Обозначая множество $k$ ^й упорядочить линейные дифференциальные операторы из $A$ -модуль $P$ для $A$ -модуль $Q$ с $\mathrm {Diff} _{k}(P,Q)$ получаем бифунктор со значениями категории из $A$ -модули. другие естественные концепции исчисления, такие как пространства струй и дифференциальные формы Затем получаются , представляющие объекты функторов. $\mathrm {Diff} _{k}$ и родственные функторы.

С этой точки зрения исчисление фактически можно понимать как теорию этих функторов и представляющих их объектов.

Замена действительных чисел $\mathbb {R}$ с любым коммутативным кольцом и алгеброй $C^{\infty }(M)$ с любой коммутативной алгеброй сказанное выше остается значимым, следовательно, дифференциальное исчисление можно развивать для произвольных коммутативных алгебр. Многие из этих понятий широко используются в алгебраической геометрии , дифференциальной геометрии и вторичном исчислении . Более того, теория естественным образом обобщается на градуированную коммутативную алгебру , обеспечивая естественную основу исчисления на супермногообразиях , градуированных многообразиях и связанных с ними понятиях, таких как интеграл Березина .

См. также [ править ]

Вторичное исчисление и когомологическая физика
Дифференциальная алгебра - алгебраическое исследование дифференциальных уравнений.
Спектр кольца - Набор простых идеалов кольца.

Ссылки [ править ]

Дж. Неструев, Гладкие многообразия и наблюдаемые , Дипломные тексты по математике 220 , Springer, 2002.
Неструев, Джет (10 сентября 2020 г.). Гладкие многообразия и наблюдаемые . Тексты для аспирантов по математике . Том. 220. Чам, Швейцария: Springer Nature . ISBN 978-3-030-45649-8 . OCLC 1195920718 .
И. С. Красильщик, "Лекции по линейным дифференциальным операторам над коммутативными алгебрами". Эпринт ДИПС-01/99 .
И. С. Красильщик, А. М. Виноградов (ред.) «Алгебраические аспекты дифференциального исчисления», Acta Appl. Математика. 49 (1997), электронные издания: ДИПС-01/96 , ДИПС-02/96 , ДИПС-03/96 , ДИПС-04/96 , ДИПС-05/96 , ДИПС-06/96 , ДИПС-07/96 , ДИПС -08/96 .
И. С. Красильщик, А. М. Вербовецкий, "Гомологические методы в уравнениях математической физики", Открытое изд. и наук, Опава (Чехия), 1998; Электронная распечатка arXiv:math/9808130v2 .
Г. Сарданашвили, Лекции по дифференциальной геометрии модулей и колец , Lambert Academic Publishing, 2012; Электронная версия arXiv:0910.1515 [math-ph] 137 страниц.
А. М. Виноградов, "Логическая алгебра теории линейных дифференциальных операторов", Докл. Акад. Наук СССР , 295 (5) (1972) 1025-1028; английский перевод. по советской математике. Докл. 13 (4) (1972), 1058–1062.
Виноградов, А.М. (2001). Когомологический анализ уравнений в частных производных и вторичное исчисление . Американское математическое соц. ISBN 9780821897997 .
А. М. Виноградов, "Некоторые новые гомологические системы, связанные с дифференциальным исчислением над коммутативными алгебрами" (рус.), Успехи мат.наук, 1979, 34 (6), 145-150;англ. пер. по русской математике. Обзоры , 34 (6) (1979), 250–255.