Градуированный коллектор

В алгебраической геометрии градуированные многообразия являются расширением концепции многообразий, основанной на идеях суперсимметрии и суперкоммутативной алгебры . И градуированные многообразия, и супермногообразия выражаются в терминах пучков градуированных коммутативных алгебр . Однако градуированные многообразия характеризуются пучками на гладких многообразиях , а супермногообразия строятся склейкой пучков супервекторных пространств .

Градуированные коллекторы

Градуированное многообразие измерений $(n,m)$ определяется как локально окольцованное пространство $(Z,A)$ где $Z$ это $n$ -мерное гладкое многообразие и $A$ это $C_{Z}^{\infty }$ -пучок алгебр Грассмана ранга $m$ где $C_{Z}^{\infty }$ — пучок гладких вещественных функций на $Z$ . Сноп $A$ называется структурным пучком градуированного многообразия $(Z,A)$ , и многообразие $Z$ говорят, что это тело $(Z,A)$ . Секции снопа $A$ называются градуированными функциями на градуированном многообразии $(Z,A)$ . Они составляют градуированный коммутатив. $C^{\infty }(Z)$ -кольцо $A(Z)$ называется структурным кольцом $(Z,A)$ . Известные теорема Бэтчелора и теорема Серра–Свона характеризуют градуированные многообразия следующим образом.

Теорема Серра – Свона для градуированных многообразий.

Позволять $(Z,A)$ быть градуированным многообразием. Существует векторное расслоение $E\to Z$ с $m$ -размерное типичное волокно $V$ такой, что структурный пучок $A$ из $(Z,A)$ изоморфен структурному пучку сечений внешнего произведения $\Lambda (E)$ из $E$ , типичным слоем которой является алгебра Грассмана $\Lambda (V)$ .

Позволять $Z$ быть гладким многообразием. Градуированный коммутатив $C^{\infty }(Z)$ -алгебра изоморфна структурному кольцу градуированного многообразия с телом $Z$ тогда и только тогда, когда это внешняя алгебра некоторой проективной $C^{\infty }(Z)$ -модуль конечного ранга.

Градуированные функции

Заметим, что упомянутый выше изоморфизм Бэтчелора не является каноническим, но часто он фиксируется с самого начала. В этом случае каждая диаграмма тривиализации $(U;z^{A},y^{a})$ векторного расслоения $E\to Z$ дает расщепляющуюся область $(U;z^{A},c^{a})$ градуированного многообразия $(Z,A)$ , где $\{c^{a}\}$ является основой волокна для $E$ . Градуированные функции на такой диаграмме имеют вид $\Lambda (V)$ -значные функции

f=\sum _{k=0}^{m}{\frac {1}{k!}}f_{a_{1}\ldots a_{k}}(z)c^{a_{1}}\cdots c^{a_{k}}

,

где $f_{a_{1}\cdots a_{k}}(z)$ являются гладкими вещественными функциями на $U$ и $c^{a}$ являются нечетными порождающими элементами алгебры Грассмана $\Lambda (V)$ .

Градуированные векторные поля

Учитывая градуированное многообразие $(Z,A)$ , градуированные дифференцирования структурного кольца градуированных функций $A(Z)$ называются градуированными векторными полями на $(Z,A)$ . Они составляют настоящую супералгебру Ли. $\partial A(Z)$ относительно суперскобки

[u,u']=u\cdot u'-(-1)^{[u][u']}u'\cdot u

,

где $[u]$ обозначает четность Грассмана $u\in \partial A(Z)$ . Градуированные векторные поля, считываемые локально

u=u^{A}\partial _{A}+u^{a}{\frac {\partial }{\partial c^{a}}}

.

Они действуют на градуированные функции $f$ по правилу

u(f_{a_{1}\ldots a_{k}}c^{a_{1}}\cdots c^{a_{k}})=u^{A}\partial _{A}(f_{a_{1}\ldots a_{k}})c^{a_{1}}\cdots c^{a_{k}}+\sum _{i}u^{a_{i}}(-1)^{i-1}f_{a_{1}\ldots a_{k}}c^{a_{1}}\cdots c^{a_{i-1}}c^{a_{i+1}}\cdots c^{a_{k}}

.

Градиентные внешние формы

The $A(Z)$ -дуальные по модулю градуированные векторные поля $\partial A(Z)$ называется модулем градуированных внешних одноформ $O^{1}(Z)$ . Градуированные внешние формы, читаемые локально $\phi =\phi _{A}dz^{A}+\phi _{a}dc^{a}$ так что произведение двойственности (внутреннее)между $\partial A(Z)$ и $O^{1}(Z)$ принимает форму

u\rfloor \phi =u^{A}\phi _{A}+(-1)^{[\phi _{a}]}u^{a}\phi _{a}

.

Поставляется с градуированным внешним продуктом

dz^{A}\wedge dc^{i}=-dc^{i}\wedge dz^{A},\qquad dc^{i}\wedge dc^{j}=dc^{j}\wedge dc^{i}

,

градуированные одноформы порождают градуированную внешнюю алгебру $O^{*}(Z)$ градуированных внешних форм на градуированном многообразии. Они подчиняются отношению

\phi \wedge \phi '=(-1)^{|\phi ||\phi '|+[\phi ][\phi ']}\phi '\wedge \phi

,

где $|\phi |$ обозначает степень формы $\phi$ . Градуированная внешняя алгебра $O^{*}(Z)$ является градуированной дифференциальной алгеброй относительно градуированного внешнего дифференциала

d\phi =dz^{A}\wedge \partial _{A}\phi +dc^{a}\wedge {\frac {\partial }{\partial c^{a}}}\phi

,

где градуированные выводы $\partial _{A}$ , $\partial /\partial c^{a}$ градуированы коммутативно с градуированными формами $dz^{A}$ и $dc^{a}$ . Естьзнакомые отношения

d(\phi \wedge \phi ')=d(\phi )\wedge \phi '+(-1)^{|\phi |}\phi \wedge d\phi '

.

Градуированная дифференциальная геометрия

В категории градуированных многообразий рассматриваются градуированные группы Ли, градуированные расслоения и градуированные главные расслоения. Также вводится понятие струй градуированноймногообразий, но они отличаются от струй градуированных расслоений.

Градуированное дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление на градуированных многообразиях формулируется как дифференциальное исчисление над градуированными коммутативными алгебрами аналогично дифференциальному исчислению над коммутативными алгебрами .

Физический результат

В силу упомянутой выше теоремы Серра–Свона нечетные классическиеполя на гладком многообразии описываются в терминах градуированныхколлекторы. Распространенный на градуированные многообразия, вариационный бикомплекс обеспечивает строгую математическую формулировкуЛагранжева классическая теория поля и лагранжева БРСТ-теория .

См. также

Ссылки

К. Барточчи, У. Бруззо, Д. Эрнандес Руиперес, Геометрия супермногообразий (Kluwer, 1991) ISBN 0-7923-1440-9
Т. Ставраку, Теория связностей на градуированных главных расслоениях, Rev. Math. Физ. 10 (1998) 47
Б. Костант, Градуированные многообразия, градуированная теория Ли и предварительное квантование, в книге «Дифференциальные геометрические методы в математической физике» , Конспект лекций по математике, 570 (Springer, 1977), с. 177
А. Алморокс, Суперкалибровочные теории в градуированных многообразиях, в книге «Дифференциальные геометрические методы в математической физике» , конспекты лекций по математике , 1251 (Springer, 1987), с. 114
Д. Эрнандес Руиперес, Дж. Муньос Маск, Глобальное вариационное исчисление на градуированных многообразиях, J. Math. Приложение Pures. 63 (1984) 283
Дж. Джачетта, Л. Манджиаротти, Г. Сарданашвили , Передовая классическая теория поля (World Scientific, 2009) ISBN 978-981-283-895-7 ; arXiv : math-ph/0102016 ; arXiv : 1304.1371 .

Внешние ссылки

Г. Сарданашвили , Лекции по супергеометрии, arXiv : 0910.0092 .