Теорема Серра – Свона

В математических областях топологии и K-теории теорема Серра -Свона , также называемая теоремой Свона , связывает геометрическое понятие векторных расслоений с алгебраической концепцией проективных модулей и порождает общую интуицию во всей математике : «проективные модули над Коммутативные кольца подобны векторным расслоениям на компактах ».

Две точные формулировки теорем несколько различаются. Исходная теорема, сформулированная Жаном-Пьером Серром в 1955 году, носит более алгебраический характер и касается векторных расслоений на алгебраическом многообразии над алгебраически замкнутым полем (любой характеристики ). Дополнительный вариант, сформулированный Ричардом Своном в 1962 году, является более аналитическим и касается ( действительных , комплексных или кватернионных ) векторных расслоений на гладком многообразии или хаусдорфовом пространстве .

Дифференциальная геометрия

Предположим, что — гладкое многообразие (не обязательно компактное), а E — гладкое векторное расслоение над M. M Тогда Γ(E) — пространство гладких сечений E — является модулем над C ^∞( M ) (коммутативная алгебра гладких вещественных функций на M ). Теорема Свона утверждает, что этот модуль конечно порожден и проективен над C. ^∞( М ). Другими словами, каждое векторное расслоение является прямым слагаемым некоторого тривиального расслоения: $M\times \mathbb {R} ^{k}$ для некоторого k . Теорему можно доказать, построив эпиморфизм расслоения из тривиального расслоения $M\times \mathbb {R} ^{k}\to E.$ Это можно сделать, например, демонстрируя сечения s ₁ ... s _k со свойством, что для каждой точки p , { s _i ( p )} охватывает слой над p .

Когда M связен конечно , верно и обратное: каждый порожденный проективный модуль над C ^∞( M ) возникает таким образом из некоторого гладкого векторного расслоения M. на Такой модуль можно рассматривать как гладкую функцию f на M со значениями в идемпотентных матрицах размера n × n для некоторого n . Слоем соответствующего векторного расслоения над x является тогда образ f ( x ). Если M несвязно, обратное не выполняется, если не допустить векторных расслоений непостоянного ранга (что означает допуск многообразий непостоянной размерности). Например, если M — нульмерное 2-точечное многообразие, модуль $\mathbb {R} \oplus 0$ конечно порожден и проективен над $C^{\infty }(M)\cong \mathbb {R} \times \mathbb {R}$ но не является свободным и поэтому не может соответствовать сечениям любого векторного расслоения (постоянного ранга) над M (все из которых тривиальны).

Другой способ сформулировать вышесказанное состоит в том, что для любого связного гладкого многообразия M сечения функтор Γ из категории гладких векторных расслоений над M в категорию конечно порожденных проективных C ^∞( M )-модули полны , точны и существенно сюръективны . Поэтому категория гладких векторных расслоений на категории конечно M эквивалентна порожденных проективных C ^∞( M )-модули. Подробности можно найти в ( Неструев 2003 ).

Топология

Предположим, что — хаусдорфово пространство , а C( X ) — кольцо непрерывных вещественных функций на X. X Аналогично приведенному выше результату, категория вещественных векторных расслоений на X эквивалентна категории конечно порожденных проективных модулей над C( X ). Тот же результат будет иметь место, если заменить «действительное векторное расслоение» на «комплексное» и «действительное векторное расслоение» на «комплексное векторное расслоение», но он не будет справедливым, если заменить поле полностью несвязным полем, таким как рациональные числа. .

Более подробно, пусть Vec( X ) — категория комплексных векторных расслоений над X , а ProjMod(C( X )) — категория конечно порожденных проективных модулей над C*-алгеброй C( X ). Существует функтор Γ: Vec( X ) → ProjMod(C( X )), который переводит каждое комплексное векторное расслоение E над X в C( X )-модуль Γ( X , E ) сечений . Если $\tau :(E_{1},\pi _{1})\to (E_{2},\pi _{2})$ является морфизмом векторных расслоений над X, то $\pi _{2}\circ \tau =\pi _{1}$ и отсюда следует, что

\forall s\in \Gamma (X,E_{1})\quad \pi _{2}\circ \tau \circ s=\pi _{1}\circ s={\text{id}}_{X},

даю карту

{\begin{cases}\Gamma \tau :\Gamma (X,E_{1})\to \Gamma (X,E_{2})\\s\mapsto \tau \circ s\end{cases}}

который учитывает структуру модуля (Варилли, 97) . Теорема Свона утверждает, что функтор Г является эквивалентностью категорий .

Алгебраическая геометрия

Аналогичный результат Серра в геометрии алгебраической (1955 , §50) применим к векторным расслоениям в категории аффинных многообразий . Пусть X — аффинное многообразие со структурным пучком ${\mathcal {O}}_{X},$ и ${\mathcal {F}}$ связный пучок ${\mathcal {O}}_{X}$ -модули на X . Затем ${\mathcal {F}}$ является пучком ростков конечномерного векторного расслоения тогда и только тогда, когда $\Gamma ({\mathcal {F}},X),$ пространство секций ${\mathcal {F}},$ является проективным модулем над коммутативным кольцом $A=\Gamma ({\mathcal {O}}_{X},X).$

Ссылки

Каруби, Макс (1978), K-теория: введение , Основы математических наук, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-08090-1
Манохаран, Паланивел (1995), «Обобщенная теорема Свона и ее применение», Proceedings of the American Mathematical Society , 123 (10): 3219–3223, doi : 10.1090/S0002-9939-1995-1264823-X , JSTOR 2160685 , MR 1264823 .
Серр, Жан-Пьер (1955), «Когерентные алгебраические пучки», Annals of Mathematics , 61 (2): 197–278, doi : 10.2307/1969915 , JSTOR 1969915 , MR 0068874 .
Свон, Ричард Г. (1962), «Векторные расслоения и проективные модули», Труды Американского математического общества , 105 (2): 264–277, doi : 10.2307/1993627 , JSTOR 1993627 .
Неструев, Джет (2003), Гладкие многообразия и наблюдаемые , Дипломные тексты по математике, вып. 220, Шпрингер-Верлаг, ISBN 0-387-95543-7
Джачетта, Г.; Манджаротти, Л.; Сарданашвили, Геннадий (2005), Геометрические и алгебраические топологические методы в квантовой механике , World Scientific, ISBN 981-256-129-3 .

Эта статья включает в себя материал из теоремы Серра-Свона по PlanetMath , которая распространяется под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .