Комплексное векторное расслоение

В математике комплексное векторное расслоение — это векторное расслоение , слоями которого являются комплексные векторные пространства .

Любое комплексное векторное расслоение можно рассматривать как вещественное векторное расслоение посредством ограничения скаляров . И наоборот, любое вещественное векторное расслоение E можно превратить в комплексное векторное расслоение, комплексификация

E\otimes \mathbb {C} ;

чьи слои E _x ⊗ _R C .

Любое комплексное векторное расслоение над паракомпактом допускает эрмитову метрику .

Базовым инвариантом комплексного векторного расслоения является класс Чженя . Комплексное векторное расслоение канонически ориентировано ; в частности, можно взять его класс Эйлера .

Комплексное векторное расслоение называется голоморфным векторным расслоением, если X — комплексное многообразие и если локальные тривиализации биголоморфны.

Сложная структура

Комплексное векторное расслоение можно рассматривать как вещественное векторное расслоение с дополнительной структурой — комплексной структурой . По определению, комплексная структура — это отображение расслоения между вещественным векторным расслоением E и самим собой:

J:E\to E

такой, что J действует как квадратный корень i из −1 на слоях: если $J_{x}:E_{x}\to E_{x}$ это карта на уровне волокна, тогда $J_{x}^{2}=-1$ как линейная карта. Если E — комплексное векторное расслоение, то комплексную структуру J можно определить, полагая $J_{x}$ быть скалярным умножением на $i$ . И наоборот, если E — вещественное векторное расслоение с комплексной структурой J , то E можно превратить в комплексное векторное расслоение, установив: для любых действительных чисел a , b и вещественного вектора v в слое E _x ,

(a+ib)v=av+J(bv).

Пример : Комплексную структуру на касательном расслоении вещественного многообразия M обычно называют почти комплексной структурой . Теорема Ньюлендера и Ниренберга гласит, что почти комплексная структура J является «интегрируемой» в том смысле, что она индуцируется структурой комплексного многообразия тогда и только тогда, когда некоторый тензор, включающий J, обращается в нуль.

Сопряженный пучок

Если E — комплексное векторное расслоение, то сопряженное расслоение ${\overline {E}}$ E получается путем использования комплексных чисел, действующих через комплексно - сопряженные числа. Таким образом, тождественная карта лежащих в основе вещественных векторных расслоений: $E_{\mathbb {R} }\to {\overline {E}}_{\mathbb {R} }=E_{\mathbb {R} }$ сопряжено-линейно, а E и сопряженное ему E изоморфны как вещественные векторные расслоения.

k -й класс Черна ${\overline {E}}$ дается

c_{k}({\overline {E}})=(-1)^{k}c_{k}(E)

.

В частности, E и E вообще не изоморфны.

Если E имеет эрмитову метрику, то сопряженное расслоение E изоморфно двойственному расслоению $E^{*}=\operatorname {Hom} (E,{\mathcal {O}})$ через метрику, где мы написали ${\mathcal {O}}$ для тривиального комплексного линейного расслоения.

Если E — вещественное векторное расслоение, то базовое вещественное векторное расслоение комплексификации E представляет собой прямую сумму двух копий E :

(E\otimes \mathbb {C} )_{\mathbb {R} }=E\oplus E

(поскольку V ⊗ _RC E = V ⊕ i ‌ V для любого вещественного векторного пространства V .) Если комплексное векторное расслоение E является комплексификацией вещественного векторного расслоения ' , то E ' называется вещественной формой E ( может быть быть более чем одной вещественной формой), и E говорят, что определено над действительными числами. Если E имеет действительную форму, то E изоморфно сопряженному ей (поскольку они оба являются суммой двух копий вещественной формы), и, следовательно, нечетные классы Чженя E имеют порядок 2.

См. также

Ссылки

Милнор, Джон Уиллард ; Сташефф, Джеймс Д. (1974), Характеристические классы , Анналы математических исследований, том. 76, Издательство Принстонского университета; Издательство Токийского университета, ISBN 978-0-691-08122-9