Двойной пакет

В математике двойственное расслоение — это операция над векторными расслоениями, расширяющая операцию двойственности для векторных пространств .

Определение

Двойственное расслоение векторного расслоения $\pi :E\to X$ векторное расслоение $\pi ^{*}:E^{*}\to X$ слои которого являются пространствами, двойственными слоям $E$.

Эквивалентно, $E^{*}$ можно определить как расслоение Hom $\mathrm {Hom} (E,\mathbb {R} \times X),$ то есть векторное расслоение морфизмов из $E$ к тривиальному линейному расслоению $\mathbb {R} \times X\to X.$

Конструкции и примеры

Учитывая локальную тривиализацию $E$ с функциями перехода $t_{ij},$ локальная тривиализация $E^{*}$ дается той же открытой крышкой $X$ с функциями перехода $t_{ij}^{*}=(t_{ij}^{T})^{-1}$ ( обратное транспонированию ) . Двойной пакет $E^{*}$ затем строится с использованием теоремы о построении расслоений . В качестве частных случаев:

• Двойственный расслоение ассоциированного расслоения — это расслоение, ассоциированное с двойственным представлением структурной группы .
• Двойственное расслоение касательного расслоения есть дифференцируемого многообразия его кокасательное расслоение .

Свойства

Если базовое пространство $X$ является паракомпактным и Хаусдорф тогда вещественное векторное расслоение конечного ранга $E$ и его двойственность $E^{*}$ изоморфны . векторным расслоениям Однако, как и в случае с векторными пространствами , не существует естественного выбора изоморфизма, если только $E$ оснащен внутренним продуктом .

Это неверно в случае комплексных векторных расслоений : например, тавтологическое линейное расслоение над римановой сферой не изоморфно своему двойственному. Двойной $E^{*}$ комплексного векторного расслоения $E$ действительно изоморфно сопряженному расслоению ${\overline {E}},$ но выбор изоморфизма неканоничен, если только $E$ оснащен эрмитовым изделием .

Пакет «Хом» $\mathrm {Hom} (E_{1},E_{2})$ двух векторных расслоений канонически изоморфно расслоению тензорных произведений $E_{1}^{*}\otimes E_{2}.$

Учитывая морфизм $f:E_{1}\to E_{2}$ векторных расслоений в одном и том же пространстве существует морфизм $f^{*}:E_{2}^{*}\to E_{1}^{*}$ между их двойственными расслоениями (в обратном порядке), определяемыми послойно как транспонирование каждого линейного отображения $f_{x}:(E_{1})_{x}\to (E_{2})_{x}.$ Соответственно, операция двойственного расслоения определяет контравариантный функтор из категории векторных расслоений и их морфизмов в себя.

Ссылки

• Конно, Хироши (2013). Введение Токийского университета). в современную математику (на японском языке: ISBN  9784130629713 .