Теорема о построении расслоения волокон

Ленту Мёбиуса можно построить нетривиальной склейкой двух тривиальных расслоений на открытых подмножествах U и V окружности S. ¹ . При тривиальной склейке (с g _UV =1 ) получается тривиальный пучок, а при нетривиальной склейке g _UV =1 на одном перекрытии и g _UV =-1 на втором перекрытии получается нетривиальный пучок E , лента Мёбиуса. Это можно представить как «подкручивание» одного из локальных графиков.

В математике теорема о построении расслоения — это теорема , которая строит расслоение из заданного базового пространства, слоя и подходящего набора функций перехода . Теорема также дает условия, при которых два таких расслоения изоморфны . Теорема важна для построения связанного пучка , когда каждый начинает с данного пучка и хирургическим путем заменяет волокно новым пространством, сохраняя при этом все остальные данные прежними.

Официальное заявление

Пусть X и F — топологические пространства и G — топологическая группа с непрерывным левым действием на F . Учитывая открытое покрытие { U _i } X и набор непрерывных функций

$t_{ij}:U_{i}\cap U_{j}\to G$

определенное на каждом непустом перекрытии, так что условие коцикла

$t_{ik}(x)=t_{ij}(x)t_{jk}(x)\qquad \forall x\in U_{i}\cap U_{j}\cap U_{k}$

существует расслоение E → X со слоем F и структурной группой G , тривиализируемое над { U _i } с функциями перехода t _ij .

Пусть E ′ — другое расслоение с тем же базовым пространством, слоем, структурной группой и тривиализирующими окрестностями, но с функциями t перехода _ij . Если действие G на F точное существуют , то E ′ и E изоморфны тогда и только тогда, когда функции

$t_{i}:U_{i}\to G$

такой, что

$t'_{ij}(x)=t_{i}(x)^{-1}t_{ij}(x)t_{j}(x)\qquad \forall x\in U_{i}\cap U_{j}.$

Принимая t _i в качестве постоянных функций, близких к единице в G , мы видим, что два расслоения с одной и той же базой, слоем, структурной группой, тривиализирующими окрестностями и функциями перехода изоморфны.

Аналогичная теорема верна и в гладкой категории, где X и Y — гладкие многообразия , G — группа Ли с гладким левым действием на Y и все отображения t _ij гладкие.

Строительство

Доказательство теоремы конструктивно . То есть фактически строит расслоение с заданными свойствами. Начинаем с несвязного пространств объединения U _i × F

$T=\coprod _{i\in I}U_{i}\times F=\{(i,x,y):i\in I,x\in U_{i},y\in F\}$

а затем формирует фактор по отношению эквивалентности

$(j,x,y)\sim (i,x,t_{ij}(x)\cdot y)\qquad \forall x\in U_{i}\cap U_{j},y\in F.$

Общее пространство E расслоения равно T /~, а проекция π: E → X — это отображение, которое переводит класс эквивалентности ( i , x , y ) в x . Местные тривиализации

$\phi _{i}:\pi ^{-1}(U_{i})\to U_{i}\times F$

затем определяются

$\phi _{i}^{-1}(x,y)=[(i,x,y)].$

Связанный пакет

Пусть E → X — расслоение со слоем F и структурной группой G , и пусть F ′ — другое левое G -пространство. Можно сформировать ассоциированное расслоение E ′ → X со слоем F ′ и структурной группой G, взяв любую локальную тривиализацию E и заменив F на F ′ в теореме построения. Если принять F ′ за G с помощью действия левого умножения, то получится связанный главный расслоение .

Ссылки

• Шарп, RW (1997). Дифференциальная геометрия: обобщение Картаном программы Эрлангена Клейна . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  0-387-94732-9 .
• Стинрод, Норман (1951). Топология пучков волокон . Принстон: Издательство Принстонского университета. ISBN  0-691-00548-6 . См. Часть I, §2.10 и §3.