Топология продукта

В топологии и смежных областях математики пространство продукта представляет собой декартово произведение семейства топологических пространств, снабженных естественной топологией, называемой топологией продукта . Эта топология отличается от другой, возможно, более естественной топологии, называемой топологией ящика , которая также может быть задана пространству произведения и которая согласуется с топологией произведения, когда произведение занимает только конечное число пространств. Однако топология продукта «правильна» в том смысле, что она делает пространство продукта категориальным продуктом своих факторов, тогда как топология «ящик» слишком тонка ; в этом смысле топология произведения является естественной топологией декартова произведения.

Определение

Через, $I$ будет некоторый непустой набор индексов и для каждого индекса $i\in I,$ позволять $X_{i}$ быть топологическим пространством . Обозначим декартово произведение множеств $X_{i}$ к

$X:=\prod X_{\bullet }:=\prod _{i\in I}X_{i}$

и для каждого индекса $i\in I,$ обозначают $i$ -я проекция каноническая

${\begin{aligned}p_{i}:\ \prod _{j\in I}X_{j}&\to X_{i},\\[3mu](x_{j})_{j\in I}&\mapsto x_{i}.\\\end{aligned}}$

The топология продукта , иногда называемая Тихоновская топология , на ${\textstyle \prod _{i\in I}X_{i}}$ определяется как самая грубая топология (то есть топология с наименьшим количеством открытых множеств), для которой все проекции ${\textstyle p_{i}:\prod X_{\bullet }\to X_{i}}$ являются непрерывными . Декартово произведение ${\textstyle X:=\prod _{i\in I}X_{i}}$ наделенный топологией произведения, называется пространство продукта . Открытые множества в топологии произведения представляют собой произвольные объединения (конечные или бесконечные) множеств вида ${\textstyle \prod _{i\in I}U_{i},}$ где каждый $U_{i}$ открыт в $X_{i}$ и $U_{i}\neq X_{i}$ только для конечного числа $i.$ В частности, для конечного произведения (в частности, для произведения двух топологических пространств) совокупность всех декартовых произведений между одним базисным элементом из каждого $X_{i}$ дает основу для топологии продукта ${\textstyle \prod _{i\in I}X_{i}.}$ То есть для конечного произведения множество всех ${\textstyle \prod _{i\in I}U_{i},}$ где $U_{i}$ является элементом (выбранного) базиса $X_{i},$ является основой топологии продукта ${\textstyle \prod _{i\in I}X_{i}.}$

Топология продукта на ${\textstyle \prod _{i\in I}X_{i}}$ — топология, порожденная множествами вида $p_{i}^{-1}\left(U_{i}\right),$ где $i\in I$ и $U_{i}$ является открытым подмножеством $X_{i}.$ Другими словами, множества

$\left\{p_{i}^{-1}\left(U_{i}\right)\mathbin {\big \vert } i\in I{\text{ and }}U_{i}\subseteq X_{i}{\text{ is open in }}X_{i}\right\}$

сформировать подбазу для топологии на $X.$ Подмножество $X$ открыто тогда и только тогда, когда оно представляет собой (возможно, бесконечное) конечного числа объединение пересечений множеств вида $p_{i}^{-1}\left(U_{i}\right).$ $p_{i}^{-1}\left(U_{i}\right)$ иногда называют открытыми цилиндрами , а их пересечения — множествами цилиндров .

Топологию произведения также называют топологией поточечной сходимости , поскольку последовательность (или, в более общем смысле, сеть ) в ${\textstyle \prod _{i\in I}X_{i}}$ сходится тогда и только тогда, когда все его проекции на пространства $X_{i}$ сходиться. Явно последовательность ${\textstyle s_{\bullet }=\left(s_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$ (соответственно, сеть ${\textstyle s_{\bullet }=\left(s_{a}\right)_{a\in A}}$ ) сходится к заданной точке ${\textstyle x\in \prod _{i\in I}X_{i}}$ тогда и только тогда, когда $p_{i}\left(s_{\bullet }\right)\to p_{i}(x)$ в $X_{i}$ для каждого индекса $i\in I,$ где $p_{i}\left(s_{\bullet }\right):=p_{i}\circ s_{\bullet }$ обозначает $\left(p_{i}\left(s_{n}\right)\right)_{n=1}^{\infty }$ (соответственно обозначает $\left(p_{i}\left(s_{a}\right)\right)_{a\in A}$ ). В частности, если $X_{i}=\mathbb {R}$ используется для всех $i$ тогда декартово произведение — это пространство ${\textstyle \prod _{i\in I}\mathbb {R} =\mathbb {R} ^{I}}$ всех действительных функций на $I,$ и сходимость в топологии произведения аналогична поточечной сходимости функций.

Примеры

Если реальная линия $\mathbb {R}$ наделен своей стандартной топологией , то топология произведения на произведении $n$ копии $\mathbb {R}$ равна обычной евклидовой топологии на $\mathbb {R} ^{n}.$ (Потому что $n$ конечно, это также эквивалентно топологии ящика на $\mathbb {R} ^{n}.$ )

Множество Кантора гомеоморфно . произведению счетного числа копий дискретного пространства $\{0,1\}$ и пространство иррациональных чисел гомеоморфно произведению счетного числа копий натуральных чисел , где каждая копия снова несет дискретную топологию.

Несколько дополнительных примеров приведены в статье об исходной топологии .

Характеристики

Набор декартовых произведений между открытыми множествами топологий каждого $X_{i}$ формирует основу для так называемой коробчатой топологии на $X.$ В общем случае топология ящика тоньше топологии произведения, но для конечных произведений они совпадают.

Пространство продукта $X,$ вместе с каноническими проекциями можно охарактеризовать следующим универсальным свойством : если $Y$ является топологическим пространством, и для каждого $i\in I,$ $f_{i}:Y\to X_{i}$ является непрерывным отображением, то существует ровно одно непрерывное отображение $f:Y\to X$ такой, что для каждого $i\in I$ следующая диаграмма коммутирует :

Это показывает, что пространство продукта является продуктом категории топологических пространств . Из указанного выше универсального свойства следует, что отображение $f:Y\to X$ непрерывно тогда и только тогда, когда $f_{i}=p_{i}\circ f$ является непрерывным для всех $i\in I.$ Во многих случаях проще проверить работоспособность компонента. $f_{i}$ являются непрерывными. Проверяем, есть ли карта $X\to Y$ является непрерывным, обычно сложнее; пытаются использовать тот факт, что $p_{i}$ в некотором смысле непрерывны.

Канонические проекции не только непрерывны, но и $p_{i}:X\to X_{i}$ открытые карты . Это означает, что любое открытое подмножество пространства продукта остается открытым при проецировании на $X_{i}.$ Обратное неверно: если $W$ — это подпространство пространства продуктов, проекции которого на все $X_{i}$ открыты, то $W$ не обязательно быть открытым в $X$ (рассмотрим, например, ${\textstyle W=\mathbb {R} ^{2}\setminus (0,1)^{2}.}$ ) Канонические проекции, как правило, не являются замкнутыми отображениями (рассмотрим, например, замкнутое множество ${\textstyle \left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:xy=1\right\},}$ чьи проекции на обе оси равны $\mathbb {R} \setminus \{0\}$ ).

Предполагать ${\textstyle \prod _{i\in I}S_{i}}$ является произведением произвольных подмножеств, где $S_{i}\subseteq X_{i}$ для каждого $i\in I.$ Если все $S_{i}$ непусты , то ${\textstyle \prod _{i\in I}S_{i}}$ представляет собой закрытое подмножество пространства продуктов $X$ тогда и только тогда, когда каждый $S_{i}$ является закрытым подмножеством $X_{i}.$ В более общем смысле, закрытие продукта ${\textstyle \prod _{i\in I}S_{i}}$ произвольных подмножеств в пространстве произведений $X$ равно произведению замыканий: ^{[ 1 ]}

${\operatorname {Cl} _{X}}{\Bigl (}\prod _{i\in I}S_{i}{\Bigr )}=\prod _{i\in I}{\bigl (}{\operatorname {Cl} _{X_{i}}}S_{i}{\bigr )}.$

Любое произведение хаусдорфовых пространств снова является хаусдорфовым пространством.

Теорема Тихонова , которая эквивалентна аксиоме выбора , утверждает, что любое произведение компактов является компактным пространством. Специализация теоремы Тихонова , которая требует только леммы об ультрафильтре (а не полной силы выбранной аксиомы), утверждает, что любое произведение компактных хаусдорфовых пространств является компактным пространством.

Если ${\textstyle z=\left(z_{i}\right)_{i\in I}\in X}$ фиксировано, то набор

$\left\{x=\left(x_{i}\right)_{i\in I}\in X\mathbin {\big \vert } x_{i}=z_{i}{\text{ for all but finitely many }}i\right\}$

является плотным подмножеством пространства продуктов $X$ . ^{[ 1 ]}

Связь с другими топологическими понятиями

Разделение

Каждое произведение T ₀ пространств есть T ₀ .
Каждое произведение T ₁ пространств есть T ₁ .
Всякое произведение хаусдорфовых пространств является хаусдорфовым.
Всякое произведение регулярных пространств регулярно.
Всякое произведение тихоновских пространств является тихоновским.
Произведение нормальных пространств не обязательно должно быть нормальным.

Компактность

Всякое произведение компактов компактно ( теорема Тихонова ).
Произведение локально компактных пространств не обязательно должно быть локально компактным. Однако произвольное произведение локально компактных пространств, где все, кроме конечного числа, компактны , локально компактно (это условие является достаточным и необходимым).

Связность

Всякое произведение связных (соответственно линейно-связных) пространств связно (соответственно линейно-связно).
Всякое произведение наследственно несвязных пространств наследственно несвязно.

Метрические пространства

Счётные произведения метрических пространств — метризуемые пространства .

Аксиома выбора

Один из многих способов выразить аксиому выбора — сказать, что она эквивалентна утверждению о том, что декартово произведение набора непустых множеств непусто. ^{[ 2 ]} Доказательство того, что это эквивалентно формулировке аксиомы в терминах функций выбора, является немедленным: нужно только выбрать элемент из каждого набора, чтобы найти представителя в произведении. И наоборот, представителем произведения является множество, содержащее ровно по одному элементу от каждого компонента.

Аксиома выбора снова возникает при изучении (топологических) пространств произведений; например, теорема Тихонова о компактных множествах представляет собой более сложный и тонкий пример утверждения, требующего аксиомы выбора и эквивалентного ей в самой общей формулировке: ^{[ 3 ]} и показывает, почему топологию произведения можно считать более полезной топологией для декартова произведения.

См. также

Непересекающееся объединение (топология) - пространство, образованное путем оснащения непересекающегося объединения базовых множеств естественной топологией, называемой топологией непересекающегося объединения.
Окончательная топология - лучшая топология, делающая некоторые функции непрерывными.
Начальная топология . Самая грубая топология, делающая определенные функции непрерывными. Иногда ее называют топологией проективного предела.
Обратный предел - конструкция в теории категорий
Поточечная сходимость - понятие сходимости в математике.
Факторпространство (топология) - Построение топологического пространства.
Подпространство (топология) — страницы унаследованной топологии,
Слабая топология - математический термин

Примечания

^ Перейти обратно: ^а ^б Бурбаки 1989 , стр. 43–50.
^ Первин, Уильям Дж. (1964), Основы общей топологии , Academic Press, стр. 33
^ Хокинг, Джон Г.; Янг, Гейл С. (1988) [1961], Топология , Дувр, с. 28 , ISBN 978-0-486-65676-2

Ссылки

Бурбаки, Николя (1989) [1966]. Общая топология: главы 1–4 [ Общая топология ]. Элементы математики . Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1 . OCLC 18588129 .
Уиллард, Стивен (1970). Общая топология . Ридинг, Массачусетс: Паб Addison-Wesley. компании ISBN 0486434796 . Проверено 13 февраля 2013 г.

[FOOTNOTEBourbaki198943–50-1] Перейти обратно: ^а ^б Бурбаки 1989 , стр. 43–50.

[2] Первин, Уильям Дж. (1964), Основы общей топологии , Academic Press, стр. 33

[3] Хокинг, Джон Г.; Янг, Гейл С. (1988) [1961], Топология , Дувр, с. 28 , ISBN 978-0-486-65676-2

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]