Комплект цилиндров

В математике составляют наборы цилиндров основу топологии произведения на произведении множеств; они также являются порождающим семейством цилиндрической σ-алгебры .

Общее определение [ править ]

Учитывая коллекцию $S$ множеств, рассмотрим декартово произведение ${\textstyle X=\prod _{Y\in S}Y}$ из всех наборов коллекции. Каноническая проекция, соответствующая некоторому $Y\in S$ это функция $p_{Y}:X\to Y$ который сопоставляет каждый элемент продукта с его $Y$ компонент. Цилиндрическое множество — это прообраз канонической проекции или конечное пересечение таких прообразов. В явном виде это набор формы:

\bigcap _{i=1}^{n}p_{Y_{i}}^{-1}\left(A_{i}\right)=\left\{\left(x\right)\in X\mid p_{Y_{1}}(x)\in A_{1},\dots ,p_{Y_{n}}(x)\in A_{n}\right\}

на любой выбор

n

, конечная последовательность множеств

Y_{1},...Y_{n}\in S

и подмножества

A_{i}\subseteq Y_{i}

для

1\leq i\leq n

.

Потом, когда все наладится $S$ являются топологическими пространствами , топология произведения генерируется наборами цилиндров, соответствующими открытым наборам компонентов. Это цилиндры формы ${\textstyle \bigcap _{i=1}^{n}p_{Y_{i}}^{-1}\left(U_{i}\right)}$ где для каждого $i$ , $U_{i}$ открыт в $Y_{i}$ . Точно так же в случае измеримых пространств цилиндрической σ-алгеброй называется та, которая порождается цилиндрическими множествами, соответствующими измеримым множествам компонентов.

Важным является ограничение на то, что множество цилиндров должно быть пересечением конечного числа открытых цилиндров; разрешение бесконечных пересечений обычно приводит к более тонкой топологии. В последнем случае результирующая топология представляет собой топологию «коробка» ; множества цилиндров никогда не являются кубами Гильберта .

Комплекты цилиндров в изделиях дискретных комплектов [ править ]

Позволять $S=\{1,2,\ldots ,n\}$ быть конечным множеством, содержащим n объектов или букв . Совокупность всех бибесконечных строк в этих буквах обозначается через

S^{\mathbb {Z} }=\{x=(\ldots ,x_{-1},x_{0},x_{1},\ldots ):x_{k}\in S\;\forall k\in \mathbb {Z} \}.

Естественная топология на $S$ — дискретная топология . Базовые открытые множества в дискретной топологии состоят из отдельных букв; таким образом, открытые цилиндры топологии продукта на $S^{\mathbb {Z} }$ являются

C_{t}[a]=\{x\in S^{\mathbb {Z} }:x_{t}=a\}.

Пересечения конечного числа открытых цилиндров представляют собой множества цилиндров

{\begin{aligned}C_{t}[a_{0},\ldots ,a_{m}]&=C_{t}[a_{0}]\,\cap \,C_{t+1}[a_{1}]\,\cap \cdots \cap \,C_{t+m}[a_{m}]\\&=\{x\in S^{\mathbb {Z} }:x_{t}=a_{0},\ldots ,x_{t+m}=a_{m}\}\end{aligned}}.

Комплекты цилиндров представляют собой закрытые комплекты . Как элементы топологии, множества цилиндров по определению являются открытыми множествами. Дополнение к открытому множеству — это закрытое множество, но дополнение к множеству цилиндров — это объединение цилиндров , поэтому множества цилиндров также закрыты и, следовательно, замкнуто-открыты.

Определение векторных пространств [ править ]

Учитывая конечное или бесконечномерное векторное пространство $V$ над полем K (таким как действительные или комплексные числа ), наборы цилиндров могут быть определены как

C_{A}[f_{1},\ldots ,f_{n}]=\{x\in V:(f_{1}(x),f_{2}(x),\ldots ,f_{n}(x))\in A\}

где

A\subset K^{n}

это набор Бореля в

K^{n}

и каждый

f_{j}

является линейным функционалом от

V

; то есть,

f_{j}\in (V^{*})^{\otimes n}

, алгебраическое дуальное пространство к

V

. При работе с топологическими векторными пространствами вместо этого определяются элементы

f_{j}\in (V')^{\otimes n}

, непрерывное двойственное пространство . То есть функционалы

f_{j}

считаются непрерывными линейными функционалами.

Приложения [ править ]

Наборы цилиндров часто используются для определения топологии наборов, которые являются подмножествами $S^{\mathbb {Z} }$ и часто встречаются при изучении символической динамики ; см., например, подсдвиг конечного типа . Наборы цилиндров часто используются для определения меры с использованием теоремы расширения Колмогорова ; например, размер набора цилиндров длиной м может быть выражен как $1/ м$ или $1/2. м$ .

Наборы цилиндров можно использовать для определения метрики пространства : например, говорят, что две строки являются ε-близкими , если доля 1−ε букв в строках совпадает.

Поскольку строки в $S^{\mathbb {Z} }$ могут рассматриваться как p -адические числа , часть теории p -адических чисел может быть применена к цилиндрическим множествам, и, в частности, определение p -адических мер и p -адических метрик применимо к цилиндрическим множествам. Эти типы пространств меры появляются в теории динамических систем и называются неособыми одометрами . Обобщением этих систем является одометр Маркова .

Наборы цилиндров в топологических векторных пространствах являются основным компонентом ^{[ нужна ссылка ]} определение абстрактных пространств Винера , которые обеспечивают формальное определение интеграла по путям Фейнмана или функционального интеграла квантовой теории поля , а также статистической суммы статистической механики .

См. также [ править ]

Фильтр (теория множеств) - семейство множеств, представляющих «большие» множества.
Фильтры в топологии . Использование фильтров для описания и характеристики всех основных топологических понятий и результатов.
Мера набора цилиндров – способ создания меры для пространств продуктов.
Цилиндрическая σ-алгебра
Проекция (теория множеств) - один из двух тесно связанных типов функций или операций в теории множеств.
Ультрапродукт – Математическое построение

Ссылки [ править ]

Р. А. Минлос (2001) [1994], «Набор цилиндров» , Математическая энциклопедия , EMS Press