Гауссова мера

В математике гауссова мера — это борелевская мера в конечномерном евклидовом пространстве. $R^{n}$, тесно связанное с нормальным распределением в статистике . Существует также обобщение на бесконечномерные пространства. Гауссовы меры названы в честь немецкого математика Карла Фридриха Гаусса . Одной из причин, почему гауссовы меры настолько распространены в теории вероятностей, является центральная предельная теорема . Грубо говоря, это означает, что если случайная величина $X$ получается суммированием большого числа $N$ независимых случайных величин с дисперсией 1, то $X$ имеет дисперсию $N$ и его закон приблизительно гауссов.

Определения

Позволять $n\in N$ и пусть $B_{0}(\mathbb {R} ^{n})$ обозначаем пополнение Бореля ​ $\sigma$-алгебра на $\mathbb {R} ^{n}$. Позволять $\lambda ^{n}:B_{0}(\mathbb {R} ^{n})\to [0,+\infty ]$ обозначаю обычный $n$-мерная мера Лебега . Тогда стандартная гауссова мера $\gamma ^{n}:B_{0}(\mathbb {R} ^{n})\to [0,1]$ определяется

$$\gamma ^{n}(A)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}^{n}}}\int _{A}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\left\|x\right\|_{\mathbb {R} ^{n}}^{2}\right)\,\mathrm {d} \lambda ^{n}(x)$$

для любого измеримого множества $A\in B_{0}(\mathbb {R} ^{n})$. В терминах производной Радона– Никодима

$${\frac {\mathrm {d} \gamma ^{n}}{\mathrm {d} \lambda ^{n}}}(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}^{n}}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\left\|x\right\|_{\mathbb {R} ^{n}}^{2}\right).$$

В более общем смысле, гауссова мера со средним $\mu \in \mathbb {R} ^{n}$ и дисперсия $\sigma ^{2}>0$ дается

$$\gamma _{\mu ,\sigma ^{2}}^{n}(A):={\frac {1}{{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}^{n}}}\int _{A}\exp \left(-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\left\|x-\mu \right\|_{\mathbb {R} ^{n}}^{2}\right)\,\mathrm {d} \lambda ^{n}(x).$$

Гауссовы меры со средним значением $\mu =0$ известны как центрированные гауссовы меры .

Мера Дирака $\delta _{\mu }$ является слабым пределом $\gamma _{\mu ,\sigma ^{2}}^{n}$ как $\sigma \to 0$, и считается вырожденной гауссовской мерой ; напротив, гауссовы меры с конечной, ненулевой дисперсией называются невырожденными гауссовскими мерами .

Свойства

Стандартная гауссова мера $\gamma ^{n}$ на $\mathbb {R} ^{n}$

• является борелевской мерой (фактически, как отмечалось выше, она определена при пополнении сигма-алгебры Бореля, которая представляет собой более тонкую структуру);
• эквивалентно : мере Лебега $\lambda ^{n}\ll \gamma ^{n}\ll \lambda ^{n}$, где $\ll$ выступает за абсолютную преемственность мер;
• поддерживается во всем евклидовом пространстве: $\operatorname {supp} (\gamma ^{n})=\mathbb {R} ^{n}$;
• это вероятностная мера $(\gamma ^{n}(\mathbb {R} ^{n})=1)$, и поэтому оно локально конечно ;
• : строго положителен каждое непустое открытое множество имеет положительную меру;
• является внутренним регулярным : для всех борелевских множеств $A$,
  $$\gamma ^{n}(A)=\sup\{\gamma ^{n}(K)\mid K\subseteq A,K{\text{ is compact}}\},$$
  таким образом, гауссова мера является мерой Радона ;
• не является трансляционно - инвариантным , но удовлетворяет соотношению
  $${\frac {\mathrm {d} (T_{h})_{*}(\gamma ^{n})}{\mathrm {d} \gamma ^{n}}}(x)=\exp \left(\langle h,x\rangle _{\mathbb {R} ^{n}}-{\frac {1}{2}}\|h\|_{\mathbb {R} ^{n}}^{2}\right),$$
  где производная в левой части — это производная Радона–Никодима , а $(T_{h})_{*}(\gamma ^{n})$ это продвижение стандартной гауссовой меры с помощью карты перевода $T_{h}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$, $T_{h}(x)=x+h$;
• — вероятностная мера, связанная с нормальным распределением вероятностей :
  $$Z\sim \operatorname {Normal} (\mu ,\sigma ^{2})\implies \mathbb {P} (Z\in A)=\gamma _{\mu ,\sigma ^{2}}^{n}(A).$$

Бесконечномерные пространства

Можно показать, что не существует аналога меры Лебега в бесконечномерном векторном пространстве . Несмотря на это, можно определить гауссовы меры в бесконечномерных пространствах, основным примером является абстрактная конструкция пространства Винера . Борелевская мера $\gamma$ на сепарабельном банаховом пространстве $E$ называется невырожденной (центрированной) гауссовой мерой , если для любого линейного функционала $L\in E^{*}$ кроме $L=0$, мера продвижения вперед $L_{*}(\gamma )$ является невырожденной (центрированной) гауссовой мерой на $\mathbb {R}$ в смысле, определенном выше.

Например, классическая мера Винера в пространстве непрерывных путей является гауссовой мерой.

См. также

• Мера Бесова – обобщение меры Гаусса с использованием нормы Бесова. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Теорема Кэмерона – Мартина - Теорема, определяющая перевод гауссовских мер (мер Винера) в гильбертовых пространствах.
• Ковариационный оператор - Оператор в теории вероятностей
• Теорема Фельдмана – Хайека - Теория в теории вероятностей

Ссылки

• Богачев, Владимир (1998). Гауссовы меры . Американское математическое общество. ISBN  978-1470418694 .
• Струк, Дэниел (2010). Теория вероятностей: аналитический взгляд . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0521132503 .