Иметь в виду

— Среднее значение это числовая величина, представляющая центр набора чисел и промежуточная по отношению к крайним значениям набора чисел. ^[1] , существует несколько видов средств (или «мер центральной тенденции ») В математике , особенно в статистике . Каждый из них пытается суммировать или типизировать данную группу данных , иллюстрируя величину и знак данных набора . Какой из этих показателей является наиболее информативным, зависит от того, что измеряется, а также от контекста и цели.

, Среднее арифметическое также известное как «среднее арифметическое», представляет собой сумму значений, разделенную на количество значений. Среднее арифметическое набора чисел x ₁ , x ₂ , ..., x _n обычно обозначается с помощью верхней черты , ${\bar {x}}$ . ^{[примечание 1]} Если числа взяты из наблюдения за выборкой большей группы , среднее арифметическое называется выборочным средним ( ${\bar {x}}$ ), чтобы отличить его от группового среднего (или ожидаемого значения ) основного распределения, обозначаемого $\mu$ или $\mu _{x}$ . ^{[заметка 2]}^[2]

часто используется широкий спектр других понятий среднего значения Помимо вероятности и статистики, в геометрии и математическом анализе ; примеры приведены ниже.

Виды средств [ править ]

Пифагорейский означает [ править ]

Среднее арифметическое (AM) [ править ]

( Среднее арифметическое или просто среднее или среднее ) списка чисел — это сумма всех чисел, деленная на количество чисел. Аналогично, среднее значение выборки $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ , обычно обозначается ${\bar {x}}$ , представляет собой сумму выборочных значений, деленную на количество элементов в выборке.

{\bar {x}}={\frac {1}{n}}\left(\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}\right)={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}

Например, среднее арифметическое пяти значений: 4, 36, 45, 50, 75 равно:

{\frac {4+36+45+50+75}{5}}={\frac {210}{5}}=42.

Среднее геометрическое (GM) [ править ]

— Среднее геометрическое это среднее значение, которое полезно для наборов положительных чисел, которые интерпретируются в соответствии с их произведением (как в случае с темпами роста), а не их суммой (как в случае со средним арифметическим):

{\bar {x}}=\left(\prod _{i=1}^{n}{x_{i}}\right)^{\frac {1}{n}}=\left(x_{1}x_{2}\cdots x_{n}\right)^{\frac {1}{n}}

^[1]

Например, среднее геометрическое пяти значений: 4, 36, 45, 50, 75 равно:

(4\times 36\times 45\times 50\times 75)^{\frac {1}{5}}={\sqrt[{5}]{24\;300\;000}}=30.

Среднее гармоническое (HM) [ править ]

Среднее гармоническое — это среднее значение, которое полезно для наборов чисел, определенных относительно некоторой единицы , как в случае скорости (т. е. расстояния в единицу времени):

{\bar {x}}=n\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}\right)^{-1}

Например, среднее гармоническое пяти значений: 4, 36, 45, 50, 75 равно

{\frac {5}{{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{36}}+{\tfrac {1}{45}}+{\tfrac {1}{50}}+{\tfrac {1}{75}}}}={\frac {5}{\;{\tfrac {1}{3}}\;}}=15.

Если у нас есть пять насосов, которые могут опорожнить резервуар определенного размера соответственно за 4, 36, 45, 50 и 75 минут, то среднее гармоническое значение $15$ говорит нам, что эти пять разных насосов, работающих вместе, будут перекачивать с той же скоростью, что и пять насосов, каждый из которых может опорожнить резервуар за $15$ минут.

Отношения между AM, GM и HM [ править ]

AM, GM и HM удовлетворяют этим неравенствам:

\mathrm {AM} \geq \mathrm {GM} \geq \mathrm {HM} \,

Равенство имеет место, если все элементы данной выборки равны.

Статистическое местоположение [ править ]

В описательной статистике среднее значение можно спутать с медианой , модой или средним диапазоном , поскольку любое из них может быть ошибочно названо «средним» (более формально, мерой центральной тенденции ). Среднее значение набора наблюдений представляет собой среднее арифметическое значений; однако для асимметричных распределений среднее значение не обязательно совпадает со средним значением (медианой) или наиболее вероятным значением (режимом). Например, средний доход обычно искажается вверх из-за небольшого числа людей с очень высокими доходами, так что у большинства доход ниже среднего. Напротив, медианный доход — это уровень, на котором половина населения находится ниже, а половина — выше. Режим дохода является наиболее вероятным доходом и благоприятствует большему числу людей с более низкими доходами. Хотя медиана и мода часто являются более интуитивными мерами для таких асимметричных данных, многие асимметричные распределения на самом деле лучше всего описываются их средним значением, включая экспоненциальное распределение и распределение Пуассона .

вероятностей Среднее значение распределения

Среднее значение распределения вероятностей — это долгосрочное среднее арифметическое значение случайной величины, имеющей это распределение. Если случайную величину обозначить $X$ , то среднее значение также известно как значение ожидаемое $X$ (обозначается $E(X)$ ). Для дискретного распределения вероятностей среднее значение определяется выражением $\textstyle \sum xP(x)$ , где сумма берется по всем возможным значениям случайной величины и $P(x)$ — функция массы вероятности . Для непрерывного распределения среднее значение равно $\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,dx$ , где $f(x)$ – функция плотности вероятности . ^[4]Во всех случаях, включая те, в которых распределение не является ни дискретным, ни непрерывным, среднее значение представляет собой интеграл Лебега случайной величины по ее вероятностной мере . Среднее значение не обязательно должно существовать или быть конечным; для некоторых распределений вероятностей среднее значение бесконечно ( $+\infty$ или $-\infty$ ), а для других среднее значение не определено .

Обобщенные средства [ править ]

Мощность означает [ править ]

Обобщенное среднее , также известное как среднее степенное или среднее Гёльдера, представляет собой абстракцию квадратичных , арифметических, геометрических и гармонических средних. Он определяется для набора из n положительных чисел x _i формулой

${\bar {x}}(m)=\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{m}\right)^{\frac {1}{m}}$ ^[1]

Путем выбора различных значений параметра m получаются следующие типы средних:

$\lim _{m\to \infty }$: максимум $x_{i}$
$\lim _{m\to 2}$: квадратичное среднее
$\lim _{m\to 1}$: среднее арифметическое
$\lim _{m\to 0}$: среднее геометрическое
$\lim _{m\to -1}$: гармоническое среднее
$\lim _{m\to -\infty }$: минимум $x_{i}$

f -mean [ править ]

Это можно обобщить дальше как обобщенное $f$ -среднее

{\bar {x}}=f^{-1}\left({{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{f\left(x_{i}\right)}}\right)

и снова подходящий выбор обратимого $f$ даст

$f(x)=x^{m}$	мощность значит ,
$f(x)=x$	среднее арифметическое ,
$f(x)=\ln(x)$	среднее геометрическое .
$f(x)=x^{-1}={\frac {1}{x}}$	гармоническое среднее ,

Средневзвешенное арифметическое [ править ]

Средневзвешенное арифметическое (или средневзвешенное) используется, если нужно объединить средние значения из выборок разного размера одной и той же совокупности:

{\bar {x}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{w_{i}{\bar {x_{i}}}}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}.

^[1]

Где ${\bar {x_{i}}}$ и $w_{i}$ среднее значение и размер выборки $i$ соответственно. В других приложениях они представляют собой меру надежности влияния соответствующих значений на среднее значение.

Усеченное среднее [ править ]

Иногда набор чисел может содержать выбросы (т. е. значения данных, которые намного ниже или намного выше, чем другие). Часто выбросы представляют собой ошибочные данные, вызванные артефактами . В этом случае можно использовать усеченное среднее . Он включает в себя отбрасывание заданных частей данных на верхнем или нижнем конце, обычно равное количество на каждом конце, а затем взятие среднего арифметического оставшихся данных. Количество удаленных значений указывается в процентах от общего количества значений.

Межквартильное среднее [ править ]

Интерквартильное среднее является конкретным примером усеченного среднего. Это просто среднее арифметическое после удаления самой низкой и самой высокой четверти значений.

{\bar {x}}={\frac {2}{n}}\;\sum _{i={\frac {n}{4}}+1}^{{\frac {3}{4}}n}\!\!x_{i}

если предположить, что значения упорядочены, то это просто конкретный пример средневзвешенного значения для определенного набора весов.

Среднее значение функции [ править ]

В некоторых случаях математики могут вычислить среднее значение бесконечного (или даже неисчислимого ) набора значений. Это может произойти при вычислении среднего значения $y_{\text{avg}}$ функции $f(x)$ . Интуитивно среднее значение функции можно представить как вычисление площади под участком кривой и затем деление на длину этого участка. Это можно сделать грубо, посчитав квадраты на миллиметровой бумаге или, точнее, проинтегрировав . Формула интегрирования записывается как:

y_{\text{avg}}(a,b)={\frac {1}{b-a}}\int \limits _{a}^{b}\!f(x)\,dx

При этом необходимо позаботиться о том, чтобы интеграл сходился. Но среднее значение может быть конечным, даже если сама функция в некоторых точках стремится к бесконечности.

Среднее значение углов и циклических величин [ править ]

Углы , время суток и другие циклические величины требуют модульной арифметики для сложения и иного объединения чисел. Во всех этих ситуациях не будет единственного средства. Например, время за час до и после полуночи равноудалено как от полуночи, так и от полудня. Также возможно, что никакого среднего не существует. Рассмотрим цветовой круг : набор всех цветов не имеет значения. В таких ситуациях вы должны решить, какое среднее значение является наиболее полезным. Вы можете сделать это, корректируя значения перед усреднением или используя специальный подход для среднего значения круговых величин .

Фреше означает [ править ]

дает Среднее значение Фреше способ определить «центр» распределения массы на поверхности или, в более общем смысле, на римановом многообразии . В отличие от многих других средств, среднее значение Фреше определяется в пространстве, элементы которого не обязательно складываются или умножаются на скаляры. Иногда его также называют средним значением Керхера (названным в честь Германа Керхера).

Треугольные наборы [ править ]

В геометрии существуют тысячи различных определения центра треугольника , которые можно интерпретировать как среднее значение треугольного набора точек на плоскости. ^[5]

Правило Свонсона [ править ]

Это приближение к среднему значению для умеренно асимметричного распределения. ^[6] Он используется при разведке углеводородов и определяется как:

m=0.3P_{10}+0.4P_{50}+0.3P_{90}

где ${\textstyle P_{10}}$ , ${\textstyle P_{50}}$ и ${\textstyle P_{90}}$ представляют собой 10-й, 50-й и 90-й процентили распределения соответственно.

Другие средства [ править ]

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Произносится как « x bar».
^ Греческая буква μ , означающая «средний», произносится /'mjuː/.

Ссылки [ править ]

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д «Среднее | математика» . Британская энциклопедия . Проверено 21 августа 2020 г.
^ Андерхилл, LG; Брэдфилд Д. (1998) Интростат , Юта и Компания Лтд. ISBN 0-7021-3838-X с. 181
^ «Обзор статистики AP - кривые плотности и нормальное распределение» . Архивировано из оригинала 2 апреля 2015 года . Проверено 16 марта 2015 г.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Среднее население» . mathworld.wolfram.com . Проверено 21 августа 2020 г.
^ Нарбу, Жюльен; Браун, Дэвид (2016). «К сертифицированной версии энциклопедии центров треугольников». Математика в информатике . 10 (1): 57–73. дои : 10.1007/s11786-016-0254-4 . МР 3483261 . под руководством Кларка Кимберлинга разработана электронная энциклопедия центров треугольников (ЭТЦ), содержащая более 7000 центров и множество свойств этих точек.
^ Херст А., Браун Г.К., Суонсон Р.И. (2000) Правило Суонсона 30-40-30. Бюллетень Американской ассоциации геологов-нефтяников 84 (12) 1883–1891 гг.

[2] Произносится как « x bar».

[3] Греческая буква μ , означающая «средний», произносится /'mjuː/.

[:2-1] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д «Среднее | математика» . Британская энциклопедия . Проверено 21 августа 2020 г.

[4] Андерхилл, LG; Брэдфилд Д. (1998) Интростат , Юта и Компания Лтд. ISBN 0-7021-3838-X с. 181

[5] «Обзор статистики AP - кривые плотности и нормальное распределение» . Архивировано из оригинала 2 апреля 2015 года . Проверено 16 марта 2015 г.

[:1-6] Вайсштейн, Эрик В. «Среднее население» . mathworld.wolfram.com . Проверено 21 августа 2020 г.

[7] Нарбу, Жюльен; Браун, Дэвид (2016). «К сертифицированной версии энциклопедии центров треугольников». Математика в информатике . 10 (1): 57–73. дои : 10.1007/s11786-016-0254-4 . МР 3483261 . под руководством Кларка Кимберлинга разработана электронная энциклопедия центров треугольников (ЭТЦ), содержащая более 7000 центров и множество свойств этих точек.

[Hurst2000-8] Херст А., Браун Г.К., Суонсон Р.И. (2000) Правило Суонсона 30-40-30. Бюллетень Американской ассоциации геологов-нефтяников 84 (12) 1883–1891 гг.

[1]

[примечание 1]

[заметка 2]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]