Неравенства Ньютона

В математике названы неравенства Ньютона в честь Исаака Ньютона . Предположим, 1 _, a 2 _, ..., n _a - неотрицательные действительные числа , и пусть $e_{k}$ обозначим k -й элементарный симметричный многочлен от a ₁ , a ₂ , ..., an _n . Тогда элементарное симметричное среднее , заданное формулой

$S_{k}={\frac {e_{k}}{\binom {n}{k}}},$

удовлетворять неравенству

$S_{k-1}S_{k+1}\leq S_{k}^{2}.$

Равенство имеет место тогда и только тогда, когда все числа a _i равны.

Видно, что S ₁ — среднее арифметическое , а S _n — n -я степень среднего геометрического .

См. также

• Неравенство Маклорена

Ссылки

• Харди, GH; Литтлвуд, Дж. Э.; Полиа, Г. (1952). Неравенства . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0521358804 .

• Ньютон, Исаак (1707). Универсальная арифметика: или Книга арифметической композиции и решения .
• Д. С. Бернштейн Матричная математика: теория, факты и формулы (Принстон, 2009 г.) с. 55
• Маклорен, К. (1729). «Второе письмо Мартину Фолксу, эсквайру; о ​​корнях уравнений и демонстрации других правил алгебры» . Философские труды . 36 (407–416): 59–96. дои : 10.1098/rstl.1729.0011 .
• Уайтли, Дж. Н. (1969). «О неравенстве Ньютона для действительных многочленов». Американский математический ежемесячник . 76 (8). Американский математический ежемесячник, Vol. 76, № 8: 905–909. дои : 10.2307/2317943 . JSTOR   2317943 .
• Никулеску, Константин (2000). «Новый взгляд на неравенства Ньютона» . Журнал неравенств в чистой и прикладной математике . 1 (2). Статья 17.