Параметризованный постньютоновский формализм

В физике , а именно при изучении теории общей относительности и многих альтернатив ей , постньютоновский формализм представляет собой вычислительный инструмент, выражающий (нелинейные) уравнения гравитации Эйнштейна через отклонения низшего порядка от закона всемирного тяготения Ньютона. гравитация . Это позволяет делать аппроксимации уравнений Эйнштейна в случае слабых полей. Для повышения точности можно добавить члены более высокого порядка, но для сильных полей может быть предпочтительнее решать полные уравнения численно. Некоторые из этих постньютоновских приближений представляют собой разложения по малому параметру, который представляет собой отношение скорости материи, образующей гравитационное поле, к скорости света , которую в данном случае лучше называть скоростью гравитации . В пределе, когда фундаментальная скорость гравитации становится бесконечной, постньютоновское расширение сводится к закону гравитации Ньютона .

Параметризованный постньютоновский формализм или формализм PPN — это версия этой формулировки, которая явно детализирует параметры, по которым общая теория гравитации может отличаться от ньютоновской гравитации. Он используется как инструмент для сравнения ньютоновской и эйнштейновской гравитации в пределе, в котором гравитационное поле слабое и создается объектами, движущимися медленно по сравнению со скоростью света. В общем, формализм PPN можно применять ко всем метрическим теориям гравитации, в которых все тела удовлетворяют принципу эквивалентности Эйнштейна (EEP). Скорость света остается постоянной в формализме PPN, и предполагается, что метрический тензор всегда симметричен.

История

Самые ранние параметризации постньютоновского приближения были выполнены сэром Артуром Стэнли Эддингтоном в 1922 году. Однако они имели дело исключительно с вакуумным гравитационным полем вне изолированного сферического тела. Кен Нордтведт (1968, 1969) расширил это понятие, включив в него семь параметров в статьях, опубликованных в 1968 и 1969 годах. Клиффорд Мартин Уилл представил описание небесных тел с напряженным непрерывным веществом в 1971 году.

Описанные здесь версии основаны на Wei-Tou Ni (1972), Will and Nordtvedt (1972), Charles W. Misner et al. (1973) (см. «Гравитация» (книга) ), и Уилл (1981, 1993) и имеют десять параметров.

Обозначение бета-дельта

Десять постньютоновских параметров полностью характеризуют поведение теории в слабом поле. Этот формализм оказался ценным инструментом в тестах общей теории относительности . В обозначениях Уилла (1971), Ни (1972) и Миснера и др. (1973) они имеют следующие значения:

$\gamma$	Насколько искривлено пространство $g_{ij}$ производится единицей массы покоя?
$\beta$	Насколько нелинейен закон суперпозиции ? гравитации $g_{00}$?
$\beta _{1}$	Сколько гравитации создается единицей кинетической энергии $\textstyle {\frac {1}{2}}\rho _{0}v^{2}$?
$\beta _{2}$	Сколько гравитации создается единицей гравитационной потенциальной энергии $\rho _{0}/U$?
$\beta _{3}$	Сколько гравитации создается единицей внутренней энергии $\rho _{0}\Pi$?
$\beta _{4}$	Какая сила тяжести создается единицей давления $p$?
$\zeta$	Разница между радиальной и поперечной кинетической энергией в условиях гравитации
$\eta$	Разница между радиальным и поперечным напряжением под действием силы тяжести
$\Delta _{1}$	Сколько перетаскивание инерциальных рамок $g_{0j}$ производится единичным импульсом $\rho _{0}v$?
$\Delta _{2}$	Разница между радиальным и поперечным импульсом при перетаскивании инерциальных систем отсчета

$g_{\mu \nu }$ - симметричный метрический тензор 4 на 4 с индексами $\mu$ и $\nu$ от 0 до 3. Ниже индекс 0 будет указывать направление времени, а индексы $i$ и $j$ (от 1 до 3) будет указывать пространственные направления.

В теории Эйнштейна значения этих параметров выбираются (1) для соответствия Закону гравитации Ньютона в пределе скоростей и массы, приближающихся к нулю, (2) для обеспечения сохранения энергии , массы , импульса и углового момента , и (3 ), чтобы сделать уравнения независимыми от системы отсчета . В этих обозначениях общая теория относительности имеет параметры PPN. $\gamma =\beta =\beta _{1}=\beta _{2}=\beta _{3}=\beta _{4}=\Delta _{1}=\Delta _{2}=1$ и $\zeta =\eta =0.$

Альфа-дзета-нотация

В более поздних обозначениях Will & Nordtvedt (1972) и Will (1981, 1993, 2006) используется другой набор из десяти параметров PPN.

$\gamma =\gamma$

$\beta =\beta$

$\alpha _{1}=7\Delta _{1}+\Delta _{2}-4\gamma -4$

$\alpha _{2}=\Delta _{2}+\zeta -1$

$\alpha _{3}=4\beta _{1}-2\gamma -2-\zeta$

$\zeta _{1}=\zeta$

$\zeta _{2}=2\beta +2\beta _{2}-3\gamma -1$

$\zeta _{3}=\beta _{3}-1$

$\zeta _{4}=\beta _{4}-\gamma$

$\xi$ рассчитывается из $3\eta =12\beta -3\gamma -9+10\xi -3\alpha _{1}+2\alpha _{2}-2\zeta _{1}-\zeta _{2}$

Смысл их в том, что $\alpha _{1}$, $\alpha _{2}$ и $\alpha _{3}$ измерить степень эффектов предпочтительного кадра . $\zeta _{1}$, $\zeta _{2}$, $\zeta _{3}$, $\zeta _{4}$ и $\alpha _{3}$ измерить нарушение сохранения энергии, импульса и момента количества движения.

В этих обозначениях общая теория относительности имеет параметры PPN.

$\gamma =\beta =1$ и $\alpha _{1}=\alpha _{2}=\alpha _{3}=\zeta _{1}=\zeta _{2}=\zeta _{3}=\zeta _{4}=\xi =0$

Математическая связь между метрикой, метрическими потенциалами и параметрами PPN для этой записи такова:

${\begin{matrix}g_{00}=-1+2U-2\beta U^{2}-2\xi \Phi _{W}+(2\gamma +2+\alpha _{3}+\zeta _{1}-2\xi )\Phi _{1}+2(3\gamma -2\beta +1+\zeta _{2}+\xi )\Phi _{2}\\\ +2(1+\zeta _{3})\Phi _{3}+2(3\gamma +3\zeta _{4}-2\xi )\Phi _{4}-(\zeta _{1}-2\xi )A-(\alpha _{1}-\alpha _{2}-\alpha _{3})w^{2}U\\\ -\alpha _{2}w^{i}w^{j}U_{ij}+(2\alpha _{3}-\alpha _{1})w^{i}V_{i}+O(\epsilon ^{3})\end{matrix}}$

$g_{0i}=-\textstyle {\frac {1}{2}}(4\gamma +3+\alpha _{1}-\alpha _{2}+\zeta _{1}-2\xi )V_{i}-\textstyle {\frac {1}{2}}(1+\alpha _{2}-\zeta _{1}+2\xi )W_{i}-\textstyle {\frac {1}{2}}(\alpha _{1}-2\alpha _{2})w^{i}U-\alpha _{2}w^{j}U_{ij}+O(\epsilon ^{\frac {5}{2}})$

$g_{ij}=(1+2\gamma U)\delta _{ij}+O(\epsilon ^{2})$

где суммируются повторяющиеся индексы. $\epsilon$ имеет порядок потенциалов, таких как $U$, квадрат величины координатных скоростей вещества и т. д. $w^{i}$ — вектор скорости системы координат PPN относительно средней системы покоя Вселенной. $w^{2}=\delta _{ij}w^{i}w^{j}$ есть квадрат величины этой скорости. $\delta _{ij}=1$ если и только если $i=j$, $0$ в противном случае.

Существует десять метрических потенциалов, $U$, $U_{ij}$, $\Phi _{W}$, $A$, $\Phi _{1}$, $\Phi _{2}$, $\Phi _{3}$, $\Phi _{4}$, $V_{i}$ и $W_{i}$, по одному для каждого параметра PPN, чтобы обеспечить уникальное решение. 10 линейных уравнений с 10 неизвестными решаются путем обращения матрицы 10 на 10. Эти метрические потенциалы имеют такие формы, как:

$U(\mathbf {x} ,t)=\int {\rho (\mathbf {x} ',t) \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}d^{3}x'$

это просто другой способ записи ньютоновского гравитационного потенциала,

$U_{ij}=\int {\rho (\mathbf {x} ',t)(x-x')_{i}(x-x')_{j} \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|^{3}}d^{3}x'$

$\Phi _{W}=\int {\rho (\mathbf {x} ',t)\rho (\mathbf {x} '',t)(x-x')_{i} \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|^{3}}\left({(x'-x'')^{i} \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}-{(x-x'')^{i} \over |\mathbf {x} '-\mathbf {x} ''|}\right)d^{3}x'd^{3}x''$

$A=\int {\rho (\mathbf {x} ',t)\left(\mathbf {v} (\mathbf {x} ',t)\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')\right)^{2} \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|^{3}}d^{3}x'$

$\Phi _{1}=\int {\rho (\mathbf {x} ',t)\mathbf {v} (\mathbf {x} ',t)^{2} \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}d^{3}x'$

$\Phi _{2}=\int {\rho (\mathbf {x} ',t)U(\mathbf {x} ',t) \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}d^{3}x'$

$\Phi _{3}=\int {\rho (\mathbf {x} ',t)\Pi (\mathbf {x} ',t) \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}d^{3}x'$

$\Phi _{4}=\int {p(\mathbf {x} ',t) \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}d^{3}x'$

$V_{i}=\int {\rho (\mathbf {x} ',t)v(\mathbf {x} ',t)_{i} \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}d^{3}x'$

$W_{i}=\int {\rho (\mathbf {x} ',t)\left(\mathbf {v} (\mathbf {x} ',t)\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')\right)(x-x')_{i} \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|^{3}}d^{3}x'$

где $\rho$ - плотность массы покоя, $\Pi$ - внутренняя энергия единицы массы покоя, $p$ - давление, измеренное в локальной свободно падающей системе отсчета, в данный момент движущейся вместе с веществом, и $\mathbf {v}$ – координатная скорость вещества.

Тензор энергии-напряжения для идеальной жидкости принимает вид

$T^{00}=\rho (1+\Pi +\mathbf {v} ^{2}+2U)$

$T^{0i}=\rho (1+\Pi +\mathbf {v} ^{2}+2U+p/\rho )v^{i}$

$T^{ij}=\rho (1+\Pi +\mathbf {v} ^{2}+2U+p/\rho )v^{i}v^{j}+p\delta ^{ij}(1-2\gamma U)$

Как применить PPN

Примеры применения формализма PPN к альтернативным теориям гравитации можно найти в Will (1981, 1993). Это девятиэтапный процесс:

• Шаг 1: Определите переменные, которые могут включать в себя: (a) динамические гравитационные переменные, такие как метрика $g_{\mu \nu }$, скалярное поле $\phi$, векторное поле $K_{\mu }$, тензорное поле $B_{\mu \nu }$и так далее; (б) априорно-геометрические переменные, такие как метрика плоского фона $\eta _{\mu \nu }$, функция космического времени $t$, и так далее; (в) материя и переменные негравитационного поля.
• Шаг 2: Установите космологические граничные условия. Предположим однородную изотропную космологию с изотропными координатами в системе покоя Вселенной. Полное космологическое решение может потребоваться, а может и не потребоваться. Назовите результаты $g_{\mu \nu }^{(0)}=\operatorname {diag} (-c_{0},c_{1},c_{1},c_{1})$, $\phi _{0}$, $K_{\mu }^{(0)}$, $B_{\mu \nu }^{(0)}$.
• Шаг 3. Получите новые переменные из $h_{\mu \nu }=g_{\mu \nu }-g_{\mu \nu }^{(0)}$, с $\phi -\phi _{0}$, $K_{\mu }-K_{\mu }^{(0)}$ или $B_{\mu \nu }-B_{\mu \nu }^{(0)}$ если нужно.
• Шаг 4: Подставьте эти формы в уравнения поля, сохраняя только те члены, которые необходимы для получения окончательного непротиворечивого решения для $h_{\mu \nu }$. Замените источники вещества идеальным тензором напряжений жидкости.
• Шаг 5: Решите $h_{00}$ к $O(2)$. Полагая, что оно стремится к нулю вдали от системы, получаем вид $h_{00}=2\alpha U$ где $U$ - ньютоновский гравитационный потенциал и $\alpha$ может быть сложной функцией, включающей гравитационную «постоянную» $G$. Метрика Ньютона имеет вид $g_{00}=-c_{0}+2\alpha U$, $g_{0j}=0$, $g_{ij}=\delta _{ij}c_{1}$. Работайте в единицах, где гравитационная «постоянная», измеряемая сегодня вдали от гравитирующей материи, равна единице, установленной таким образом. $G_{\mathrm {today} }=\alpha /c_{0}c_{1}=1$.
• Шаг 6: На основе линеаризованных версий уравнений поля найдите $h_{ij}$ к $O(2)$ и $h_{0j}$ к $O(3)$.
• Шаг 7: Найдите $h_{00}$ к $O(4)$. Это самый запутанный шаг, включающий все нелинейности в уравнениях поля. Тензор энергии-импульса также необходимо разложить до достаточного порядка.
• Шаг 8: Преобразование в локальные квазидекартовы координаты и в стандартную шкалу PPN.
• Шаг 9: Сравнивая результат для $g_{\mu \nu }$ с помощью уравнений, представленных в PPN с альфа-дзета-параметрами , считайте значения параметров PPN.

гравитации

Основная статья: Альтернативы общей теории относительности § Параметрические постньютоновские параметры для ряда теорий

Таблицу, сравнивающую параметры PPN для 23 теорий гравитации, можно найти в разделе Альтернативы общей теории относительности#Параметрические постньютоновские параметры для ряда теорий .

Большинство метрических теорий гравитации можно разделить на категории. Скалярные теории гравитации включают конформно плоские теории и стратифицированные теории с ортогональными по времени срезами пространства.

В конформно плоских теориях, таких как теория гравитации Нордстрема, метрика задается формулой $\mathbf {g} =f{\boldsymbol {\eta }}$ и для этого показателя $\gamma =-1$, что кардинально противоречит наблюдениям. В стратифицированных теориях, таких как теория гравитации Йылмаза, метрика определяется выражением $\mathbf {g} =f_{1}\mathbf {d} t\otimes \mathbf {d} t+f_{2}{\boldsymbol {\eta }}$ и для этого показателя $\alpha _{1}=-4(\gamma +1)$, что также кардинально противоречит наблюдениям.

Другой класс теорий — квазилинейные теории, такие как теория гравитации Уайтхеда . Для этих $\xi =\beta$. Относительные величины гармоник земных приливов зависят от $\xi$ и $\alpha _{2}$, а измерения показывают, что квазилинейные теории не согласуются с наблюдениями за земными приливами.

Другой класс метрических теорий — биметрические теории . Для всего этого $\alpha _{2}$не равно нулю. Из прецессии солнечного вращения мы знаем, что $\alpha _{2}<4\times 10^{-7}$, и это эффективно исключает биметрические теории.

Другой класс метрических теорий — скалярно-тензорные теории , такие как теория Бранса-Дикке . Для всего этого, $\gamma =\textstyle {\frac {1+\omega }{2+\omega }}$. Предел $\gamma -1<2.3\times 10^{-5}$ Значит это $\omega$ должно быть очень большим, поэтому эти теории кажутся все менее и менее вероятными по мере повышения точности эксперимента.

Последний основной класс метрических теорий — это векторно-тензорные теории. Для всех них гравитационная «постоянная» меняется со временем и $\alpha _{2}$не равно нулю. Эксперименты по лунной лазерной локации жестко ограничивают изменение гравитационной «константы» со временем и $\alpha _{2}<4\times 10^{-7}$, поэтому эти теории также выглядят маловероятными.

Существуют некоторые метрические теории гравитации, которые не вписываются в вышеперечисленные категории, но у них есть схожие проблемы.

Точность по результатам экспериментальных испытаний

Границы параметров PPN по данным Will (2006) и Will (2014).

Параметр	Граница	Последствия	Эксперимент
$\gamma -1$	2.3 × 10 −5	Задержка времени, отклонение света	Кассини отслеживание
$\beta -1$	8 × 10 −5	Сдвиг перигелия	Сдвиг перигелия
$\beta -1$	2.3 × 10 −4	Эффект Нордтведта с допущением $\eta _{N}=4\beta -\gamma -3$	Эффект Нордтведта
$\xi$	4 × 10 −9	Спиновая прецессия	Миллисекундные пульсары
$\alpha _{1}$	1 × 10 −4	Орбитальная поляризация	Лунная лазерная локация
$\alpha _{1}$	4 × 10 −5	Орбитальная поляризация	ПСР J1738+0333
$\alpha _{2}$	2 × 10 −9	Спиновая прецессия	Миллисекундные пульсары
$\alpha _{3}$	4 × 10 −20	Самоускорение	Статистика замедления пульсара
$\eta _{N}$	9 × 10 −4	Эффект Нордтведта	Лунная лазерная локация
$\zeta _{1}$	0.02	Комбинированные границы PPN	—
$\zeta _{2}$	4 × 10 −5 †	Ускорение двойного пульсара	ПСР 1913+16
$\zeta _{3}$	1 × 10 −8	Третий закон Ньютона	Лунное ускорение
$\zeta _{4}$	0.006‡	—	Крейсерский эксперимент

† Уилл, CM (10 июля 1992 г.). «Сохраняется ли импульс? Тест в двоичной системе PSR 1913 + 16». Письма астрофизического журнала . 393 (2): L59–L61. Бибкод : 1992ApJ...393L..59W . дои : 10.1086/186451 . ISSN   0004-637X .

‡ На основе $6\zeta _{4}=3\alpha _{3}+2\zeta _{1}-3\zeta _{3}$от Уилла (1976, 2006). Это теоретически возможно для альтернативной модели гравитации, чтобы обойти эту границу, и в этом случае граница равна $|\zeta _{4}|<0.4$ из Ни (1972).

См. также

• Альтернативы общей теории относительности # Параметрические постньютоновские параметры для ряда теорий.
• Эффективный однотельный формализм
• Линеаризованная гравитация
• Параметр Пескина–Такеучи То же, что и PPN, но для электрослабой теории вместо гравитации.
• Тесты общей теории относительности

Ссылки

• Эддингтон, А.С. (1922) Математическая теория относительности, издательство Кембриджского университета.
• Миснер, К.В., Торн, К.С. и Уиллер, Дж.А. (1973) Гравитация, WH Freeman and Co.
• Нордтведт, Кеннет (25 мая 1968 г.). «Принцип эквивалентности массивных тел. II. Теория». Физический обзор . 169 (5). Американское физическое общество (APS): 1017–1025. Бибкод : 1968PhRv..169.1017N . дои : 10.1103/physrev.169.1017 . ISSN   0031-899X .
• Нордтведт, К. (25 апреля 1969 г.). «Принцип эквивалентности массивных тел, включая энергию вращения и давление излучения». Физический обзор . 180 (5). Американское физическое общество (APS): 1293–1298. Бибкод : 1969PhRv..180.1293N . дои : 10.1103/physrev.180.1293 . ISSN   0031-899X .
• Уилл, Клиффорд М. (1971). «Теоретические основы тестирования релятивистской гравитации. II. Параметризованная постньютоновская гидродинамика и эффект Нордтведта». Астрофизический журнал . 163 . Издательство ИОП: 611-628. Бибкод : 1971ApJ...163..611W . дои : 10.1086/150804 . ISSN   0004-637X .
• Уилл, CM (1976). «Активная масса в релятивистской гравитации — Теоретическая интерпретация эксперимента Крейцера» . Астрофизический журнал . 204 . Издательство ИОП: 224-234. Бибкод : 1976ApJ...204..224W . дои : 10.1086/154164 . ISSN   0004-637X .
• Уилл, CM (1981, 1993) Теория и эксперимент в гравитационной физике, издательство Кембриджского университета. ISBN   0-521-43973-6 .
• Уилл, КМ, (2006) Противостояние общей теории относительности и эксперимента, https://web.archive.org/web/20070613073754/http://relativity.livingreviews.org/Articles/lrr-2006-3/
• Уилл, Клиффорд М. (11 июня 2014 г.). «Противостояние общей теории относительности и эксперимента» . Живые обзоры в теории относительности . 17 (1): 4. arXiv : 1403,7377 . Бибкод : 2014LRR....17....4W . дои : 10.12942/lrr-2014-4 . ISSN   2367-3613 . ПМК   5255900 . ПМИД   28179848 .
• Уилл, Клиффорд М.; Нордтведт, Кеннет младший (1972). «Законы сохранения и выделенные системы отсчета в релятивистской гравитации. I. Теории выделенных систем отсчета и расширенный формализм PPN» . Астрофизический журнал . 177 . Издательство IOP: 757. Бибкод : 1972ApJ...177..757W . дои : 10.1086/151754 . ISSN   0004-637X .