Геодезический эффект

Эта статья о прецессии орбитальных тел. О наблюдении двойных звезд см. Эксперимент де Ситтера с двойной звездой .

Представление геодезического эффекта со значениями для Gravity Probe B .

Геодезический эффект (также известный как геодезическая прецессия , прецессия де Ситтера или эффект де Ситтера ) представляет собой эффект кривизны пространства-времени , предсказанный общей теорией относительности , на вектор, увлекаемый вместе с вращающимся телом. Например, вектором может быть угловой момент гироскопа, вращающегося вокруг Земли, как это было выполнено в Gravity Probe B. эксперименте Геодезический эффект был впервые предсказан Виллемом де Ситтером в 1916 году, который внес релятивистские поправки в движение системы Земля-Луна. Работа Де Ситтера была расширена в 1918 году Яном Схоутеном и в 1920 году Адрианом Фоккером . Его также можно применить к определенной вековой прецессии астрономических орбит, эквивалентной вращению вектора Лапласа – Рунге – Ленца .

Термин «геодезический эффект» имеет два несколько разных значения, поскольку движущееся тело может вращаться или не вращаться. Невращающиеся тела движутся по геодезическим , тогда как вращающиеся тела движутся по немного другим орбитам.

Разница между прецессией де Ситтера и прецессией Лензе – Тирринга (перетаскиванием системы отсчета) заключается в том, что эффект де Ситтера обусловлен просто наличием центральной массы, тогда как прецессия Лензе – Тирринга обусловлена ​​вращением центральной массы. Полная прецессия рассчитывается путем объединения прецессии де Ситтера с прецессией Лензе – Тирринга.

Экспериментальное

Геодезический эффект был подтвержден с точностью более 0,5% с помощью Gravity Probe B — эксперимента, измеряющего наклон оси вращения гироскопов на орбите вокруг Земли. Первые результаты были объявлены 14 апреля 2007 года на заседании Американского физического общества .

Формулы

Чтобы вывести прецессию, предположим, что система находится во вращающейся метрике Шварцшильда . Невращающаяся метрика

$ds^{2}=dt^{2}\left(1-{\frac {2m}{r}}\right)-dr^{2}\left(1-{\frac {2m}{r}}\right)^{-1}-r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi '^{2}),$

где с = G = 1.

Введем вращающуюся систему координат с угловой скоростью $\omega$, такой, что спутник, находящийся на круговой орбите в плоскости θ = π/2, остается в покое. Это дает нам

$d\phi =d\phi '-\omega \,dt.$

В этой системе координат наблюдатель в радиальной позиции r видит вектор, расположенный в r , как вращающийся с угловой частотой ω. Однако этот наблюдатель видит вектор, расположенный при каком-то другом значении r , как вращающийся с другой скоростью из-за релятивистского замедления времени. Преобразуя метрику Шварцшильда во вращающуюся систему отсчета и предполагая, что $\theta$ является константой, мы находим

${\begin{aligned}ds^{2}&=\left(1-{\frac {2m}{r}}-r^{2}\beta \omega ^{2}\right)\left(dt-{\frac {r^{2}\beta \omega }{1-2m/r-r^{2}\beta \omega ^{2}}}\,d\phi \right)^{2}-\\&-dr^{2}\left(1-{\frac {2m}{r}}\right)^{-1}-{\frac {r^{2}\beta -2mr\beta }{1-2m/r-r^{2}\beta \omega ^{2}}}\,d\phi ^{2},\end{aligned}}$

с $\beta =\sin ^{2}(\theta )$. Для тела, вращающегося в плоскости θ = π/2, мы будем иметь β = 1, и мировая линия тела будет сохранять постоянные пространственные координаты все время. Теперь метрика имеет канонический вид

$ds^{2}=e^{2\Phi }\left(dt-w_{i}\,dx^{i}\right)^{2}-k_{ij}\,dx^{i}\,dx^{j}.$

Из этой канонической формы мы можем легко определить скорость вращения гироскопа в нужное время.

${\begin{aligned}\Omega &={\frac {\sqrt {2}}{4}}e^{\Phi }[k^{ik}k^{jl}(\omega _{i,j}-\omega _{j,i})(\omega _{k,l}-\omega _{l,k})]^{1/2}=\\&={\frac {{\sqrt {\beta }}\omega (r-3m)}{r-2m-\beta \omega ^{2}r^{3}}}={\sqrt {\beta }}\omega .\end{aligned}}$

где последнее равенство верно только для свободно падающих наблюдателей, для которых ускорения нет, поэтому $\Phi ,_{i}=0$. Это ведет к

$\Phi ,_{i}={\frac {2m/r^{2}-2r\beta \omega ^{2}}{2(1-2m/r-r^{2}\beta \omega ^{2})}}=0.$

Решение этого уравнения для ω дает

$\omega ^{2}={\frac {m}{r^{3}\beta }}.$

По сути, это закон периодов Кеплера , который оказывается релятивистски точным, если выражаться через временную координату t этой конкретной вращающейся системы координат. Во вращающейся системе отсчета спутник остается в покое, но наблюдатель на борту спутника видит, что вектор углового момента гироскопа прецессирует со скоростью ω. Этот наблюдатель также видит вращающиеся далекие звезды, но они вращаются с немного другой скоростью из-за замедления времени. гироскопа Пусть τ — собственное время . Затем

$\Delta \tau =\left(1-{\frac {2m}{r}}-r^{2}\beta \omega ^{2}\right)^{1/2}\,dt=\left(1-{\frac {3m}{r}}\right)^{1/2}\,dt.$

Член −2 m / r интерпретируется как гравитационное замедление времени, а дополнительный член − m / r обусловлен вращением этой системы отсчета. Пусть α' — накопленная прецессия во вращающейся системе отсчета. С $\alpha '=\Omega \Delta \tau$, прецессия на протяжении одной орбиты относительно далеких звезд определяется выражением:

$\alpha =\alpha '+2\pi =-2\pi {\sqrt {\beta }}{\Bigg (}\left(1-{\frac {3m}{r}}\right)^{1/2}-1{\Bigg )}.$

первого порядка Используя ряд Тейлора , мы находим

$\alpha \approx {\frac {3\pi m}{r}}{\sqrt {\beta }}={\frac {3\pi m}{r}}\sin(\theta ).$

Прецессия Томаса

Можно попытаться разложить прецессию де Ситтера на кинематический эффект, называемый прецессией Томаса, в сочетании с геометрическим эффектом, вызванным гравитационно искривленным пространством-временем. Хоть один автор действительно описывает это именно так, но другие утверждают, что «прецессия Томаса вступает в силу для гироскопа на поверхности Земли…, но не для гироскопа на свободно движущемся спутнике». Возражением против первой интерпретации является то, что требуемая прецессия Томаса имеет неправильный знак. Уокера Уравнение переноса Ферми- дает как геодезический эффект, так и прецессию Томаса и описывает перенос 4-вектора спина при ускоренном движении в искривленном пространстве-времени. 4-вектор спина ортогонален 4-вектору скорости. Транспорт Ферми-Уокера сохраняет это соотношение. Если ускорения нет, транспорт Ферми-Уокера представляет собой просто параллельный транспорт вдоль геодезической и дает прецессию спина из-за геодезического эффекта. Для ускорения, обусловленного равномерным круговым движением в плоском пространстве-времени Минковского, транспорт Ферми-Уокера дает прецессию Томаса.

См. также

• Перетаскивание кадров
• Геодезика в общей теории относительности
• Гравитационный колодец
• Хронология гравитационной физики и теории относительности

Ссылки

• Вольфганг Риндлер (2006) Относительность: специальная, общая и космологическая (2-е изд.), Oxford University Press, ISBN   978-0-19-856731-8

Внешние ссылки

• Веб-сайты Gravity Probe B в НАСА и Стэнфордском университете
• Прецессия в искривленном пространстве «Геодезический эффект»
• Геодезический эффект